EXERCICES — II) Résoudre les inéquations suivantes : 1) 5x −7 > 0 2) 7x −9 ≥ 0 3) 16x −25 < 0 4) x − 12 ≤ 0 5) 25x −10 > 3−2x 6) 7+6x ≥ 6(x +1)
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Document disponible àhttp://www.univ-montp3.fr/miap/ens/AES/XA101M/index.html.XA101M - méthodologie
Année 2003-2004Fiche d"exercices 2 : équations et inéquations1 ????SAVOIR????Principes générauxRésolution des équations algébriques . -Les équations algébriques sont les équations de la forme
f(x)=g(x) oùfetgsont deux polynômes ou quotients de polynômes. Unpolynômeest une fonction
de la formea0+a1x+a2x2+···+anxnoùa0,a1,a2,···,ansont des nombres réels etan?=0. L"entier
naturelns"appelle ledegré dupolynôme. Pourrésoudreune équation algébrique, on suivra la méthode
suivante :1.déterminerl"ensemble de définitionDde l"équation, c"est-à-dire l"ensemble des valeurs pour
lesquelles l"équation a un sens. On utilisera souvent le fait qu"un quotient est défini pour toutes
les valeurs qui n"annulent pas le dénominateur;2.écrire l"équation sous la formef(x)-g(x)=0;3.écrire l"équation sous la formeP(x)=0 oùPest un polynôme : si nécessaire, on procédera par
réduction au même dénominateur;4.factoriserPen un produit de polynômes de degré 1 et 2, les polynômes obtenus sont lesfacteurs
de l"équation;5.pourchacundesfacteurs,chercherl"ensembledesnombresquiannulentcefacteur.Celarésoud
l"équation grâce au résultat fondamental :Si un produit de facteurs est nul alors l"un au moins des facteurs est nul,
Si l"un des facteurs d"un produit de facteurs est nul, alors le produit est nul;6.parmi les solutions trouvées, éliminer celles qui ne sont pas dansD.
Résolution des inéquations . -Les inéquations algébriques sont de la formef(x)>g(x) (ouf(x)≥
g(x)). On donne la méthode à suivre pour résoudref(x)>g(x). Cette méthode reste valable pour ré-
soudref(x)≥g(x) à condition de remplacer>par≥. Voilà la méthode :1.déterminer l"ensemble de définitionDde l"inéquation;2.écrire l"inéquation sous la formef(x)-g(x)>0;3.écrire l"inéquation sous la formeP(x)>0 oùPest un polynôme : si nécessaire, on procédera par
réduction au même dénominateur;4.factoriserPen un produit de polynômes de degré 1 et 2, les polynômes obtenus sont lesfacteurs
de l"équation;5.dans un tableau de signes, étudier le signe de chaque facteur est en déduire le signe deP. Pour
cela, on utilise le résultat fondamental suivant :Le produit dedeuxfacteurs de même signe est positif,
Le produit dedeuxfacteurs de signes différents est négatif;6.parmi les solutions trouvées, éliminer celles qui ne sont pas dansD.
Remarque: il faut constater que les équationsf(x)
I)Résoudre les équations suivantes :
1)6x-6=-4+5x
2)-2y+3=-4-2y
3)7z-7=7(z-1)
4)t2+6t+1=5+6t
5)14(u-12)=u2(u-12)
6)123v(v2-17)=0
7)(w2+25)(w2-16)(33w+44)=0
8) (x+1)2-81(x+11)(12-x)=09)a2=1a
10)1b-1=1b+1
11)1c-1-1c+1=2
12)(3d+1)2+(1-2d)2=0
13)(3x+1)2=(1-2x)2.
