[PDF] Exercices et Contrôles Corrigés de Mécanique du Point

Pour les exercices 3,4 et 5, calculer les expressions lintérales des grandeurs demandées et faire l'application numérique Cinématique du point matériel Etablir l'expression de l'abscisse curviligne s(t) de M sachant que s(0) = 0 comme V est constant, alors le travail de la force de frottement au cours d'une période de

Ces exercices couvrent les quatres chapitres du polycopié de cours de la mécanique du point matériel cinématique, le mouvement se transmettant de proche en On munit Γ d'une abscisse curviligne s(t) dont l'origine est prise au point G1

[PDF] Examens corrigés Mécanique du Point Matériel - FP BENI-MELLAL

7) Exprimer, en fonction de ϕ, l'abscisse curviligne s de M, comptée à partir du point correspondant à ϕ 4) En appliquant le principe fondamentale de la dynamique par rapport au repère ℜ, sont constantes au cours du temps et non nulles

[PDF] Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices

au point d'arrivée (figure 7) La trajectoire définit la nature du mouvement Si la trajectoire est rectiligne, le mouvement est rectiligne et si elle est curviligne le

[PDF] CAHIER COURS SIMPLIFIES 100 EXERCICES CORRIGES

L'abscisse curviligne est défini comme étant la grandeur algébrique s de l'arc La cinématique est l'étude des mouvements sans se préoccuper des causes

[PDF] SERIE DEXERCICES N° 10 : MECANIQUE : CINEMATIQUE DU

Exercice 2 Un navire N est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse v, le long d'une droite D Un sous-marin

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Ce polycopie regroupe une série de cours sur la mécanique du point matériel, il est destiné été proposés aux examens et aux travaux dirigés Un mouvement peut se faire suivant des trajectoires rectilignes ou curvilignes ou suivant la Mécanique du point Cinématique USTO 39 Exercices Exercice 1 : un point

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Chapitre II : Cinématique du point matériel 1) La cinématique = branche de la mécanique L'abscisse curviligne s(t) est la mesure algébrique de l'arc de

[PDF] Mécanique du point

en vue de réussir ses examens Chaque ouvrage est des cours résumés suivis d'exercices corrigés pas à pas Optique 10 Abscisse curviligne et base de Frenet La mécanique repose notamment sur la cinématique, domaine qui s'oc -

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Ce recueil de cours et exercices résolus de mécanique du point matériel est un support III 2 Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non Dans le cas d'un mouvement curviligne il est parfois utile d'utiliser l'abscisse

CHAPITRE1

Rappels et compléments mathématiques

1.1 Exercices

1.1.1

Opérations sur les vecteurs

On donne trois vecteurs?A(3,2⎷2,⎷3),?B(2,⎷3,⎷2) et?C(1,2,2).

1. Calculer les normes??A?,??B?et??C?. En d´eduire les vecteurs unitaires?uA,?uB

et?uCdes directions, respectivement, de?A,?Bet?C.

2. Calculer cos(

??uA,?uB), cos(??uB,?uC) et cos(??uC,?uA), sachant que les angles sont com- pris entre 0 etπ.

3. Calculer les composantes des vecteurs?e1=?uB??uC,?e2=?uC??uAet?e3=?uA??uB.

4. En d´eduire sin(

??uA,?uB), sin(??uB,?uC) et sin(??uA,?uC). V´erifier ces r´esultats en utili- sant la question 2.

5. Montrer que?e1,?e2,?e3peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo-

nale, norm´ee?

1.1.2Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire

SoitR(O,?i,?j,?k) un rep`ere cart´esien et consid´erons la base sph´erique (?er,?eθ,?e?).

1. Exprimer les vecteurs de la base sph´erique dans la base cart´esienne.

2. Calculer

∂?e r 3

Rappels et compl´ements math´ematiques

3. En d´eduired?er,d?eθetd?e?dans la base sph´erique.

4. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base sph´erique peuvent se mettre

sous la forme d?e en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR.

5. On consid`ere la base cylindrique (?eρ,?e?,?k) . Quel est son vecteur rotation par

rapport `aR? En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, calculer la d´eriv´ee par rapport

au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR.

6. Consid´erons un vecteur

?V=Vr?er+Vθ?eθ+V??e?. En utilisant les r´esultats pr´ec´e- dents, calculer la d´eriv´ee par rapport au temps de ?Vpar rapport `aR

1.1.3Déplacement élémentaire

On se propose de traiter dans cet exercice le d´eplacement ´el´ementaire dans les trois

syst`emes de coordonn´ees, cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques et ce en utilisant les

r´esultatsde l"exercice 2

Consid´erons un rep`ere cart´esienR(O,?i,?j,?k). Soient (?eρ,?e?,?k) et (?er,?eθ,?e?) respective-

ment les bases cylindrique et sph´erique. SoitMun point rep´er´e par--→OMpar rapport `a

R. On consid`ere un d´eplacement infinit´esimal deMenM?tel queM?est tr`es proche de

M. On note alors le d´eplacement ´el´ementaire par--→OM?---→OM=d---→MM?=d--→OM

1. Dans le rep`ere cart´esien,--→OM=x?i+y?j+z?k. Calculer le d´eplacementd--→OMpar

rapport `aRdans la base cart´esienne.

