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FORMULES de topographie - JLV octobre 2013

mise à jour septembre 2020 Plutôt que de les connaître par coeur, pour la plupart, il faudrait savoir les retrouver. Comprendre une formule est essentiel. Des explications les accompagnent ci-dessous.

Tout ce qui peut être représenté sur plan après report de mesures du terrain peut se calculer.

Calcul à faire sur le TERRAIN, tout de suite après chaque mesure

1. la vérification stadimétrique quand les mesures sont faites sur une mire graduée :

(indispensable avant de terminer une mesure, à chaque visée pour vérifier sa justesse) : v = FSH + FSB - 2*FN (-3 ≤ v ≤ 3 mm) - pour la retrouver, se souvenir que FN est le fil du MILIEU, entre FSH et FSB donc : FN = (FSH + FSB) / 2 - autrement écrit : FSH - FN = FN - FSB Au bureau : calculs PRÉLIMINAIRES à partir des lectures stadimétriques :

2. le calcul de DISTANCE horizontale pour une visée : Dh = (FSH - FSB) * 100

- 100 est la constante stadimétrique, caractéristique de la lunette ; - la distance est horizontale car la visée est horizontale, sur mire verticale ;

- cela correspond au fait qu'à 100 mètres de la mire graduée, on voit 1 mètre de mire entre les fils

haut et bas ; - le résultat est dans la même unité que FSH et FSB (le mm) ;

- pour trouver la distance en m, il faut diviser par 1000 le résultat en mm, ce qui fait que la formule

devient : - Dh (en m) = (FSH - FSB) / 10 FSH et FSB étant en mm - les lectures en mm étant des nombres entiers, la division par 10 fait que la précision sur la distance est obtenue avec 1 chiffre après la virgule (décimètre). Avec un théodolite dont la visée est oblique, la formule ci-dessus surestime la distance horizontale. Il faut la corriger en fonction de l'inclinaison de la lunette (angle de pente) ou de sa position par rapport au zénith (angle zénithal = Z).

Dh = (FSH - FSB)/10 x sin(Z)^2

3. le calcul de DÉNIVELÉ, entre 2 points visés (le 1er (AR=arrière) sert de référence)

(impossible à faire s'il n'y a qu'une seule visée faite depuis le point de station) - ∆h = FNAR - FNAV (∆ pour " différence » et h pour " hauteur ») - important : les 2 points visés sont visés depuis une même station - la lunette de la station fait toutes ses visées dans un même plan horizontal - quand la lunette vise le haut d'une mire (FN élevé), c'est que le point est bas - quand la lunette vise le bas d'une mire (FN faible), c'est que le point est haut

Autres calculs

4. L'écart angulaire entre 2 directions ∆a

L'écart angulaire entre les visées est la différence de leurs gisements (∆a = la différence des angles lus) - en particulier pour 2 visées partant d'une même station Le gisement est un angle, lu dans le sens des aiguilles d'une montre à partir d'une direction de

référence. L'azimut est un gisement particulier dont la direction de référence est le Nord.

4.1. ∆a = gisementMAX - gisementMIN = azimutMAX - azimutMIN

L'écart angulaire de 2 directions ne dépend pas de la direction de référence. Le résultat peut être l'angle intérieur (< 200 gr) ou l'angle extérieur (> 200 gr).

Il est en général préférable de calculer l'angle intérieur, mais pour situer correctement une direction

par rapport à l'autre il est essentiel de tenir compte du fait que les angles, en topographie, sont

mesurés dans le sens des aiguilles d'une montre.

4.2. angle int = 400 - angle ext

4.3. Les écarts angulaires peuvent se cumuler, en les additionnant, tout en

respectant le sens des aiguilles d'une montre.

5. La distance entre 2 points visés (d12 en les points 1 et 2) par rayonnement

La connaissance de l'écart angulaire entre les 2 visées : ∆a (cf 6.1.), et de la longueur de chacune des 2 visées, d1 et d2, permet de tracer le triangle formé par le point de station et les 2 points visés. La formule d'Al Kashi permet de calculer la distance entre les 2 points visés.

5.1. d12^2 = d1^2 + d2^2 -2 * d1 *d2 * COS ( ∆a )

^ est l'opérateur puissance (du tableur) - ^2 signifie que la distance est au carré. On peut voir cette formule comme une formule de pythagore améliorée.

Toutes les distances doivent être dans la même unité (a priori en m). Il faut faire la racine carrée

pour trouver le résultat pour la distance 1.

5.2. Les 2 distances et l'écart angulaire permettent aussi de calculer des

coordonnées rectangulaires (x,y) (cf 4.1 et 4.2). à partir des coordonnées rectangulaires, on peut appliquer un autre mode de calcul de la distance entre 2 points : d12^2 = ∆x^2 + ∆y^2, avec ∆x = x1 - x2 et ∆y = y1 - y2

C'est la formule de Pythagore,

qui est applicable car ∆x et ∆y sont 2 côtés d'un triangle rectangle.

6. Le calcul des COORDONNÉES rectangulaires d'un pt visé depuis un pt de station :

il faut : - un point de référence - le plus simple est de prendre le point de station - une direction de référence - le plus simple est de prendre celle de la 1ère visée (mise à 0) soient xv et yv les coordonnées du point visé et xS,yS celles du point de station : - 6.1. xv = xS + distance Sv * SIN (gisement Sv - 6.2. yv = yS + distance Sv * COS (gisement Sv - la distance Sv est la longueur (horizontale) de la visée S -> v - le gisement Sv est l'angle, lu dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction de référence (celle de la mise à 0 du limbe) - pour faire le calcul, l'unité du gisement et celle de la calculatrice doivent correspondre (grade, degré ou radian) - pour convertir un angle du grade au degré, il faut le multiplier : x 0,9 - pour convertir sur le tableur (ordinateur) du grade au radian : /200 * pi()

Quand on connaît l'azimut

(par rapport au Nord) de la première visée (azimut.0), pour calculer des coordonnées géographiques, on l'ajoute au gisement : - 6.3. xv = xS + distance Sv * SIN (gisement Sv +azimut.0) - 6.4. yv = yS + distance Sv * COS (gisement Sv + azimut.0) - gisement Sv + azimut0 donne l'azimut de la visée (azimut Sv ) (cf 4.3). - le calcul est correct même si gisement Sv + azimut0 dépasse 400 gr... - mais pour indiquer l'azimut de la visée enlever ces 400 gr est préférable. distance Sv * SIN (angle) correspond à la VARIATION d'abscisse (∆x = xv - xS ) et distance Sv * COS (angle) correspond à la VARIATION d'ordonnée (∆y = yv - yS que l'angle soit un gisement ou qu'il soit un azimut. selon la direction de référence choisie, qui est celle de l'axe des ordonnées, soit généralement : le Nord, ou la mise à 0 d'angle horizontal d'une station.

7. L'enchaînement de mesures entre 2 stations consécutives

Pour associer dans le plan les relevés de 2 stations dans un même plan, il faut : soit 2 points communsquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3