????SAVOIR????Résolution des inéquations de degré1en fonction des valeurs dex, ce qui permet de résoudre l"inéquation. Les résultats sont donnés dans le
tableau suivant :Valeurs dex-∞ -ba+∞signe deax+bsigne de-asigne dea- EXERCICES- II)Résoudre les inéquations suivantes :1)5x-7>02)7x-9≥03)16x-25<0 ????SAVOIR ????Résolution des équations de degré2 Résolution. -Siaetbsontdeuxnombresréelsaveca?=0,oncherchelessolutionsdeax2+bx+c=0. Autrement dit, on cherche les nombres réelsxtels queax2+bx+cs"annule. L"existence et le nombrede solutions dépend d"un nombre notéΔet appelédiscriminant. On le calcule parΔ=b2-4ac. Le
calcul deΔétant fait, on résoud l"équation grâce au tableau suivant :Signe deΔnombre de
solutionssolutionsΔ<0aucuneΔ=0unex1=-b2aΔ>0deuxx1=-b-?Δ2aetx2=-b+?Δ2aFactorisation . -Lorsque l"équationax2+bx+c=0 a deux solutionsx1etx2, on aax2+bx+c=
Somme et produit des solutions . -Si on trouve deux nombres réelsx1etx2tels quex1+x2=-baet x1x2=caalors,x1etx2sont les solutions deax2+bx+c=0. D"autre part, si deux nombres réelsx1et
x2sont les deux solutions d"une équationax2+bx+c=0, alorsx1+x2=-baetx1x2=ca.
????SAVOIR ????Résolution des inéquations de degré2 Siaetbsont deux nombres réels aveca?=0, on cherche à résoudreax2+bx+c>0. On va donner une0. Il faut distinguer trois cas suivant le signe du discriminant.
1ercasΔ>0. Dans ce cas, on notex1etx2les deux solutions deax2+bx+c=0 avecx1 V)On suppose queαest un nombre réel. Résoudre les systèmes d"équations suivants par substitution ou VI)Une crème de beauté est vendue dans une boîte contenant 6,4 grammes de crème. Cette boîte est vendue VII)Une entreprise emploie 14 femmes et 35 hommes. Le directeur des ressources humaines envisage d"em- VIII)Un cycliste parcourt la route reliantAàB. Sur les parties plates, sa vitesse est de 12 kilomètres par heure; en montée, sa vitesse est de 8 kilomètres par heures et en descente, sa vitesse est de 15 kilomètres par heures. On suppose qu"il n"y a pas de vent. DeAversB, le cycliste met 5 heures. DeBversA, il met 4 heures. Sachant que les parties plates ont une longueur totale de 28 kilomètres, quelle est la longueur des montées en allant de IX)Si on enroulait une ficelle autour de l"équateur de la Terre et que l"on rallongeait la ficelle d"un mètre pour former une nouvelle circonférence au dessus de l"équateur, à quelle hauteur au dessus du sol se trouverait la X)Dans un grenier, on a découvert une facture de 1890 : l"achat de 15 kg de sucre et 7 kg de café revenait à 42F. Une autre facture de la même année montre que l"achat de 8 kg de sucre et 3kg de café revenait à 20,20F. Quel XI)La somme des longueurs des quatre côtés d"un rectangle est 240 m. Son aire est 3200 m2. Calculer la lon- XII)Une personne répartit 30000esur deux comptes à deux taux différents. La première somme, placée au taux le plus élevé, produit un intérêt annuel de 880eet la seconde somme produit un intérêt annuel de 280e. Sachant que la différence des taux est 0,5%, calculer les sommes placées sur chaque compte et les deux taux. XIII)Deux automobilistes effectuent le même parcours de 400km. Le second le fait à 20 km/h de plus que le2+bx+c=0.4
- EXERCICES- x x 2-6x+5x2-3x+4≥0.
5x+4y=72)?4x-3y=2
-8x+6y=α3)? ?2x-y=1?3x+y=54)? ?2x-?3y=?7?6x-3y=?55)? ?x-2y=3 2?x-7y=3
6)? ??1x+2y=2 3x-1y=3.
9,50e. Quel est le prix d"un kilogramme de cette crème?
AversB?
était le prix du café?