2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `aR. Partant de--→OM=ρ?eρ+z?k, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRdans la base

cylindrique.

3. Rappeler le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR. Dans la base

sph´erique--→OM=r?er, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRet ce dans cette base.

1.1.4Tube cathodique

On ´etudie le mouvement des ´electrons dans le tube cathodique d"un osilloscope. Les ´electrons arrivent enOavec une vitesse?v0=v0?iet traversent les plaques de d´eviation P

1etP2de longueurl. Les ´electrons sont soumis entre les plaques de d´eviation`a une

acc´el´eration uniforme?γ0=γ0?jet sont d´evi´es, figure ci-dessous. L"´ecran est `a la distance

D= 5lde la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l"exercice les grandeurs vectorielles dans la base cart´esienne. la vitesse de la particule `a la sortie des plaques est?vAet fait un angleαavec?i. L"acc´el´eration des ´electrons entre les pointsAetEest nulle. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016

1.1 Exercices5

1. Etablir les ´equations horaires du mouvement

des ´electrons entre les plaques de d´eviation, x(t) ety(t). En d´eduire l"´equation de la tra- jectoirey=f(x).

2. Calculer la vitesse des ´electrons au pointA,

A, en fonction dev0,letγ0. En d´eduire

l"angleα=?(?i,?vA).

3. Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec-

trons entreAetE? En d´eduire les ´equations horairesx(t) ety(t). D´eterminer la d´eviation

δen fonction dev0,letγ0.

y xO j i 1P 2 P l D=5lδ E Aα

1.1.5Exercice

Un v´ehicule, que l"on peut consid´erer comme un point mat´erielM, se d´eplace par

rapport `a un r´ef´erentielR(O,xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse?V(M/R) telle que|?V(M/R)|=v. Le v´ehicule roule sur une bosse dont le profil peut

ˆetre repr´esent´e pary=f(x). On s"int´eresse au segment de la route [A,B].

1. Calculer la vitesse?V(M/R) en fonction

de xet de la d´eriv´ee premi`eref?(x) = df(x)/dxpar rapport `ax.

2. Calculer l"acc´el´eration?γ(M/R). En d´e-

duire que la composante de l"acc´el´eration selonOypeut se mettre sous la forme y(M/R) =v2f??(x) (f?2+ 1)2 f ??(x) ´etant la d´eriv´ee seconde def(x) par rapport `ax. AB M y x O y=f(x)

1.1.6Opérations sur les vecteurs : une autre approche

L"objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des op´erations vectorielles en utilisant la

fonction de Kroneckerδij1et le tenseur de Levi-Civita?ijk2.Les indicesi,j,k? {1,2,3}´etant donn´e

que l"on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3.

1. la fonction de Kronecker est d´efinie par

ij=?1 sii=j

0 si non

2. Le tenseur de Levi-Civita est d´efini par

ijk=???0 si au moins deux indices sont ´egaux1 si (i,j,k)?{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)} -1 si (i,j,k)?{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016

Rappels et compl´ements math´ematiques

On consid`ere un rep`ereRmuni de la base orthonorm´ee (?e1,?e2,?e3). La propri´et´e d"or- thonormalit´e de la base se traduit par?ei·?ej=δij, qui seront utilis´es dans la suite

de l"exercice, sauf mention contraire. Soient trois vecteurs?A(a1,a2,a3),?B(b1,b2,b3) et?C(c1,c2,c3).

1. Montrer que le produit scalaire

?A·?B=? i=1,3aibi.

2. Sachant que lai`emecomposante de?A??Bpeut s"´ecrire comme suit (?A??B)i=?3j,k=1?ijkajbk, en d´eduire que

A??B=?

i,j,k? ijkajbk?ei.

3. Montrer que le produit mixte

A·(?B??C) =?

i,j,k? ijkaibjck.

4. En utilisant le r´esultat de la question 2, montrer

A?(?B??C) = (?A·C)?B-(?A·B)?C

5. Montrer que

??A??B?

·??C??D?

=??A·?C???B·?D? -??A·?D???B·?C?

1.1.7Exercice : Opérations sur les vecteurs

On donne les trois vecteurs?V1(1,1,0),?V2(0,1,0) et?V3(0,0,2).

1. Calculer les normes??V1?,??V2?et??V3?. En d´eduire les vecteurs unitaires?v1,?v2

et?v3des directions respectivement de?V1,?V2et de?V3.

