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Soit T un ensemble de formules propositionnelles, et F une formule propositionnelle Une preuve de F `a partir de T est une suite finie F1,F2,··· ,Fn de formules 

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Les formules (ou phrases, ou énoncés) du calcul propositionnel sont de deux types : ou bien une formule est une proposition atomique, ou bien elle est composée 

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Definition (Formule bien formée) On définit une formule bien formée (fbf) par : p, o`u p est une variable propositionnelle (A ∨ B) (A ∧ B) (¬A) (A → B) : si A 

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formule propositionnelle A Fixer une interprétation qui donne V ou F à chaque lettre propositionnelle Dé nir la fonction booléenne unaire FB¬ : BOOL → BOOL

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Introduction Syntaxe du calcul propositionnel Sémantique du calcul propositionnel Grands théor`emes du calcul propositionnel L'ensemble L des formules du calcul propositionnel est le plus petit ensemble tel que : (admis dans ce cours)

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semble P de variables propositionnelles, notées p, q, r, , et les connecteurs lo- giques {¬ Définition 3 (Sous-formules) ´Etant donnée une formule logique A, 

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Syntaxe

Sémantique

Dénissabilité

Systèmes de preuves

Systèmes de preuves sémantiques (tables de vérité)

Systèmes de preuves syntaxiques

lettres dites propositionnelles formules de la logique propositionnelle est le plus petit ensemble contenantR?? ????? :(p)_(p;p)!(^(p;q);:(r)) :p p_p(p^q)! :r ?? ??????#????_?^??!?

SiA??? ??? ??????p?

SF(A) =fpg?

SiA???:(B)?

SF(A) =f:Bg [ SF(B)?

SiA???#(B;C)?

SF(A) =f#(B;C)g [ SF(B)[ SF(C)?

Fixer une

interprétation qui donneV??F? ?????? ??????

Dénir la

fonction booléenne unaire FB ::BOOL!BOOL fonctions booléennes binaires FB _;FB^;FB!:BOOL2!BOOL?

Construire la

valeur de vérité de la formuleA? FB (V) =F FB (F) =V FB _ (V;V) =V FB _ (V;F) =V FB _ (F;V) =V FB _ (F;F) =F FB (V;V) =V FB (V;F) =F FB (F;V) =F FB (F;F) =F FB (V;V) =V FB (V;F) =F FB (F;V) =V FB (F;F) =V ?????? ?? ?????? ????? ???????A??? ??????? ? ???

SiA??? ??? ??????p?

[A]I =I(p)?

SiA???:(B)?

[A]I =FB:([B]I)?

SiA???#(B;C)?

[A]I =FB#([B]I;[C]I)? ?????? ?? ?????? ?? ?? ???????(p_q)! :(q^q)??? ??????? ?I? Méthode pour raisonner sur les modèles de formules propositionnelles.

Comment ça marche?

SoitA??? ??????? ????? ????? ???????

1. Construire une table où chaque colonne est étiquetée par une 2.

Pour chaque lignem?? ?? ????? ?

(a) Donner une interprétationIm??? ???????p1;:::;pn? (b)

Calculer les valeurs[A1]Im;:::;[Ak]Im

I une formule

A??[A]I=V

I une formule

A??[A]I=F?

I un ensemble de formules I un ensemble de formules ???????A????Δ????? ???[A]I=F?

Dénition :

formule A??? satisfaisable s'il existe au moins ensemble de formules satisfaisable s'il existe au moins une interprétationI????? ???I formule A??? contradictoire si elle n'est pas satisfaisable, c'est à dire s'il n'existe pas d'interprétationI??? ensemble de formules contradictoire si il n'est pas satisfaisable (s'il n'existe pas d'interprétation qui satisfait toutes les formules deΔ

Dénition :

formule A??? valide si toute interprétation satisfaitA? ?? ensemble de formulesΔ??? valide si toute formule deΔ??? ??????? formule A??? conséquence logique d'un ensemble de formules

Δj=A

Si la colonne étiquetée par la formuleA???? ??? ??? valide contradictoire Sinon, l'interprétation qui rendsV?? ??????? ?? ?? ???????A ???????A A?

Dénition :

equivalentes , noté

A´B? ???fAg j=B??fBg j=A?

:A´B???(A!B)^(B!A)??? ??????? (A_B)_C´A_(B_C) (A^B)^C´A^(B^C)

A_B´B_A

A^B´B^A

A_A´A

A^A´A

:(A^B)´ :A_ :B :(A_B)´ :A^ :B

A_(B^C)´(A_B)^(A_C)

A^(B_C)´(A^B)_(A^C)

::A´A

A!B´ :A_B

fE1;:::;Eng j=A??? ?? ???????E1^:::^En!A??? ??????? 2. 3.

L'ensemble vide est satisfaisable.

4. L'ensemble de toutes les formules est contradictoire. 5. 6. 7. Toute formule est conséquence logique d'un ensemble insatisfaisable de formules. 8. Toute formule valide est conséquence logique d'un ensemble quelconque de formules, en particulier de l'ensemble vide. 10.

Théorème :

satisfaisable ssi tout sous-ensemble ni deΔ??? satisfaisable

Dénition :

p

1;:::;pn?n¸0?? ??

fonction booléenne n-aire qui réalise la formule FB

A(v1;:::;vn) = [A]I??I(pi) =vi

Dénition :

complet ssi pour v 1 v 2 v 3 f(v1;v2;v3) V V V V (p1^p2^p3)_ V V F F V F V F V F F V (p1^ :p2^ :p3)_ F V V V (:p1^p2^p3)_ F V F V (:p1^p2^ :p3)_ F F V F F F F V (:p1^ :p2^ :p3)quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35