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Exercice 1

A B CD P Q RSoit un carréABCD. On construit un rectangleAPQR tel que : PetRsont sur les côtés[AB]et[AD]du carré;

AP=DR.

Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ)et(PR)sont perpendiculaires.

1)Justifier que :

CQ!PR=!CQ(!AR!AP)

2)En déduire que les droites(CQ)et(PR)sont per-

pendiculaires.

IllustrationD. LE FUR 1/ 50

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 2

A B CI

3ABCest un triangle etIest le milieu de[BC].

On donne :BC= 4,AI= 3et(!IA;!IB) =3

Calculer :

1)!AB!AC;

2)AB2+AC2;

3)AB2AC2;

4)ABetAC.Illustration

D. LE FUR 2/ 50

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Exercice 3

On se place dans un repère orthonormé(O;!i ;!j).

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon

du cercle.

1)x2+y22x6y+ 5 = 0.

2)x2+y2x3y+ 3 = 0.Illustration

D. LE FUR 3/ 50

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Exercice 4

On se place dans un repère orthonormé(O;!i ;!j).

Déterminer l"équation du cercle de centre

(5 ; 1)tangent à la droite(D)d"équation : x+y4 = 0:

Indication : on rappelle que la distance entre un pointA(;)et une droite(D)d"équationax+by+c= 0est

donnée par la formule : d(A;D) =ja+b+cjpa 2+b2:

IllustrationD. LE FUR 4/ 50

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Exercice 5

On se place dans un repère orthonormé(O;!i ;!j). On considère un triangleABCavecA(1 ; 2),B(3 ; 1)etC(2 ; 4).

1)Déterminer une équation de la médiatrice du segment[AB].

2)Déterminer une équation de la hauteur issue deAdans le triangleABC.Illustration

D. LE FUR 5/ 50

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Exercice 6

Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on donne un point (2 ;3).

1)Déterminer l"équation du cercle(C)de centre

et de rayonR= 5.

2)Démontrer que le pointA(2 ; 0)est un point du cercle(C).

3)Déterminer une équation cartésienne de la tangente enAau cercle(C).Illustration

D. LE FUR 6/ 50

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Exercice 7

Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on considère les points suivants :A(2 ; 1),B(7 ; 2)etC(3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.

1)Calculer les coordonnées du barycentreGde(A; 3),(B; 2)et(C;4).

2)Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de[BC].

3)Calculer!CB!CA. L"anglebCest-il droit?Illustration

D. LE FUR 7/ 50

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Exercice 8

ABCest un triangle équilatéral de côté5cm.Iest le milieu de[BC].

Calculer les produits scalaires suivants :

1) !BA!BC;

2)!CA!CI;

3)(!AB!AC)!AI.

IllustrationD. LE FUR 8/ 50

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Exercice 9

ABCest un triangle dans lequelAB= 2etAC= 3. De plus!AB!AC= 4. Ce triangle est-il rectangle? Si oui, préciser en quel sommet.Illustration

D. LE FUR 9/ 50

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Exercice 10

MNPQest un carré avecMN= 6.Iest le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1) !MN!QP; 2) !MN!PN;

3)!IN!IP;

4)!QI!NI.

IllustrationD. LE FUR 10/ 50

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Exercice 11

ABCDest un parallélogramme avecAB= 4,AD= 5etAC= 7.

Calculer

!AB!AD. En déduireBD.Illustration

D. LE FUR 11/ 50

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Exercice 12

Démontrer que :k!u+!vk2 k!u!vk2= 4!u!vetk!u+!vk2+k!u!vk2= 2 k!uk2+k!vk2

Lien avec le losange, le parallélogramme?

Démontrer que :

(!u+!v)(!u!v) =k!uk2 k!vk2

En déduire qu"un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.D. LE FUR 12/ 50

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Exercice 13

A B CD

EABCDest un rectangle tel queAD= 3etAB= 5.

Eest le milieu de[AB].

1)Calculer les longueursACetDE.

2)En exprimant chacun des vecteurs!ACet!DEen

fonction des vecteurs!ABet!AD, calculer le pro- duit scalaire!AC!DE.

3)En déduire la valeur de l"angle= (!DE;!AC)en

degrés à0;01près.Illustration

D. LE FUR 13/ 50

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Exercice 14

Soit le triangleABCetKle projeté orthogonal deAsur[BC].

On donne :AB= 6,BK= 4etKC= 7.

1)Iest le milieu de[BC]etGest le centre de gravité du triangleABC. Faire une figure.

2)Calculer les produits scalaires suivants :!BA!BC,!BC!CAet!IG!IBainsi que la somme :

!GA!AC+!GB!AC+!GC!AC

3)Déterminer et représenter en rouge l"ensemble des pointsMdu plan tels que :!BM!BC= 44.

