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P P P P P P P P 2 1 1 p X !2 ?.e. tt2f;:::;Tg t ?.e. T T
3.2 Actifs risqués et actif sans risque
d ⎷ér?odes it i 2 it ⎷os???ves même tt2f;:::;Tg j A jdésigne ici le cardinal de l'ensembleA.Il est implicite dans cette dénition que ce marché fonctionne sans coût de transaction, qu'il n'y a donc
pas de prix??detas?pour les actifs sous-jacents. Il s'agit là évidemment d'une restriction peu réaliste
même si elle est souvent adoptée. ttdt t ttdt t ttdt it t S:::S tssds t tdtt;:::;T S:::S tt;:::;Tfiltration propre ttdtt;:::;T3.2.1Définition
t t t numéraire ttt tt t i.e. r ttY s s actif sans risque t d actifs risqués t tdt St tt 0 0 00 0 0 0 0 03.2.2Actualisation
valeur actualisée e 0 0 e i.e. e0 e e e e1e t it it P t tdt tt;:::;T t tt itt;:::;T ttDéfinition 3.3.1
tt;:::;T RdDéfinition 3.3.2
etQ QRemarque 3.3.3
it itit \btdX i itit tt tttSt tt dtt d e tt t t tettet ett t et3.4 Autofinancement
t t- t-t- t-t- tt- tt- tt- t t-tt- tt?{;:::;T} d t-t-tt- 2fg 2fg2fg 2fg
2fg 0 1S1S1 SS1S =1 0 =1Définition 3.4.2
caractéristiques du portefeuille autofinancé 01 00 00
R1R 01
01000
00 00 00
Remarque 3.4.3
0 0110
00 010 1
0 0 00 0 00000Il faudra donc, dès à présent, considérer
1lorsque l"on écrit
Remarque 3.4.4
00 =1 00 00 t t t tttt3.5 Financement avec entrée/sortie
tmontant t P t tt;:::;T R processus d"entrée/sortie locale t consommation locale ;c t ;c tttttt valeur nette d"entrée/sortieLes deux processus de valeuret;ccoïncident
évidemment en l"absence d"entrée/sortie locale e ;c t;c t t t tetttett tctS 0t t t tt tt t tt tt tt t tttt tt;:::;TRd tt;:::;T
t tttt ttt tett ;c t;c t;c t tttttt tttttttt tttt ;c dX i i i t t" tet t" tt s ss s tt;:::;T tt;:::;T ;c t ;c t;c t;c ttStt t Stt ttt ttt ;c tt s sst s s ;c tt t s sst s sDéfinition 3.5.3
tt;:::;Ttt;:::;T x; ;c t;c tR tt;:::;T Rd
tt;:::;T tt;:::;T tt;:::;T x;;c t;c tRemarque 3.5.4
;c tt;:::;T tt;:::;T x;;c t ttx;; tx; t x;;c tt;:::;T7!x;;c
tt;:::;T7!x;;c
tt;:::;T t»t 2 fg x; ;c t-x;;c0 t 2 fg2 fg 7!x;;c
t tt;:::;T ttt X s s s 2 fg t et t- e x; ;C tx; tt2 fg csS
0s Pt s c sS 0s t + 1 T T=( R T=( R ST =max(T0) = (
T)+ =max(T0) = (
T)+ f -g2fg»»
X 0 i tT0;:::;Tit
i tT0;:::;Tit i tT0;:::;Tit
i 0 0 0 iT+T t=013.6.2Actif américain
Définition 3.6.3
tt0;:::;T tt 2 choisie par l'acheteur shout option cf. 0 2fg T essentiels 2fg indépendantes même loi Z 2fg 2fg ∞.a. T ?.a. 2fg2fgvia
X 3. X X X26.3 Corrigé
T T EE E E EEf0t+1gEf0»t+1g
EEf0»t+1g
E E E E E 2fg 2fg T+1 T p n+1 n nn 2 0 !1 n k X X - X f g f g\ f g 2 fg Y Y X X X XT∞T?Tt∞
XT∞
T∞
X X X 2 0 2 02 1 =1 01 2 =0 2 323 01 1 =1 01 2 3 () cf. (T) 0 T (T) 2 2