[PDF] Exponentielle et logarithme de base a, a 0 et a≠1

Exponentielle et logarithme de base a, a 0 et a≠1

tion ln admet donc une application réciproque de ℝ dans ]0 ; ∞[ , la fonction exponentielle notée 

Chapitre 6 : Logarithme

l x est appelé logarithme de base 10 de a, ou encore logarithme décimal de a, noté log10 a ou encore Le logarithme népérien est utilisé car la dérivée de la fonction y = lnx est

La fonction logarithme décimal - Maths-francefr

tion logarithme décimal Propriétés analytiques Pour x strictement positif, log(x) = ln(x) ln(10)

24 Logarithme Népérien et fonction exponentielle

Logarithme en base a, noté loga, la fonction définie sur R∗+ par loga : x → loga(x) = ln(x)

Logarithmes, support de cours de niveau secondaire II, standard

tion logarithmique de base a, notée x log a x , peut se définir comme suit : 1° à une suite 

Logarithmes de base quelconque

tion loga , appelée fonction logarithme de base a, où \ 1 a R , est la bijection 

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Logarithme et exponentielle de base a. TS

Exponentielle et logarithme de base a,a0 et a≠1 . Rappel.Le logarithme népérien, ln, est défini comme la primitive sur ]0 ;∞[de la fonction inverse, f:x1 x, qui s'annule en 0.ln est continue et strictement croissante de ]0 ;∞[dans ℝ, ensemble des images, donc le

corollaire du théorème des valeurs intermédiaires nous assure que tout réel, y, à un antécédent

unique, x, par ln. La fonction ln admet donc une application réciproque de ℝdans ]0 ;∞[, la fonction exponentielle notée exp.En particulier, l'antécédent de 1 est le nombre e et expx=ex

lne=1, lnex=x et pour x0, elnx=xOn appelle le nombre e, la base du logarithme népérien et de La fonction exponentielle.Remarque.La fonction exp est une bijection de

ℝdans ]0 ;∞[donc pour k≠0la fonction fde

ℝdans ]0 ;∞[définie par fx=ekx,est aussi une bijection de ℝdans ]0 ;∞[.Démonstration.

f'x=kekxà le même signe que k. f est strictement monotone, continue de

ℝdans ]0 ;∞[et le le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires nous assure que f

est bijective de ℝdans ]0 ;∞[.Exponentielle et logarithme de base a .

On peut définir pour tout

a0et a≠1 la fonction exponentielle de base a par : expa : ℝ]0 ; ∞[ xax=elnax =exlnaet la fonction logarithme de base a comme la fonction réciproque de expapar : loga : ]0 ; ∞[ℝ xlogaxRelation entre ln et logaPour tout x0, y=logaxvérifiex=ay lnx=lnay=ylna=logaxlna, a≠1 donc lna≠0et : logax=lnx

lnaDonc, par définition, toutes les fonctions exponentielles ont les mêmes propriétés algébriques et

toutes les fonctions logarithmes ont les mêmes propriétés algébriques.Thierry Vedel1 sur 2

Logarithme et exponentielle de base a. TS

Propriétés fondamentales :axy=axayet pour x0, y0, logaxy=logaxlogay a0 =1,a1 =adonc loga1 =0, logaa=1Pour x0, alogax=xet logaax=xDérivées et variations. logax'=lnx lna'=1 xlnaSi

0 a1, lna0et les fonctions dérivées sont strictement négatives. Donc, si

0 a1, expaest strictement décroissante positive et logaest strictement décroissante,

strictement positive sur ]0 ;1 [et strictement négative sur ]1 ; ∞[Représentation graphique y=1

2 x

y=10xy=x 1 y=logx O 1 y=log1 2

xLe logarithme de base 10 ou logarithme décimalOn le note log. Il a longtemps servi à faire les calculs approchés compliqués. Son intérêt vient de la

formule log10n=n

loga0,a1a2...an×10n=nloga0,a1a2...anoù a0,a1a2...anest l'écriture décimale donc il

suffit de connaître

loga0,a1a2...anpour effectuer les calculs.Les logarithmes décimaux des nombres compris entre 1 et 10 sont répertoriés dans la table de

logarithmes. Pour plus de renseignements suivre le lien (souligné).Thierry Vedel2 sur 2quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20