pel (fonctions exponentielle et logarithmique) André Lévesque 5-2 a) la fonction exponentielle
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Fonction exponentielle et fonction logarithmique
pel (fonctions exponentielle et logarithmique) André Lévesque 5-2 a) la fonction exponentielle
Exponentielle et logarithme
tion exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques
Fonction logarithmique - Sylvain Lacroix
iproque d'une fonction logarithmique est une fonction exponentielle f(x) = log7 x y = log7 x Car
F onctions et équations exponentielles logarithmiques - Sofad
? l'autre : la fonction exponentielle et la fonction logarithmique Le mot « exponentiel » ne vous est
FONCTIONS QUADRATIQUES, EXPONENTIELLES ET
NS QUADRATIQUES, EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES Sommaire 1 Paraboles
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques
tion exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans 0;+∞⎤⎦⎡⎣
FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama
tion exponentielle étant strictement positive, la fonction logarithme népérien est donc définie sur
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Fonction exponentielleet fonction logarithmique
55.1Rappel
Nous nous sommes jusqu"à maintenant limités à l"étude des fonctionsalgébriques. Nous sommes par conséquent familiers avec des fonctionstelles
(x) = x
2 ou g(x) = ⎷‾x .Ces deux fonctions ont pour caractéristique d"être définies à l"aide d"uneexpression contenant une variable élevée à une puissance constante. Eninversant les rôles et en élevant une constante (non négative et différentede l"unité) à une puissance variable, on obtient une des plus importantesclasses de fonctions qui existent en mathématiques, la fonctionexponentielle. En voici deux exemples:
(x) = 2
x , g(x) = 1 2 xLa fonction exponentielle possède une fonction inverse toute aussiimportante, la fonction logarithmique.
Avant d"aborder l"étude de ces fonctions, rappelons d"abord lespropriétés des exposants que l"on aura souvent l"occasion d"utiliser danscette section.
propriétés desexposants bien que ces propriétés aient été utilisées jusqu"ici uniquement avec des exposants rationnels, elles demeurent néanmoins valables lorsque l"exposant est un nombre irrationnelSoit a, b > 0 et m, n ? R.
1) b 0 = 1 5) (b n m = b nm 2) b -n = 1 b n 6) a n b n = (ab) n 3) b n b m = b n+m7) a
n b n = (( ))a b n 4)b n b m = b n-m exemples 5.1.1Montrer que (2a 2 1/2 8 1/6 a -1 = a 2 (a > 0 ) ____________5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)
André Lévesque5-2
a)la fonction exponentielle définition 5.1.1 fonction exponentielleLa fonction définie par l"équation
y = b x ( b > 0 et b ≠ 1 ) est appelée fonction exponentielle de base b . exemple 5.1.2 les équations y = 1 x ou y = (-2) x ne définissent pas des fonctions exponentiellesLes équations
y = 3 x, y = 1 5 x ,y = 10 x ,y = (1,01) x y = (0,9) x ,y = π x ,y = e x (e = 2,718...) définissent dans chacun des cas une fonction exponentielle.Euler (1707-1783)
Dans le dernier cas, la fonction exponentielle est de base e = 2,718 281 828 459 045 235 36...Ce nombre irrationnel est en fait un des plus importants que l"on retrouveen mathématiques. Il a été introduit en sciences vers 1748 par lemathématicien suisse Euler. Celui-ci le qualifia de nombre transcendant.On dit d"un nombre qu"il est transcendant s"il ne peut être racined"aucune équation algébrique dont les coefficients sont des entiers. PourEuler, ce nombre semblait "transcender la puissance des méthodesalgébriques de son temps".
Le nombre e est la base par excellence utilisée en sciences. On verra quelorsque la valeur de e est utilisée comme base d"une fonctionexponentielle, cette fonction devient une des plus faciles à dériver et parvoie de conséquence, une des plus faciles à étudier.
graphiquede la fonctionexponentielled"équation y = b xLe graphique de la fonction expo-nentielle possède une des deux formesapparaissant sur la figure de droite.
On constate que la fonction expo-nentielle d"équation y = b x (b > 0, b ≠ 1) y x1(0 < b < 1) (b > 1)(b > 1)
y = b xest croissante si b > 1 ,est décroissante si 0 < b < 1 ,est toujours positive quelle que soit la base b ,possède une asymptote horizontale d"équation y = 0 ,a pour domaine l"intervalle ]-∞, ∞[ ,a pour image l"intervalle ]0, ∞[ .
graphiquede la fonctionexponentielled"équation y = e x y x 1 1 y = e x5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)
André Lévesque5-3proposition 5.1.1
1. b x = b y ?x = y (b > 0, b ≠ 1)2. a) b
x < b y ?x < y (b > 1) b) b x < b y ?x > y (0 < b < 1)Ces règles pourront dans certains cas être utilisées pour résoudre deséquations ou des inéquations contenant des expressions de typeexponentiel.
exemple 5.1.3Résoudre l"équation: 2
x = 0,125____________ 2 x = 0,125 = 18 = 2
-3 ?2 x = 2 -3 ?x= -3 (par la prop. 5.1.1) exemple 5.1.4Résoudre l"inéquation:
1 4 3x 1 32____________ 1 4 3x 1 32
1 2 2 3x 1 2 5 1 2 6x 1 2 5 ? 6x > 5 (par la prop. 5.1.1) ? x> 5 6 exemple 5.1.5 Trouver la valeur de n si : a)b 5 ()b 1/3 b n = b (b > 0, b ≠1) b) (( ))1 b n 3 ≥ b ()b 1/3 (0 < b < 1) ____________ rép: n = 13
3 ; b) n ≥ - 4
95.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)
André Lévesque5-4
La fonction exponentielle est souvent utilisée pour décrire desphénomènes de croissance. En psychologie, on l"utilise entre autrespour étudier certains comportements d"apprentissage.
exemple 5.1.6 Pour une multitude de raisons, les lignes d"assemblage en industrie ont tendance à avoir un roulement important d"ouvriers. Les compagnies doivent dépenser beaucoup d"argent à entraîner de nouveaux effectifs. On a trouvé que le niveau de production d"un nouvel employé d"une chaîne de montage est décrit par la fonctionP(x) = 25 - 25
e -0,3xP(x) représente le nombre d"unités fabriquées par l"employé x joursaprès son entrée en fonction. En utilisant l"équation, calculer le nombre
d"unités que l"ouvrier produira à sa 8 e journée de travail.(Utiliser votre calculatrice)____________On doit évaluerP(8)= 25 - 25
e -0,3(8) = 25 - 25e -2,4 = 25 - 25(0,09071) = 22,7 Le 8 e jour l"ouvrier devrait fabriquer environ 23 unités. En reprenant le calcul pour différentes valeurs de x, on obtient le tableausuivant. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P(x) 0 6,5 11,3 14,8 17,5 19,4 20,9 21,922,7
En psychologie la courbe de cette fonction s"appelle "courbe d"apprentissage".
5 10 15 20 25
P1 2 3 4 5 6 7 8 9x
En examinant cette courbe, on remarque qu"à la longue, le rendementd"un ouvrier approche d"une valeur maximale de 25 unités et que touteformation ou expérience additionnelle n"aura que très peu d"effets surson rendement.
5.1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique)
André Lévesque5-5
b)la fonction logarithmiqueLes fonctions exponentielle etlogarithmique sont en relation directel"une avec l"autre. On a vu que lafonction exponentielle définie par
l"équation y = 2 x associe àl"exposant x = 2, la valeury = 4. y = 2 x 24y = 2 x 24
-1 log 2 4 =quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24