4)Déterminer et représenter en vert l"ensemble des pointsMdu plan tels que :(!MA+!MB+!MC)!AC= 0.Illustration

D. LE FUR 14/ 50

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Exercice 15

Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on considère le pointA(3 ; 5). Chercher une équation de la tangente enAau cercle(C)de centreOet de rayonOA.

IllustrationD. LE FUR 15/ 50

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Exercice 16

Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), trouver une équation du cercle(C)de centreA(1 ; 2)et de rayon3et

déterminer les coordonnées des points d"intersection de(C)avec les axes de coordonnées.

IllustrationD. LE FUR 16/ 50

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Exercice 17

SoientA(3 ; 1)etB(2 ; 4)dans un repère orthonormé(O;!i ;!j). Déterminer l"ensembledes pointsMdu plan dont les coordonnés(x;y)vérifient l"équation : (x3)(x+ 2) + (y1)(y4) = 0:Illustration

D. LE FUR 17/ 50

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Exercice 18

A B CD E (C)est un cercle de centreO, de rayonRetAest un point fixé du plan.

Le but du problème est d"établir la propriété suivante : " Quelle que soit la droite(d)passant parA, coupant le

cercle(C)en deux pointsPetQ, le produit scalaire!AP!AQest constant. »

1)SoitP0le point diamétralement opposé àP.

Montrer que :!AP!AQ=!AP!P0:

2)Montrer que :!AP!AP0=AO2R2:

3)Conclure.

IllustrationD. LE FUR 18/ 50

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Exercice 19

On se place dans un repère orthonormé(O;!i ;!j). Déterminer le centre et le rayon du cercle(C)dont une équation est : x

2+y2x+ 8y+ 10 = 0:Illustration

D. LE FUR 19/ 50

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Exercice 20

[AB]est un segment de milieuIetAB= 2cm.

1)Montrer que pour tout pointMdu plan :

2MB2= 2!IM!AB:

2)Trouver et représenter l"ensemble des pointsMdu plan tels que :MA2MB2= 14.Illustration

D. LE FUR 20/ 50

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Exercice 21

On considère un segment[AB]tel queAB= 1dm.

Déterminer l"ensemble des pointsMdu plan tels que : 1) !MA!MB= 1;

2)MA2+MB2= 5.

IllustrationD. LE FUR 21/ 50

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Exercice 22

Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O;!i ;!j). Déterminer l"équation du cercle(C)passant parA(2 ; 1)etB(1 ; 3)et dont le centre soit situé sur la droite(D) d"équationx+y+ 1 = 0. Indication : chercher d"abord les coordonnées de

IllustrationD. LE FUR 22/ 50

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Exercice 23

SoitABCDun rectangle etMun point quelconque du plan.

Démontrer que :

2+MC2=MB2+MD2:

SoitABCDun parallélogramme etMun point quelconque du plan.

Démontrer que :

2MC2=MA2MB2:

IllustrationD. LE FUR 23/ 50

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Exercice 24

ABCDest un tétraédre régulier de côtéa.Iest le milieu du côté[AB]etJest le milieu du côté[CD].

1)Calculer en fonction deales produits scalaires suvants :!AB!ACet!AB!DA.

2)Calculer et interpréter le produit scalaire suivant :!AB!DC.

3)Calculer et interpréter le produit scalaire suivant :!AB!IJ.

IllustrationD. LE FUR 24/ 50

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Exercice 25

ABCest un triangle tel queAB= 2,AC= 3et!AB!AC= 4.

1)Démontrer que le triangleABCest rectangle enB.

2)Calculer!CA!CBpuis une mesure des anglesbAetbCen degrés, à0;1près.Illustration

D. LE FUR 25/ 50

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Exercice 26

Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O;!i ;!j). On considère le cercle(C)passant par les pointsA(4 ; 2)etB(2 ; 6)et dont le centre est situé sur la droite(D) d"équationx+y+ 2 = 0.

1)Faire une figure.

2)Déterminer les coordonnées de

3)Déterminer une équation de(C).

IllustrationD. LE FUR 26/ 50

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Exercice 27

Le but de cet exercice est de démontrer, à l"aide du produit scalaire, que les hauteurs d"un triangle sont concou-

rantes. SoitABCun triangle. On noteA0,B0etC0les projetés orthogonaux respectifs deA,BetCsur(BC),(AC)et (AB).

On noteH= (BB0)\(CC0).

1)Que valent les produits scalaires suivants :!BH!ACet!CH!AB?

2)Calculer!AH!BC.

3)Conclure.

