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UNIVERSITE MOSTEFA BEN BOULAID - BATNA 2

FACULTE DE MATH & INFORMATIQUE

DEPARTEMENT SOCLE COMMUN MATH & INFORMATIQUE

MODULE : STRUCTURE MACHINE 2

Corrigé détaillé du TD N°1

Réalisé par :

H. Fedala

N. Alloui

Année universitaire : 2019/2020

1

Exercice 1

Utiliser la table de vérité pour démontrer :

A+B.C = (A+B).(A+C)

On a 3 variables A, B et C on utilise une table de vérité de 23 lignes (8 lignes) Utilisons la loi de Morgan et les autres axiomes pour démontrer les égalités suivantes : (A+B) . ࡄࡄ = 0 ? (A+B) . ࡄࡄ . (A . B) / ࡄࡄ = A . B = (A+B) . (A . B) / A . B = A . B $D . ࡄ . (A . ࡄ . ࡄ =$D. ࡄ. A . B

A B C B.C A+B.C A+B A+C (A+B).(A+C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

A B C A B C ࡄ ࡄࡄ ࡄࡄࡄ ࡄࡄࡄࡄ ࡄࡄࡄ

0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

2 $D. A . ࡄ. B / ࡄ.A= A.ࡄ = 0 . 0 / ࡄ. A= ࡄ. B = 0 = 0 / 0.0 = 0

A.ࡄࡄ.B = A.ࡄ.ࡄ ?

A.ࡄࡄ.B = A.ࡄ. ࡄ.B;< ;D. ࡄ avec X= A.ࡄet Y= ࡄ.B = ࡄࡄ. (ࡄ%D) / X. ࡄࡄ; $HW< %D ; ࡄ $D%.$%D%D %HW$D $ = ࡄ.ࡄ.%D'LVWULEXWLYLWpGH ET (.) $D.A + B.ࡄ.ࡄ.ࡄistributivité de ET = (0 + A.ࡄ.ࡄ ࡄ.A=0 et B.ࡄ = 0+ A.ࡄ.ࡄ = A.ࡄ.ࡄ / 0+X=X avec X = A.ࡄ.ࡄ

A.B + B.ࡄ.B.ࡄ = B ?

A.B + B.ࡄ.B.ࡄ = B. (A + ࡄ.ࡄ) / Mise en facteur de B = B.$&$D.ࡄ / A + C = A + C = B.$D.&D$D.ࡄࡄࡄ = B . ࡄ ࡄ.&D ; = B .;D; = B / B.1 = 1.B = B ࡄ.ࡄ .$$D.ࡄࡄC.D = C.D ? ࡄ.ࡄ. (ࡄ.ࡄࡄ.ࡄ.ࡄ. ࡄࡄ.ࡄ.B = A+B = (A+B) .$%&D'D C.D / ࡄ.ࡄ = A+B ࡄ. X + ࡄࡄ.D : On pose A + B = X = 0 + ࡄࡄ.D / ;D. X=0 <2QSRVH&D'D&.D = Y = Y / 0 + Y =Y = ࡄࡄ.D / On remplace Y par ࡄࡄ.D 3 = C.D + C.D / ࡄࡄ = C.D = X + X / On pose C.D = X = X / X + X = X = C.D / On remplace X par C.D

Conclusion :

Attention : Respecter les priorités des parenthèses et des opérateurs logiques.

Exercice 2

1) Ecrire sous la première forme canonique les fonctions définies par les propositions

suivantes : Q1 F(A, B, C) = 1 si et seulement si exactement deux des variables A, B, C prennent la valeur 1.

On a 3 variables A, B et C 23 = 8 lignes

On a 3 variables A, B et C et la fonction F(A,B,C) 4 colonnes Table de vérité avec 4 colonnes et 8 lignes :

F1FNC$%& $D%& ࡄ + ࡄ

A B C F(A,B,C,D)

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 1 1 1

1 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1

Les mintermes

les entrées la sortie

Dans Q1 F(A,B,C) = 1 Si et seulement si

exactement deux des variables A, B, C prennent 1 deux variables en même temps prennent 1

On veut écrire F sous la première forme

canonique : 1FNC on fait alors la somme des produits : 4 Q2 F(A, B, C) = 1 si et seulement si au moins une des variables A, B, C prennent la valeur 1.

Réponse 2 : On utilise toujours une table de vérité comme utilisée dans Q1, mais la sortie

F(A,B,C) change, dans Q2, on a :

F(A,B,C)= 1 si au moins une des variables A, B et C prennent 1 1 variable prend 1 ou 2 variables prennent 1 ou 3 variables prennent 1.

