Fonctions Exponentielles et Puissances en Terminale D PDF RCB26Cours.pdf

la représentation graphique d'une fonction qu'on appelle fonction exponentielle notée exp 2

NS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 1 LE COURS [Série – Matière – (Option)]

Terminale S - Fonction exponentielle - Exercices - Physique et

?tés des fonctions exponentielles Exercice 1 1 Démontrer l'unicité de la fonction exp(x) d e

Fonction exponentielle Exercices corrigés - Free

n de l'équation ( ) 0 f x = 1 3 Fesic 1996, exercice 4 Soit f la fonction définie par : ( ) ln(

La fonction exponentielle - Maths-francefr

avons pas les moyens en terminale de démontrer l'existence d'une telle fonction et nous

Fonctions Exponentielles et Puissances en Terminale D

la représentation graphique d'une fonction qu'on appelle fonction exponentielle notée exp 2

La fonction exponentielle - Lycée dAdultes

Unité graphique : 2 cm sur les deux axes paul milan 2 Terminale S Page 3 exercices

La fonction exponentielle - Lycée dAdultes

mathPDF

Exercices sur la fonction exponentielle

re algébriquement l'inéquation f(x) ≥ 0 Exercice 2 Partie A- On considère la fonction f définie sur

Exponentielles EXOS CORRIGES - Free

re d'habitants d'une région ayant un fort taux de natalité est donné par la fonction exponentielle

Fonctions Exponentielles et Puissances en

Terminale D

Par

OUAFEU TOKAM GUY PAULIN

Sous l"encadrement du

Dr Fidele CIAKE CIAKE : Chargé de cours ; ENS de Yaoundé. de M. TCHOUTIO Moïse : Inspecteur Pédagogique National de Mathématiques et de M. MEGAMTCHE Luc Calvin : Professeur des Lycées d"Enseignement Général.

Juillet 2014

|Table des matières|Introduction générale 1

0.1 Activité introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2 Fonction Exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.1 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.2 Propriétés algébriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.3 Représentation graphique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.4 Exercices d"application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.5 Dérivées : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.6 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.7 Limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.8 Puissance d"un réel positif :a;a >0: . . . . . . . . . . . . . . . .17

0.2.9 Fonction exponentielle de basea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

0.3 Fonction puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.1 Définition et propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.2 Étude de la fonctionx7!x:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

0.4 Comparaison des croissances des fonctions logarithme népérienne, exponen-

tielle et puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.4.1 Logarithme et puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4.2 Exponentielle et puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4.3 Exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.5 Exercices dans les domaines d"utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.6 Exercices d"application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.7 Devoir surveillé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.8 Devoir de maison : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusion 42

Bibliographie 42PRENUM-ACi

|Introduction générale|La nécessité de rendre facile l"enseignement des Mathématiques, de mettre à la disposi-

permettant de mieux aborder l"enseignement supérieur et d"analyser une situation de vie, sont les objectifs majeurs du projet Prenum-AC (Production de Ressources Numériques de Mathé- matiques en Afrique Centrale). C"est dans le cadre de ce projet que nous présenterons un cours sur les fonctions exponentielles et puissance en Terminale D. Les fonctions exponentielles et puissances sont des notions étudiées dans les classes de Ter- minales. L"enseignement de ces deux fonctions a pour objectif de faciliter la résolution des équations de la formeax+b= 0, la détermination des nombres de la formeapq . Pour l"atteinte de cet objectif, on peut définir la fonction exponentielle dans les classes de Terminale, comme : 1.

La solution du système dif férentiel:

(Y0=Y

Y(0) = 1

2. La bijecti onréciproque de la fonction log arithmenépérien. Au Cameroun, dans les classes de Terminale D, les enseignants utilisent le logarithme népé- rien pour transmettre cette notion. C"est dans ce sillage que nous introduirons la fonction expo- nentielle dans le cours qui suivra tout en proposant nos motivations. Au delà de cette approche

axiomatique, nous constatons que les élèves de Terminale D ont des aptitudes théoriques plus

ou moins moyennes au sujet des fonctions exponentielles et puissances, mais seulement très

peu d"entre eux et certains enseignants ignorent concrètement à quoi elles peuvent servir. Il est

donc également question à la suite du cours de proposer des exercices concernants des domaines d"application. .PRENUM-AC1 |COURS SUR LES FONCTIONS

EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

EN TERMINALE D|Historique :