2. Calculer cos(

??v1,?v2), sachant que l"angle correspondant est compris entre 0 etπ.

3. Calculer?v1·?v2,?v2??v3et?v1·(?v2??v3). Que repr´esente chacune de ces trois

grandeurs?

1.1.8Exercice : Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire

Consid´erons la position d"un pointMdans le rep`ereR(O,xyz). Soient (?i,?j,?k),

(?eρ,?e?,?k) et (?er, ?eθ, ?eφ) respectivement les bases cart´esienne, cylindrique et sph´erique

associ´ees `a ce rep`ere. Le tenseur poss`ede les propri´et´es suivantes, que l"on neva pas d´emontrer i,j? ijk?ijl=δklet? i? ijk?ilm=δjlδkm-δjmδkl. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016

1.1 Exercices7

1. Calculer

∂?e

2. En d´eduired?eρetd?e?dans la base cart´esienne.

3. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se

mettre sous la forme d?e

ρ=dt?Ω??eρetd?e?=dt?Ω??e?

en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique dansR.

4. Quel est le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR? En utilisant

les r´esultats de la question pr´ec´edente, d´eduire les expressions de d?e r dt,d?eθdtetd?eφdt.

1.1.9Exercice : Mouvement rectiligne

On effectue un test d"acc´el´eration sur une voiture arrˆet´ee au d´epart (vitesse initiale

0= 0). La route est rectiligne.

1. La voiture est chronom´etr´ee `a 20sau bout d"une distanceD= 140m.

1-a)D´eterminer l"expression de l"acc´el´erationγ, supos´ee constante.

1-b)D´eterminer l"expression de la vitessevDatteinte `a la distanceD.

2. Calculer la distance d"arrˆetLpour une d´ec´el´eration de 8ms-2?

1.1.10Exercice : Excès de vitesse

Un conducteur roule `a une vitesse constantev0= 120 km h-1sur une route r´ecti-

ligne d´epassant la limite autoris´ee. Un gendarme `a moto d´emarre `a l"instant o`u la voiture

passe `a sa hauteur et acc´el`ere uniform´ement. Le gendarme atteint la vitesse 100 km h-1 au bout de 12s.

1. Quel sera le temps n´ecessaire au gendarme pour rattraperla voiture?

2. Quelle distance aura-t-il parcourue?

3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte?

Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016

Rappels et compl´ements math´ematiques

1.1.11Exercice : Mouvement circulaire uniforme

Consid´erons un satellite g´eostationnaire en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre sur une orbite de rayonr. Il est soumis `a une acc´el´erationγ=g0?R r?

2, o`u

0= 9.81m s-2etR= 6400 km , le rayon de la Terre. La p´eriode de r´evolution du

satellite est ´egale `a la p´eriode de rotation de la Terre sur elle mˆeme.

1. Calculer la p´eriodeTde rotation de la Terre en secondes. En d´eduire la vitesse

angulaire Ω.

2. D´eterminer l"altitude de l"orbite g´eostationnaire.

1.1.12Exercice : Mouvement sur une ellipse

Un point mat´erielMse d´eplace sur une ellipse d"´equation en coordonn´ees cart´esiennes x2 a2+y2b2= 1, voir figure ci-contre. la direction de--→OMpar rapport `a l"axeOxest rep´er´ee par l"angle?. L"´equation horaire du mouvement deMpeut se mettre sous la forme x(t) =x0cos(ωt+φ) ety(t) =y0sin(ωt +ψ) o`u l"on suppose queωest une constante. A l"instantt= 0,

Mse trouvait enM0.

y xO M 0 M a b

1. D´eterminerx0,φetψ. En d´eduirey0.

2. D´eterminer les composantes, et ce dans la base cart´esienne, de la vitesse (x,y) et

de l"acc´el´eration (¨x,¨y).

3. Montrer que l"acc´el´eration peut se mettre sous la forme?γ=-k--→OMo`ukest `a

d´eterminer. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016

1.2 Solutions9

1.2 Solutions

1.2.1

Corrigé 1 : Opérations sur les vecteurs

1. Soit un vecteur?V= (v1,v2,v3). On sait que la norme est donn´ee par??V?=??

i=1,3v2i. En appliquant ce r´esultat aux trois vecteurs?A(3,2,⎷3),?B(2,⎷3,⎷2) et ?C(1,2,2) , on obtient ?A?=?

32+ 22+⎷32= 4

?B?=?

22+⎷32+⎷22= 3

?C?=?