2) Ecrire sous la deuxième forme canonique les fonctions définies par les propositions

suivantes : Q1 F(A, B, C) = 0 si et seulement si exactement une des variables A, B, C prend la valeur 0.

Réponse 1

vérité associée est :

A B C F(A,B,C,D)

0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

A B C F(A,B,C,D)

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0

1 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1

Les mintermes

Variable de sortie

F(A,B,C)

F1FNC (A,B,C) =

ࡄࡄ.C +ࡄࡄࡄ.B.C +ࡄࡄ+ࡄ+A.Bࡄ +A.B.C ࡄࡄ.C A.B.C

Variable de sortie

On veut écrire F sous la deuxième forme canonique :

2FNC on fait alors le produit des sommes :

F2FNC (A,B,C) = (ࡄࡄ) .(ࡄ+B+ࡄ).( ࡄࡄ

Les maxtermes

ࡄࡄࡄࡄ.B.C 5 Q2 F(A, B, C) = 0 si et seulement si au moins deux des variables A, B, C prennent la valeur 0. Réponse 2 Deux variables ou plus prennent la valeur 0 au moins 2 variables prennent 0. On construit alors, la table de vérité associée :

3) Soit F une fonction booléenne tel que : F(A,B,C,D) = (0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15) (*)

Q1) Donner la table de vérité de F.

Réponse 1 F est donnée sous forme décimale : A, B, C, D et F (A,B,C,D) une variable de sortie 5 colonnes. La table de vérité de F est :

A B C F(A,B,C,D)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1 1

A B C D F(A,B,C,D)

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1 1

1 1 1 0

1 1 1 1 1

Variable de sortie

F2FNC (A,B,C) =

(A+B+C) .(A+B+ࡄ).( ࡄࡄ

Les maxtermes

A+B+C

Variable de sortie

N° de ligne

0 1 14 2 15 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Sachant : F(A,B,C,D)= (0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15) La ligne 13 dans la table de vérité correspond à :

A= 1 ; B = 1 ; C = 0 ; D = 1

Mettre 1 dans la

ligne 0 de la table

Mettre 1 dans la

ligne 13 de la table 6 Q2 Quelle est la forme abrégée pour représenter F ? Représenter F sous cette forme.

Réponse 2 - La forme abrégée de F est constituée de termes représentés par les lignes de F(*).

- F est sous forme : Fࡄࡄࡄࡄࡄࡄࡄ$D%D&'$D%&D' $D%.Cࡄࡄ%D&'D$%D&'$%&D'$%&'

Q3 Simplifier F par Karnaugh.

Réponse 3 Pour simplifier F, on doit construire le tableau de Karnaugh soit à partir de la table

de vérité, soit à partir de F donnée sous forme décimale. Cas 1 : Utilisation de la forme décimale Cas 2 : Utilisation de la table de vérité

F(A,B,C,D) = (0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15)

Les cases en vert doivent contenir des 1 ; On met 1 dans la case qui correspond les autres des 0 : à la ligne de la table (voir réponse 1) : F(A,B,C,D) = (0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15) On met 1 dans les cases correspondantes aux lignes : 0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15 On fait les regroupements pour éliminer le maximum de variables. Plus le groupe est grand,

plus le nombre de variables éliminées est grand (on supprime la ou les variables qui

changent).

0000 0001 0011. . . . . .1111

case n°0 case n°1 case n°3 case n°15 7 On fait la somme logique (+) entre les On fait la somme logique (+) entre les trois groupes, on obtient : trois groupes, on obtient : F(A,B,C,D)= D + ࡄࡄ.ࡄ + ࡄ.C F(A,B,C,D)= D + ࡄࡄ.ࡄ + ࡄ.C

Conclusion

Si on remplit la table Karnaugh à partir de la forme décimale de F ou à partir de la table de

vérité associée, on obtient le même résultat.

La fonction F utilisée (voir la réponse 2 (*)) a la forme algébrique : Fࡄࡄࡄࡄ

A.B.C.D

La simplification par la méthode de Karnaugh nous a donné :

F(A,B,C,D) = D + ࡄࡄ.ࡄ + ࡄ.C

Exercice 3 :

Simplifier par la méthode de Karnaugh les fonctions booléennes suivantes :

1) Fonction à 3 variables A, B, C

F est définie par :

F(A,B,C) = ࡄࡄ + ࡄࡄ + ࡄ

F(A,B,C) = $D%D& + B.ࡄ

8

2) Fonction à 3 variables A, B, C

F est définie par :

F(A,B,C) = ࡄ&D + ࡄ + ࡄ

ࡄB.&D

3) Fonction à 3 variables A, B, C

F est définie par :