Dans [6], il ressort que : "La naissance de la fonction exponentielle est le fruit d"un long mu-

rissement qui n"aboutit qu"à la fin du 17 ieme siecle. L"idée de combler les trous entre plusieurs

puissances d"un même nombre est très ancienne. Ainsi trouve t-on dans les mathématiques ba-

byloniennes un problème d"intérêts où il est question du temps pour doubler un capital placé à

20% conduisant à une interpolation linéaire pour fournir un nombre d"années égal à

34760
Il manque cependant une notation pour permettre le développement d"exposant entiers, né- gatifs et même fractionnaire. La notation d"une puissance entière sous forme d"un exposant ne

se développe réellement qu"après sa présentation par René Descartes en 1637 dans sa géométrie

et est rapidement utilisée par des mathématiciens comme Huygens, Mersenne. Chez Descartes cependant, l"exposant est un nombre entier et pas une lettre, il est comme un indice indiquant

combien de fois la quantité (nombre ou variable) a été multipliée par elle même. Chez Wal-

lis en 1657, on voit apparaitre des exposants littéraux entiers. On trouve également chez lui,

dans son Arithmétique Infinitorum de 1656, une étude algébrique et géométrique des fonctions

puissance rationnelle. Mais l"apport décisif dans ce domaine se situe dans deux lettres (Epistola Prior et Epistola Posterior) de 1676 que Newton envoie à Leibniz par l"intermédiaire d"Henry

Oldenburg. C"est la première apparition en exposant d"une expression littérale fractionnaire, de

sa signification et du développement du binôme correspondant; suivie dans la seconde lettre, de la première apparition d"une expression contenant un exposant irrationnel. Cependant Newton n"en donne aucune définition ni calcul approché. Leibniz s"empare de

ce concept et présente pour la première fois en 1678 un exposant variable "gradus indefinitus»

dans une expressionxyqui devient pour lui le premier modèle d"expression transcendante. Ce-

pendant, il n"en explique pas la signification. En 1679, il confie à Huygens qu"il a encore duPRENUM-AC2

Table des matières

mal à exploiter des équations de formexxx= 24. Au cours de la seconde moitié du 17 ième siècle la notationapq se généralise. Les exposants commencent à être perçus comme des logarithmes. Vue de l"esprit en 1679, la notion prend

peu à peu corps jusqu"à se voir qualifiée d"exponentielle. Leibnitz confie à Huygens que de

telles expressions ne sont plus obscures. Il les relie explicitement aux logarithmes expliquant queln1+x1x=y,1+x1x=byou breprésente une grandeur constante dont le logarithme vaut 1.

C"est la première apparition de la base des logarithmes naturels qui sera noté par Euler "e».

En 1694, Jean Bernoulli et Leibnitz étudiaient la courbe d"équationy=xxen déterminant les tangentes. En 1697, Jean Bernoulli étudie la fonction exponentielle en tant que telle dans son Principia calculi exponentialium seu percurrentium. Les fonctions exponentielles font alors leur entrée officielle dans le corps mathématique. Les deux autres avancées dans ce domaine consistent à mettre en exposant un nombre com-

plexe, puis une matrice. La première démarche est entreprise par Euler des 1740 et est finalisée

dans son texte fondateur de 1747, Introdctio in analysin infitorum. La seconde est l"oeuvre d"Ed- mond Laguerre en 1867».PRENUM-AC3

Table des matières

Pré-requis :

Pour aborder aisément ce cours, l"apprenant doit impérativement maitriser : 1.

La définiti onde la notion de primiti ve.

La notion de m onotonied"une fonction.

3. La définiti onde la notion de bijection et les propriétés des fonctions bijecti ves. 4. Les dif férentesformes indéterminées et les règles de calcul des limites du produit, du quotient, de la somme et de la composée de deux fonctions. 5. L "étudeet le spropriétés de la fonction log arithmenépérien.

Objectifs pédagogiques spécifiques :

A la fin de ce cours, l"apprenant devra être capable de : 1. Définir les fonctions e xponentielleset puissances. 2. Maitris erles propriétés algébriques des fonctions e xponentielleset puissances, puis les utiliser pour les calculs numériques. 3. Résoudre des équations et inéquations contenant les fonctions e xponentielleset puis- sances. 4. Étudier et représenter les fonctions du type : lnf;expf; faou fest une fonction réelle etf >0. 5. Étudier les croissances comparées des fonctions x7!lnx; x7!x (2R)et x7!expuis s"en servir pour lever des indéterminations dans le calcul des limites.