IllustrationD. LE FUR 27/ 50

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Exercice 28

Les vecteurs

!u(4876 ;4898873)et!v(317019173 ; 315539)sont-ils orthogonaux?D. LE FUR 28/ 50

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Exercice 29

Dans l"espace muni d"un repère(O;!i ;!j ;!k), l"équation suivante est-elle celle d"une sphère?

2+y2+z2y+ 2z+12

= 0 Si oui, préciser les coordonnées de son centre et son rayonR.D. LE FUR 29/ 50

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 30

A B CD

HKABCDest un rectangle de longueurLet de largeurl. SoientHetKles projetés orthogonaux des sommetsBet

Dsur la diagonale(AC).

1)CalculerHKen fonction des longueurs des côtésLetl.

On pourra évaluer de deux manières le produit scalaire!CA!BD.

2)Comment choisirLetlpour avoirAC= 2HK?

Exprimer alors l"aire du parallélogrammeBHDKen fonction de l"aire du rectangleABCD.

IllustrationD. LE FUR 30/ 50

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Exercice 31

A quelle condition sur les pointsA,BetCa-t-on :!AB+!AC

2= (AB+AC)2?D. LE FUR 31/ 50

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Exercice 32

Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on donneA(2 ; 2)etB(2 ; 2).

1)Calculer les coordonnées du milieuIde[AB].

2)Démontrer que, pour tout pointMdu plan, on a :

2+MB2= 2MI2+AB22

3)Démontrer que l"ensembleEdes pointsMdu plan tels queMA2+MB2= 40est un cercle(C)de centreI

et de rayonr= 4.

4)Déterminer une équation du cercle(C).

5)Déterminer les coordonnées des éventuels points d"intersection de(C)avec l"axe des abscisses.

6)Soitun réel négatif. Comment choisitpour que le pointZ(p7 ;)soit sur(C).

7)Déterminer une équation de la tangente(T)à(C)au pointZ.

IllustrationD. LE FUR 32/ 50

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Exercice 33

ABCDest un losange de sens direct et de centreO. On donneAC= 10etBD= 6.

1)Calculer!AB!AD.

2)On notePle projeté orthogonal deDsur la droite(AB). CalculerAP.Illustration

D. LE FUR 33/ 50

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Exercice 34

Dans un repère orthonormé(O;!i ;!j), on considère les deux cercles(C)1et(C2)déquations respectives :

2+y2= 4etx2+y22x= 4.

1)Déterminer les coordonnées des éventuels points d"intersection de chaque cercle avec les axes de coordon-

nées.

2)Déterminer les coordonnées des éventuels points d"intersection des deux cercles.

3)Soit(D)la droite d"équationy= 2x+ 1.

Déterminer les coordonnées des éventuels points d"intersection des cercles avec(D).

IllustrationD. LE FUR 34/ 50

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Exercice 35

A A 0 A 00 BB 0 B

00OKDans un repère orthonormé d"origineO, on considère

un triangleOABde sens direct. On construit, à l"ex- térieur de ce triangle des carrésOAA"A0etOBB"B0.

Voir figure ci-dessus.On noteKle milieu de[A0B0].

1)Démontrer que les angles(!OA;!OB)et(!OB0;!OA0)

sont aupplémentaires.

2)Démontrer que :

OA!OB0=!OA0!OB:

3)Calculer!OK!AB.

En déduire que la médiane issue deOdans le tri- angleOA0B0est la hauteur issue deOdans le tri- angleOAB.

4)Démontrer que les droites(AB)et(A0B0)sont

perpendiculaires.

IllustrationD. LE FUR 35/ 50

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Exercice 36

ABCest un triangle rectangle enA.

0est le milieu de[BC]etHest le pied de la hauteur issue deA.

On appelleIetJles projetés orthogonaux deHrespectivement sur(AB)etAC). On veut montrer que les droites(AA0)et(IJ)sont perpendiculaires.

1)Faire un schéma.

2)Exprimer le vecteur!AA0en fonctions des vecteurs!ABet!AC.

3)Justifier que!AB!IJ=!AB!AHet que!AC!IJ=!AC!AH.

4)En utilisant les résultats précédents, calculer le produit scalaire!AA0!IJ.

Conclure.

IllustrationD. LE FUR 36/ 50

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 37

SoitABCun triangle etIle milieu de[BC].

Montrer que :!AB!AC=AI2IB2:

Penser à la relation de Chasles.

IllustrationD. LE FUR 37/ 50

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 38

ABCDest un rectangle.

Montrer que pour tout pointM, on a :

2+MC2=MB2+MD2:

IllustrationD. LE FUR 38/ 50

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 39

Soit le triangleABCéquilatéral de côté4etkun réel tel que0< k <1. On appelleMle point du segment[AB]tel que!BM=k!BA. On appelleNle point du segment[BC]tel que!BN=k!BC.

