[PDF] [PDF] Fonctions affines, inverse et carrée

[PDF] Fonctions affines - Labomath

Une fonction f définie sur ℝ est une fonction affine s'il existe deux réels a et b tels que pour Pour calculer l'image d'un réel x, il suffit donc de multiplier x par le coefficient a, puis pourquoi le paramètre a est appelé coefficient directeur

[PDF] le coefficient directeur dune droite tracée dans un repère, on rejoint

I QCM Sur cette figure sont représentées huit droites dans un repère orthonormal : Pour « lire » le coefficient directeur d'une droite 

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Une fonction affine f est une fonction, qui a un nombre , associe le nombre a + b f : ↦ + Vocabulaire : la fonction affine de coefficient directeur -2 et d'ordonnée à l'origine 5 Pour tracer cette droite, il suffit de calculer les coordonnées de 

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longueur, on peut calculer le périmètre de ABC en la multipliant La représentation graphique d'une fonction affine de coefficient a est une droite passant par Le coefficient directeur, comme pour les fonctions linéaires, donne l'inclinaison 

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Si b est non‐nul on dit que y est une fonction affine de x I Coefficient directeur d'une droite (pente) Le coefficient directeur donne la direction de la droite

[PDF] Fonctions affines, inverse et carrée

Pour une fonction affine, il est contant quels que soient x1 et x2 formule du taux de variation est pratique pour calculer le coefficient directeur d'une fonction

[PDF] CHAPITRE 11 : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES

[3 125] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et [3 127] Lire la représentation graphique d'une fonction affine (image, antécédent, coefficient directeur, Calculer a d'un nombre x

[PDF] FONCTIONS AFFINES I Définition et représentation graphique

La fonction définie sur R par f (x) = ax + b est appelée fonction affine, elle est On commence par calculer le coefficient directeur de la droite (AB) qui est le

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Ordonnée à l'origine y = 2x + 1 1 1 3 1 Coefficient directeur : 2 Page 3 • La représentation graphique de la fonction affine f : x → ax + b est la droite d' équation y 

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Fonctions affines, inverse et carrée

I Fonctions affines

Propriété :Variationsdes fonctions affines

Unefonction affineest définie parf:R-→R

x?-→mx+p. oùmetpsont des réels. ?mest appelécoefficient directeur. ?pest appeléordonnée à l"origine. ?Sim>0, elle eststrictementcroissantesurR. ?Sim<0, elle eststrictementdécroissantesurR. ?Sim=0, elle estconstantesur surR x mx+p m>0 -∞+∞x mx+p m<0-∞+∞ ?Sa courbe représentativeest unedroite. -4-3-2-1123 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 y=-2x+2y=1,5x+3

Remarques :

?Sim=0, la fonction est constante. ?Sip=0, la fonction est ditelinéaire.

Définition :Taux devariation

On appelletaux de variationd"une fonctionfentre deux nombresx1etx2le quotientf(x2)-f(x1)x2-x1.

Pour une fonction affine, il est contant quels que soientx1etx2. Il s"agit du coefficient directeurm.

Remarque :

affine donnée graphiquement ou passant par des points particuliers.

Exemple 1 :Étude d"une fonction affine

Soitfla fonction affine dont la courbe représentativepasse par les pointsA(5;10) etB(9;-2). Donner l"expression algébriquede cette fonction puis étudier ses variations et son signe.

Correction :

La fonctionfest affine donc son expression algébriqueest de la forme :f(x)=mx+p.

Il faut trouvermetp.

Pour trouver rapidement le coefficient directeurmon utilisela formule du taux de variation : m=f(x2)-f(x1) x2-x1oùx1=5 etf(x1)=10 et de mêmex2=9 etf(x2)=-2.

Ainsi,m=-2-10

9-5=-124=-3.(Voir ce calcul sur le graphique suivant.)

1Fonctions affines, inverse et carrée

Il reste à trouverp:

L"expression algébrique defestf(x)=-3x+p.

On sait que la courbe représentative defpasse par le pointA(5;10). Cela signifie quef(5)=10.

On obtient donc une équation : 10=-3×5+p.

10=-15+p

10+15=p

25=p
Ainsi, l"expression algébriquedefest :f(x)=-3x+25. Pour les variations, lecoefficient directeur est négatif doncfest décroissantesurR: x -3x+25 Pour le signe, il faut calculer l"antécédent de 0 : f(x)=0 -3x+25=0 -3x=-25 x=-25 -3=253. -1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. -5. 5. 10. 15. 20. 25.
30.
0 4 -12A B Puisquefest décroissante, on obtient le tableau de signe suivant : x signe def(x)-∞253+∞ +0-

II Fonction inverse

Propriété :Variationsde la fonction inverse

Lafonction inverseest définie parf:R?-→R

x?-→1 x. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement décroissantesur ]0;+∞[. x 1 x -∞0+∞ ?Elle est symétrique par rapport à l"origine du repère. ?Sa courbe représentatives"appelle unehyperbole. -5-4-3-2-11234 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0

2Fonctions affines, inverse et carrée

Remarques :

1) La fonction inverse possède une valeur dite"interdite». La division par 0 étant impossible, 0 ne fait

pas partie de l"ensemble de définitionde la fonction inverse.

2) Autre formulationde la variation de la fonction inverse :

•Deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire.

Six1 x1>1x2 •Deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire.

Si 0 x1>1x2

Définition :Fonction homographique

On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d.

Propriété :

qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7?

Correction :

Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite.

Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7

3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+4

3x-7estR\?73?

III La fonction carrée

Propriété :Variationsde la fonction carrée

Lafonction carréeest définie parf:R-→R

x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 0

3Fonctions affines, inverse et carrée

Remarques :

1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.

2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :

•Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire.

Six1x22

•Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.

Si 0x22

Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0

Exemple 3 :Étude graphique

On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR.

Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.

Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 0

1. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?

2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.

Remarques :

1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique

sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoù

Cette forme est appelée laforme canonique.

2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.

Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations.

4Fonctions affines, inverse et carrée

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