12+ 22+ 22= 3

On sait que le vecteur unitaire?uVde la direction du vecteur?V, est d´efinie par ?u V=?V /??V?. De la mˆeme mani`ere, en appliquant ce r´esultat, on obtient ?u A= (3

4,12,⎷

3 4) ?u B= (2

3,⎷

2 3) ?u C= (1

3,23,23)

2. Pour d´eterminer les cosinus des angles entre les trois vecteurs pris deux `a deux,

nous utilisons la d´efinition du produit scalaire suivante ?A·?B=??A???B?cos(??A,?B), ce qui donnequotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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CHAPITRE1

Rappels et compléments mathématiques

1.1 Exercices

Opérations sur les vecteurs

1. Calculer les normes??A?,??B?et??C?. En d´eduire les vecteurs unitaires?uA,?uB

2. Calculer cos(

3. Calculer les composantes des vecteurs?e1=?uB??uC,?e2=?uC??uAet?e3=?uA??uB.

4. En d´eduire sin(

5. Montrer que?e1,?e2,?e3peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo-

1.1.2Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire

1. Exprimer les vecteurs de la base sph´erique dans la base cart´esienne.

2. Calculer

Rappels et compl´ements math´ematiques

3. En d´eduired?er,d?eθetd?e?dans la base sph´erique.

4. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base sph´erique peuvent se mettre

5. On consid`ere la base cylindrique (?eρ,?e?,?k) . Quel est son vecteur rotation par

6. Consid´erons un vecteur

1.1.3Déplacement élémentaire

1. Dans le rep`ere cart´esien,--→OM=x?i+y?j+z?k. Calculer le d´eplacementd--→OMpar

2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `aR. Partant de--→OM=ρ?eρ+z?k, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRdans la base

3. Rappeler le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR. Dans la base

1.1.4Tube cathodique

1etP2de longueurl. Les ´electrons sont soumis entre les plaques de d´eviation`a une

1.1 Exercices5

1. Etablir les ´equations horaires du mouvement

2. Calculer la vitesse des ´electrons au pointA,

A, en fonction dev0,letγ0. En d´eduire

3. Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec-

δen fonction dev0,letγ0.

1.1.5Exercice

1. Calculer la vitesse?V(M/R) en fonction

2. Calculer l"acc´el´eration?γ(M/R). En d´e-

1.1.6Opérations sur les vecteurs : une autre approche

1. la fonction de Kronecker est d´efinie par

0 si non

2. Le tenseur de Levi-Civita est d´efini par

Rappels et compl´ements math´ematiques

1. Montrer que le produit scalaire

2. Sachant que lai`emecomposante de?A??Bpeut s"´ecrire comme suit (?A??B)i=?3j,k=1?ijkajbk, en d´eduire que

A??B=?

3. Montrer que le produit mixte

A·(?B??C) =?

4. En utilisant le r´esultat de la question 2, montrer

A?(?B??C) = (?A·C)?B-(?A·B)?C

5. Montrer que

·??C??D?

1.1.7Exercice : Opérations sur les vecteurs

1. Calculer les normes??V1?,??V2?et??V3?. En d´eduire les vecteurs unitaires?v1,?v2

2. Calculer cos(

3. Calculer?v1·?v2,?v2??v3et?v1·(?v2??v3). Que repr´esente chacune de ces trois

1.1.8Exercice : Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire

1.1 Exercices7

1. Calculer

2. En d´eduired?eρetd?e?dans la base cart´esienne.

3. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se

ρ=dt?Ω??eρetd?e?=dt?Ω??e?

4. Quel est le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR? En utilisant

1.1.9Exercice : Mouvement rectiligne

0= 0). La route est rectiligne.

1. La voiture est chronom´etr´ee `a 20sau bout d"une distanceD= 140m.

1-a)D´eterminer l"expression de l"acc´el´erationγ, supos´ee constante.

1-b)D´eterminer l"expression de la vitessevDatteinte `a la distanceD.

2. Calculer la distance d"arrˆetLpour une d´ec´el´eration de 8ms-2?

1.1.10Exercice : Excès de vitesse

1. Quel sera le temps n´ecessaire au gendarme pour rattraperla voiture?

2. Quelle distance aura-t-il parcourue?

3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte?

Rappels et compl´ements math´ematiques

1.1.11Exercice : Mouvement circulaire uniforme

2, o`u

0= 9.81m s-2etR= 6400 km , le rayon de la Terre. La p´eriode de r´evolution du

1. Calculer la p´eriodeTde rotation de la Terre en secondes. En d´eduire la vitesse

2. D´eterminer l"altitude de l"orbite g´eostationnaire.

1.1.12Exercice : Mouvement sur une ellipse

Mse trouvait enM0.

1. D´eterminerx0,φetψ. En d´eduirey0.

2. D´eterminer les composantes, et ce dans la base cart´esienne, de la vitesse (x,y) et

3. Montrer que l"acc´el´eration peut se mettre sous la forme?γ=-k--→OMo`ukest `a

1.2 Solutions9