Relations avec d"autres parties du programme :

Les fonctions exponentielles et puissances interviennent dans les contextes suivants :

La résolution des équations différentielles linéaires du premier et second ordre à coefficients

constants. La définitions de certaines suites numériques. Le calcul de l"intégrale des fonctions les contenants.

Utilisations :

Nous pouvons citer quelques domaines :

En Thermodynamique pour la détermination de la température d"un corps en fonction duPRENUM-AC4

Table des matières

temps par la méthode de Newton. En Biologie animale pour la détermination de la surface de la peau d"un animal. En Biologie animale pour la détermination de la taille de la population des rongeurs. En Agronomie pour la prévision de la croissance d"une racine.

Motivations :

La fonction exponentielle peut être introduite selon plusieurs approches. Notamment 1. Comme la bijection réciproque de la fonction log arithmenépérienne. 2. Comme sol utionde l"équation dif férentielley0=yvérifiant la conditionf(0) = 1. 3.

Comme la fonction x7!limn!+1(1 +xn

)n(l"existence de cette limite mobilisant des notions hors programme en Terminale D, on l"admettra). La compréhension des approches 2 et 3 nécessite des pré-requis d"une part sur la notion de suites de fonctions adjacentes , notamment celles définies parun(x) = (1 +xn )net v n(x) = (1xn )n, d"autre part sur la notion d"approximation affine; qui ne sont pas au programme de mathématiques en terminale D. A cause de la complexité de compréhension des approches 2 et 3 pour les apprenants de la terminale D et en conformiter avec le programme officiel de mathématiques, nous présenterons en priorité dans ce cours la fonction exponentielle suivant l"approche 1. Toutefois, nous ferons allusion à l"approche 2 en exercice, à la fin du cours.

Schéma pédagogique de la ressource

1.Activités d"approches

Elles introduisent des notions nouvelles et ressortent l"objectif générale de la notion à enseigner ainsi que les méthodes de démonstration. En général leur conclusion seront mises en évidence.

2.Définitions

Bien structurées elles seront écrites dans un langage très accessible à tous.

3.Propriétés et Théorèmes

Ils énonceront tous les résultats et seront illustrés d"exemples et complétés par des re-

marques et commentaires.

4.Exercices d"application

Chacun de ces exercices porte sur un savoir faire . La solution proposée fait ressortir clai-

rement le point méthode et explique aussi la démarche suivie pour trouver une solution.PRENUM-AC5

0.1. Activité introductive

0.1 Activité introductive

Objectif :Découvrir quelques propriétés de la fonction exponentielle à partir de sa repré-

sentation graphique.

Modalité :Travail à faire par les élèves individuellement en classe pendant 20 minutes et

correction guidée par l"enseignant en 10 minutes. Énoncé:Le plan est muni d"un repère(o;~i;~j)orthonormal.

1.Graphiques :

a) Tracer la représentation graphique(C)de la fonction logarithme népérien dans (o;~i;~j). b) Tracer la droite(D)d"équationy=x. c) Construire l"image(L)de(C)par la symétrie d"axe(D).(L)est la représentation graphique d"une fonction qu"on appelle fonction exponentielle notéeexp.

2.Interprétation :

a) Conjecturer graphiquement le sens de variation deexp. b) Reproduire et compléter, à l"aide d"une calculatrice scientifique le tableau de valeurs ci dessous. Consulter la notice de votre calculatrice ou exécuter la séquence suivante pour une calculatrice scientifique non programmable : x 2 nd e x =exp(x) =::: x 2 nd e x ln =lnexp(x) =:::x01p2322,71,5-1,5-2,3-6,1-7-2 expx ln(expx)exp(lnx)c) Conjecturer les propriétés de la fonction exp en complétant :

8x::::ln(expx) =::::et8x:::: exp(lnx) =::::

d) Placer dans le repère, les points M et N de coordonnéesM(a;lna)etN(lna;a)pour a= 1eta=p2. e) Constater queM2(C)etN2(L)puis interpréter graphiquement les deux résultats précédents. f) Déduire une définition de la fonction exponentielle notée exp.PRENUM-AC6

0.2. Fonction Exponentielle :

0.2 Fonction Exponentielle :

0.2.1 Définition :

La fonction exponentielle, notéeexpdéfinie deRvers]0;+1[est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien définie de]0;+1[versR.

