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Exercice 1 - Produits scalaire et vectoriel Soit deux vecteurs V1 = (2, 4, −3) et V2 = (−1, 2, 2) dans une base ( x, y, z) 1 Calculer V1 V2, V1 x, x x et x y 2

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Feuille d"exercices n

o4

Déterminant et produit vectoriel

Calcul de déterminants

Exercice 1.Soient les déterminantsD1 :=1 4

23
etD2 := 3 03 2 1 6 01 0

1. CalculerD1.

2. CalculerD2de trois manières différentes :

(a) en développant suivant la première colonne. (b) en développant suivant la première ligne. (c) en utilisant la règle de Sarrus. Exercice 2.Calculer les déterminants suivants : D 1:= 1 2 3 2 3 0 3 0 1 ;D 2:= 1 1 0 0 0 1 1 0 1 ;D 3:= 2 7 1 1 2 0 3 5 1 D 4:= 2 1 2 3 1 3 1 0 6 ;D 5:= 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ;D 6:= 1 p293 1+e3 icos(5)3i Exercice 3.Soienta;b;cdes réels, calculer les déterminants suivants : D 1:= 1 1 1 a b c b+c a+c a+b ;D 2:= abc2a2a

2b bac2b

2c2c cab

D 3:=

1 +a a a

b1 +b b c c1 +c ;D 4:= 1a a2 1b b2 1c c2 ;D 5:= 1 cos

2(a) sin2(a)

1 cos

2(b) sin2(b)

1 cos

2(c) sin2(c)

Déterminants et géométrie

Exercice 4.Soient les vecteurs!u="

1 1 1Ž !v=" 1 2 3Ž et !w=" 1 4 aŽ ,a2R. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) deales vecteurs!u,!vet!wsont coplanaires. Exercice 5.Déterminer si les pointsA;B;CetDsuivants sont coplanaires :

1.A= (1;1;0),B= (2;0;1),C= (1;2;3)etD= (1;4;2).

2.A= (2;1;0),B= (0;4;5),C= (4;13;13)etD= (4;5;3).Benjamin CollasEmail :collas@math.jussieu.fr1/2

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Exercice 6.En utilisant le déterminant, donner une équation du plan :

1. passant par les pointsA= (1;0;2),B= (1;4;2)etC= (3;2;1).

2. contenant le pointA= (1;4;2)et contenant la droite

D:¨xy+ 1 = 0

xz+ 2 = 0

3. contenant les deux droites

D

1:¨2xy2 = 0

y+z2 = 0D2:¨xy+ 1 = 0

4xz1 = 0

Exercice 7.En utilisant le déterminant, déterminer si la droite et le plan suivants sont parallèles ou

sécants :

D:¨5x3y+ 2z5 = 0

2xyz1 = 0P: 4x3y+ 7z7 = 0

Indication :on pourra utiliser le déterminant sous la forme du produit mixte.

Produit vectoriel

Exercice 8.SoientA;B;CetDquatre points deR3. Montrer que : !AB^!AD+!AD^!AC+!AB^!AC+!BC^!BD= 0

Exercice 9.Soient trois vecteurs deR3:!u ;!vet!w.

1. Montrer quej(!u^!v):!wj6k!ukk!vkk!wk.

2. On suppose quej(!u^!v):!wj=k!ukk!vkk!wk. Que peut-on dire des trois vecteurs!u ;!vet!w?

Exercice 10.Soient deux vecteurs!A="

1 4 2Ž et !B=" 1 3 1Ž

1. trouver un vecteur

!Ctel que!Csoit normal au plan défini par(!A;!B).

2. trouver un vecteur

!Ddans le plan(!A;!B)et normal à!A.

3. calculer(!A^!B)^!Det!A^(!B^!D). Conclure.

Exercice 11.On considère le tétraèdre de sommetsA= (1;1;1);B= (1;2;1);C= (5;2;3)etDdans

une base orthonormée directe deR3. Trouver les coordonnées du pointD, sachant qu"il appartient à la

droiteDpassant par le pointX= (1;0;1)et de vecteur directeur!v=" 2 1 3Ž , et que le volume du tétraèdre est 5.Benjamin CollasEmail :collas@math.jussieu.fr2/2quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21