1)Faire une figure en prenantk=14

2)Exprimer les vecteurs!ANet!CMen fonctions de!BAet!BC.

3)Montrer que!AN!CM= 8k232k+ 8.

4)En déduire la ou les valeurs dekpour lesquelles les droites(AN)et(CM)sont perpendiculaires.Illustration

D. LE FUR 39/ 50

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Exercice 40

On considère les pointsA(0 ;1),B(4 ; 3)etC(2 ;5).

1)Déterminer les équations des médiatrices des segments[AC]et[AB].

2)En déduire les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangleABC.

3)Déterminer une équation de ce cercle.

IllustrationD. LE FUR 40/ 50

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 41

A B C IJHB

0ABCest un triangle isocèle enA.Iest le milieu de

[BC]. Hest le projeté orthogonal deIsur[AC]etJle milieu de[IH]. On cherche à établir que les droites(AJ)et(BH)sont orthogonales.

1)Justifier les égalités suivantes :

!BH!AI=!CH!AI=!CH!AH

2)En faisant appel àB0, projeté orthogonal deBsur

(AC), montrer que :

BH!AH=!HC!AH

3)Prouver que!AJ=12

(!AI+!AH)et utiliser les ques- tions précédentes pour répondre au problème.

IllustrationD. LE FUR 41/ 50

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Exercice 42

1)Montrer quex2+y26x+ 2y15 = 0est l"équation d"un cercle(C)dont on précisera le centre

et le rayon. 2) a) Vérifier queA(0 ; 3)est sur le cercle(C). b)Déterminer une équation cartésienne de la droite(D)tangente à(C)au pointA.

3)SoitBle point de coordonnées(14 ;3). On se propose de déterminer les équations des droites(D1)et

(D2)passant parBet tangentes à(C)respectivement enA1etA2. a)Montrer queA1etA2sont sur le cercle(C0)de diamètre[B b)Déterminer une équation de(C0). c)Déterminer les coordonnées deA1etA2puis les équations cherchées.

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NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 1

AP=DR.

1)Justifier que :

CQ!PR=!CQ(!AR!AP)

2)En déduire que les droites(CQ)et(PR)sont per-

IllustrationD. LE FUR 1/ 50

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Exercice 2

3ABCest un triangle etIest le milieu de[BC].

On donne :BC= 4,AI= 3et(!IA;!IB) =3

Calculer :

1)!AB!AC;

2)AB2+AC2;

3)AB2AC2;

4)ABetAC.Illustration

D. LE FUR 2/ 50

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 3

1)x2+y22x6y+ 5 = 0.

2)x2+y2x3y+ 3 = 0.Illustration

D. LE FUR 3/ 50

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Exercice 4

Déterminer l"équation du cercle de centre

IllustrationD. LE FUR 4/ 50

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Exercice 5

1)Déterminer une équation de la médiatrice du segment[AB].

2)Déterminer une équation de la hauteur issue deAdans le triangleABC.Illustration

D. LE FUR 5/ 50

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Exercice 6

1)Déterminer l"équation du cercle(C)de centre

2)Démontrer que le pointA(2 ; 0)est un point du cercle(C).

3)Déterminer une équation cartésienne de la tangente enAau cercle(C).Illustration

D. LE FUR 6/ 50

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Exercice 7

1)Calculer les coordonnées du barycentreGde(A; 3),(B; 2)et(C;4).

2)Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de[BC].

3)Calculer!CB!CA. L"anglebCest-il droit?Illustration

D. LE FUR 7/ 50

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Exercice 8

Calculer les produits scalaires suivants :

2)!CA!CI;

3)(!AB!AC)!AI.

IllustrationD. LE FUR 8/ 50

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Exercice 9

D. LE FUR 9/ 50

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

Exercice 10

Calculer les produits scalaires suivants :

3)!IN!IP;

4)!QI!NI.

IllustrationD. LE FUR 10/ 50

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Exercice 11

Calculer

D. LE FUR 11/ 50

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Exercice 12

Lien avec le losange, le parallélogramme?

Démontrer que :

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Exercice 13

EABCDest un rectangle tel queAD= 3etAB= 5.

Eest le milieu de[AB].

1)Calculer les longueursACetDE.

2)En exprimant chacun des vecteurs!ACet!DEen

3)En déduire la valeur de l"angle= (!DE;!AC)en

D. LE FUR 13/ 50

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Exercice 14

On donne :AB= 6,BK= 4etKC= 7.

1)Iest le milieu de[BC]etGest le centre de gravité du triangleABC. Faire une figure.

2)Calculer les produits scalaires suivants :!BA!BC,!BC!CAet!IG!IBainsi que la somme :