F(A,B,C) = ࡄࡄ&D + ࡄࡄ + ࡄ.B.C + ࡄࡄ + ࡄ ࡄࡄ$D.ࡄ )$%& %D&D$D%$%D OU 9

4) Fonction à 4 variables A, B, C, D

F est définie par :

F(A,B,C,D) = ࡄࡄࡄ'D + ࡄࡄ&'D + ࡄࡄ.D + ࡄ + A.Bࡄ'D +ࡄ&D'D+ࡄࡄ

F(A,B,C,Dࡄࡄ&D'D$D%'

5) Fonction à 2 variables A, B

F est définie par :

F(A,B) = (0, 1, 3) : F sous forme décimale

F(A, B, C) = ࡄ + B

6) Fonction à 4 variables A, B, C, D

F est définie par :

F(A,B,C,D) = (2, 5, 7, 11, 13, 15)

)$%&' %'$&'$D%D&'D 10

7) Fonction à 4 variables A, B, C, D

F est définie par :

F(A,B,C,D) = (1, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 15) : F sous forme décimale F(A,B,C,D) = ࡄB.C ࡄ&D.D+ A.B.ࡄ + A.C.D

Conclusion

La simplification de Karnaugh permet de réduire au maximum le nombre de termes, les variables et les opérateurs.

Exercice 4 :

Question : Donner la forme canonique adéquate des fonctions suivantes : )DEF DEDF

F1(a,b)= a + b

F1(a,b,c,d)= a.b.c + a.ࡄ.d

F1(a,b,c,d,e)= a.b.c.d.e

Réponse

Rappel: Il existe deux formes canoniques :

Première forme

Union (ou) logique des mintermes. Les mintermes ne doivent pas être répétés.

Exemple 1:

Soit f une fonction logique avec 3 variables a, b, c :

F(a,b,c) = a.b.cDEDFDEDFDDDEFD

11 f est composée de 4 termes reliées par ou (+) chaque terme de f contient toutes les variables a,b,c les termes sont tous des mintermes. ition de mintermes

Conclusion : f est sous sa forme canonique

Exemple 2 :

Soit g une fonction logique avec 3 variables a, b, c : la variable c est absente.

Conclusion première forme canonique

Deuxième forme

Intersection (et) logique des maxtermes. Les maxtermes ne doivent pas être répétés.

Exemple1 :

Soit f une fonction logique avec 3 variables a, b, c :

F(a,b,c) = (a+b+c) . ࡄ. ࡄࡄ.DEFD

f est composée de 4 termes reliées entre eux par (et) chaque terme de f contient toutes les variables a,b,c les termes sont tous des maxtermes. chaque maxa pas de répétition de maxtermes Conclusion : f est sous sa deuxième forme canonique

Exemple2 :

Soit g une fonction logique avec 4 variables a, b, c, d : g(a,b,c,dࡄEFDGD) . ࡄEDF+d) . ࡄࡄ.DDEFG g est composée de 4 termes le 3qPHWHUPHGHJ ࡄࡄ pas la variable b.

Conclusion deuxième forme canonique

12

Exemple3 :

Soit h une fonction logique avec 3 variables a, b, c : ࡄEDFD) . ( a+b+c) . ࡄࡄࡄ.DEDF h est composée de 4 termes chaque terme de h contient toutes les variables a,b,c les termes sont tous des maxtermes. le maxterme ࡄࡄࡄ est doublé

Conclusion : h deuxième forme canonique

Comment trouver la première ?

Les fonctions F1, F2, F3 et F4 (+)

on fait un passage à la première forme canonique : on utilise un passage canonique.

F1ࡄ

EDFDDD aEDF + ࡄࡄ

Minterme Minterme

a.(ࡄࡄ

DEDFFD DEDF + ࡄࡄ

Minterme Minterme

DEFFD a.b.c + ࡄ

Minterme Minterme

F1ࡄDEDFDEDFDDEDFDDEDF

On élimine la répétition du minterme ࡄ :

F1(a,b,c) DEFDEFDDEDFDEDFD +DDEDF

13

F2(a,b) = a + b

EDDD a.b + ࡄ.b

Minterme Minterme

DEED a.b + ࡄ

Minterme Minterme

F2(a,b) = a.bDEDa.bDDE

On élimine la répétition du minterme a.b, on obtient :

F2(a,b) = a.b + ࡄDDE

F3(a,b,c,d) = a.b.c + ࡄ

Minterme

DEFGGD a.b.c.d + ࡄ

Minterme Minterme

F3(a,b,c,d) DEFGDEFGDDEDFG

F4(a,b,c,d,e) = a.b.c.d.e

Minterme

F4(a,b,c,d,e) = a.b.c.d.e

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