Conséquences immédiates:

Pour tout réelx,ln(exp(x)) =x.

Pour tout réelxde]0;+1[,exp(lnx) =x.

Pour tout réelx,exp(x)>0.

Pour tout réelxet pour tout réel strictement positify, y=exp(x),x= lny:

Cas particuliers:

exp(0) = 1carln1 = 0. exp(1) =ecarlne= 1.

Remarque 1 :exp(x) =ex;8x2R:

Remarque 2 :e= 2;718281828:::

Activité 0.2Objectif :MéthodeMontrer que la fonction exponentielle est égale à sa dérivée.

Modalité :A faire individuellement par les élèves en5minutes sur la surveillance de l"en- seignant.ÉnoncéCommentaires

Soitfla fonction définie parf(x) =ex,

pour tout réelx. (i)

Soit x2R, exprimerxen fonction de

f(x). (ii)

Déri verl"e xpressionobtenue ci-dessus

par rapport àx. (iii) Déduire que f0(x) =f(x); x2R:Cette activité traduit que sigest la fonc- tion définie surR+parg(x) = lnx, alors(g1(x))0=1(g0g1)(x)C"est-à- dire(ex)0=ex8x2R.Solution : (i)

Soit x2R; f(x) =ex,x= ln(f(x)):

(ii)(x)0= (ln(f(x)))0)1 =(f(x))0f(x): (iii)1 =f0(x)f(x),f0(x) =f(x):PRENUM-AC7

0.2. Fonction Exponentielle :

0.2.2 Propriétés algébriques :

Activité 0.3Objectif :MéthodeMontrer les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

Modalité :A faire individuellement par les élèves en10minutes. Énoncé:aetbsont deux nombres réels; notonsAetBleurs images respectives par la fonction exp, soitea=A et eb=B: 1.

On rappelle que lnA+ lnB= lnAB:

a) Montrer quea+b= lnAB: b) En déduire queea+b=eaeb:(1) 2. a) En prenant a=bdans l"égalité (1), exprimereben fonction deeb. b) En déduire le réelxtel queex=eae b: c) En prenanta=bdans l"égalité (1), exprimere2aen fonction deea. Généraliser le résultat àenapournentier relatif, puis àerapourrnombre rationnel.Solution 1. a) On a ea=A,a= lnA et eb=B,b= lnB.

D"oùa+b= lnA+ lnB= lnAB:

1. b) a+b= lnAB,ea+b=AB=eaeb: 2. a) eb+b=ebeb,ebeb= 1,eb=1e b: 2. b) ex=eae b=eaeb=ea+(b)=eab:

D"oùex=eab,lnex= lneab,x=ab:Donceab=eae

b: 2. c) ea+a=eaea,e2a= (ea)2(2): Par la suite pourn2N, on a :ln(ena) =na=a+:::+a|{z} nfois= ln(ea) +:::+ln(ea)|{z} nfois:

D"oùln(ena) = ln(ea:::ea|{z}

nfois) = ln((ea)n)(Par application successive de (1) et (2)).

Doncena= (ea)n8n2N:

Pourm2Z,ema=em(a)= (ea)m=1(ea)m=1(

1e a)m=11 (ea)m= (ea)m:

Pourr2Q, on poser=

avec2Z,2Z:

D"oùe

a=pe a=p(ea)= (ea) (en supposant que >0).

D"oùera= (ea)r:

Propriété 0.1.Pour tous réelsaetb,ea+b=eaeb.PRENUM-AC8

0.2. Fonction Exponentielle :

Conséquence :

Pour tout réela,ea=1e

Pour tous réelsaetb,eab=eae

b. Pour tout réelaet pour tout rationnelr,(ea)r=era.

Exemples :Écrire plus simplementee

p3 : eln3ln7: eln5:(ex)3e3x:

Solution :

e e p3 =ep3 .eln3ln7=eln 3e ln 7=37 : eln5=1e ln 5=15 (ex)3e3x=e3xe3x=e3x3x=e0= 1:

0.2.3 Représentation graphique :

Dans un repère orthonormé, les représentations graphiques des fonctionsexpetlnse dé-

duisent l"une de l"autre par symétrie orthogonale d"axe la droite d"équationy=x.FIGURE1 - Courbe representative de la fonction exponentielle

Conséquence :

Il découle de la courbe représentative deexpqu"elle est strictement croissante, continue et donc

bijective. Ainsi pour tout réelsxetyon a :ex=ey,x=y: e xey,xy:0.2.4 Exercices d"application :

FRésolution des équations :

Résoudre dansRchacune des équations suivantes : e x2+2=e3x;e2x+1=3 ; 2e2x+27ex+1+ 3 = 0:PRENUM-AC9

0.2. Fonction Exponentielle :

Solution :

ex2+2=e3x,x2+ 2 = 3x,x23x+ 2 = 0: Le discriminant de cette équation est = 942 = 1.

D"où les solutions sontx1= 1et x2= 2:

DoncS=f2;1g.

e2x+1=3<0(impossible car la fonction exponentielle est toujours positive).

DoncS=;.

2e2x+27ex+1+ 3 = 0,2e2(x+1)7ex+1+ 3 = 0,2(ex+1)27ex+1+ 3 = 0. (I)

Effectuons le changement de variableX=ex+1, D"où(I)devient2X27X+ 3 = 0. Son discriminant est = 494(2)(3) = 25, d"où les solutions de la dernière équation sontX1=7+54 = 3et X2=754 =12

Cas1 :X= 3)ex+1= 3:

,x+ 1 = ln3: ,x=1 + ln3:

Cas2 :X=12

)ex+1=12quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

[PDF] Fonctions Exponentielles et Puissances en Terminale D

Fonctions Exponentielles et Puissances en

Terminale D

OUAFEU TOKAM GUY PAULIN

Sous l"encadrement du

Juillet 2014

0.1 Activité introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2 Fonction Exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.1 Définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.2 Propriétés algébriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.3 Représentation graphique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.4 Exercices d"application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.5 Dérivées : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.6 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.7 Limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.8 Puissance d"un réel positif :a;a >0: . . . . . . . . . . . . . . . .17

0.2.9 Fonction exponentielle de basea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

0.3 Fonction puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.1 Définition et propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.2 Étude de la fonctionx7!x:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

0.4 Comparaison des croissances des fonctions logarithme népérienne, exponen-

0.4.1 Logarithme et puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4.2 Exponentielle et puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4.3 Exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.5 Exercices dans les domaines d"utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.6 Exercices d"application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.7 Devoir surveillé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.8 Devoir de maison : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusion 42

Bibliographie 42PRENUM-ACi

La solution du système dif férentiel:

Y(0) = 1

EXPONENTIELLES ET PUISSANCES

EN TERMINALE D|Historique :

20% conduisant à une interpolation linéaire pour fournir un nombre d"années égal à

Table des matières

Table des matières

Pré-requis :

La définiti onde la notion de primiti ve.

La notion de m onotonied"une fonction.

Objectifs pédagogiques spécifiques :

Relations avec d"autres parties du programme :

Utilisations :

Nous pouvons citer quelques domaines :

Table des matières

Motivations :

Comme la fonction x7!limn!+1(1 +xn

Schéma pédagogique de la ressource

1.Activités d"approches

2.Définitions

3.Propriétés et Théorèmes

4.Exercices d"application

0.1. Activité introductive

0.1 Activité introductive

1.Graphiques :

2.Interprétation :

8x::::ln(expx) =::::et8x:::: exp(lnx) =::::

0.2. Fonction Exponentielle :

0.2 Fonction Exponentielle :

0.2.1 Définition :

Conséquences immédiates:

Pour tout réelx,ln(exp(x)) =x.

Pour tout réelxde]0;+1[,exp(lnx) =x.

Pour tout réelx,exp(x)>0.

Cas particuliers:

Remarque 1 :exp(x) =ex;8x2R:

Remarque 2 :e= 2;718281828:::

Soitfla fonction définie parf(x) =ex,

Soit x2R, exprimerxen fonction de

Déri verl"e xpressionobtenue ci-dessus

Soit x2R; f(x) =ex,x= ln(f(x)):

0.2. Fonction Exponentielle :

0.2.2 Propriétés algébriques :

On rappelle que lnA+ lnB= lnAB:

D"oùa+b= lnA+ lnB= lnAB:

D"oùex=eab,lnex= lneab,x=ab:Donceab=eae

D"oùln(ena) = ln(ea:::ea|{z}

Doncena= (ea)n8n2N:

Pourm2Z,ema=em(a)= (ea)m=1(ea)m=1(

Pourr2Q, on poser=