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En finance, le risque d'une action i est généralement évalué par : - la variance de la rentabilité de l'action i sur une durée n : - l'écart-type de la rentabilité de 

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Rappelez les formules de variance, de covariance, du coefficient de Voici le cours de l'action de l'entreprise ABC : Période Rentabilité de l'action ABC: 12

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▷ d actifs (actions, obligations, ) Ri le rendement, aléatoires, du ième actif 1E en actif i en 0 → (1 + Ri)E en 

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2 Risque relatif à l'action X On calcule la variance et l'écart type de la rentabilité hebdomadaire de l'action X : APPLICATION 8 Rentabilité et risque des actions 

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l'espérance mathématique et l'écart-type des rentabilités sont les deux Si le marché attend une rentabilité de 8,6 sur l'action A, quel est son bêta ? 4

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Calculez l'espérance du taux de rentabilité des deux titres ainsi que le risque mesuré E l'espérance de rentabilité d'un portefeuille composé d'actions et de 

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Le risque systématique d'une action est mesuré par son beta (β), une mesure de la sensibilité du Variance de la rentabilité du portefeuille: B A RR, B A σ σ ,

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Dans la mesure où cette valeur serait simple à calculer, elle remplacerait la variance et l'espérance mathématique dans le choix des actions Le portefeuille 

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prix de l'action par son prix au début de cette période d'investissement : r = entre l'espérance de rendement d'un titre risqué et son risque du marché ou

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Finance de Marche

TD5 : Evaluations des actifs nanciers et ecience des marches

Responsable du cours: Jean-Etienne Carlotti

Chargee de TD: Nathalie Ferriere

Annee universitaire 2016/2017

Universite Paris Sud 11

Contents

Rappel de notions2

Exercice 1 : Calculs de base et les bienfaits de la diversication 2

Exercice 2 : Le CAPM

4 Exercice 3 : Le modele Arbitrage Pricing Theory (APT) 5 Ouverture econometrique : Tester l'ecience des marches 6 1

Rappel de notions

Si le temps est mesure en annees, entre 0 etT, denissez : 1. la ren tabilitenon ann ualisee R a=VTV0V 0 2. la ren tabiliteann ualisee R g= (VTV 0)1T 1 3. la ren tabilitecon tinue R l=ln(VTV 0) 4. la ren tabilitecon tinueann ualisee R c=ln(VTV 0)T 5. Quelles son tles relations en treces di erentesv aleurs V

T= (1 +Ra)V0= (1 +Rg)1T

V0=eRlV0=eRcTV0

6. Rapp elezles f ormulesde v ariance,de c ovariance,d uco ecientde corr elation.

V(X) =E((XE(X))2) =1N

P N i=1(XiX)2Cov(X;Y) =E((XE(X)(YE(Y)) = 1N P N i=1(XiX)(YiY) 7.

Commen tse d ecomposele risque total ?

On a un risque systemique (non diversiable contre lequel on ne peut rien) et un risque specique (contre lequel on peut s'assurer). La diversication permet d'eliminer le risque specique. 8.

Rapp elerle diagramme de W agneret Lau. 9.Dans le cade du mo deledu CAPM (ou MED AF)que repr esentele ?

C'est le risque de portefeuille.

Exercice 1 : Calculs de base et les bienfaits de la diversication Voici le cours de l'action de l'entreprise ABC :PeriodeCours ABC 1100
2103
3101
498
5100
1.

Estimez la ren tabiliteen temps discret et con tinued'une p eriode al'autre. Calculez la ren tabilite

moyenne du cours de l'action Antichute selon les deux methodes. D'apres-vous quelle methode a le plus de sens ? 2 PeriodeCours ABCRentabilite discreteRentabilite continue 1100

21033.00%2.95%

3101-1.94%-1.96%

498-2.97%-3.01%

51002.04%2.02%

moyenne0.03%0% la rentabilite en temps continue car la rentabilite moyenne sur toute la periode est nulle. 2.

Indiquez la v ariabilitede l'action .

moyenne = 100.4 variance = 2.64 3. XYZ est la concurren tedirecte de l'en trepriseABC. Calculez la ren tabiliteen temps con tinup our les dierentes periodes de ce cours puis etablissez la covariance et le coecient de correlation (en rappelant leur formule) existant entre le cours de l'entreprise ABC et XYZ. Interpreter la valeur du coecient de correlation. Qu'est ce qui pourrait expliquer ces resultats ?PeriodeCours XYC 1100
295
396
499
5102
moyenne XYZ = 98.4

Variance XYZ : 6.6

Covariance = -2.76

Correlation = -0.66

Correlation negative : quand le cours de l'un augmente le cours de l'autre diminue. Peut-^etre que cela signie que l'entreprise XYZ gagne des parts de marche sur ABC et a donc des perspectives meilleures de rentabilite que l'entreprise ABC. 4. Une p ersonned ecided'in vestirdans les deux titres. Apr es etudesd esc ourssur plus long terme, il aboutit aux constatations suivantes :

Rentabilite de l'action ABC: 12%

Rentabilite de l'action XYZ: 30%

Risque (ecart-type) de l'action ABC: 15%

Risque (ecart-type) de l'action XYZ: 60%

Coecient de correlation entre ABC et XYC: - 0.2

Calculez la rentabilite (arithmetique) d'un portefeuille contenant 10%, 50%, 90% de titres ABC (et le restant de titre XYZ). Calculez aussi le risque rattache.

Rentabilite 10%: 0.1 * 0.12 + 0.9 * 0.3 = 28.2%

Risque 10%:

p0:10:10:150:15 + 0:90:90:60:6 + 20:150:6 0:20:10:9 = 53.72%

Rentabilite 50%: 0.5 * 0.12 + 0.5 * 0.3 = 21

Risque 50%:

p0:50:50:150:15 + 0:50:50:60:6 + 20:30:6 0:20:50:5 = 29.43%

Rentabilite 90%: 0.5 * 0.12 + 0.1 * 0.3 = 13.8

Risque 90%:

p0:90:90:150:15 + 0:10:10:60:6 + 20:150:6 0:20:10:9 = 13.63% 3

5.Repr esentezsur un graphique, les di erentescouples (ren tabilite-risque)attac hesaux di erentes

proportions d'actifs ABC et XYC. Existe-il des combinaisons plus ecientes a niveau de risque donne ?Oui. 6. Quel est la com binaisond 'actifqui minimise le risque ? Actif un a environ 0.903. On ecrit la variance du portefeuille en fonction de la part de 'lactif ABC et on minimise l'equation (on annule la derivee). 7.

Discuter l'in

uence du taux de corr elationen treles rendeme ntsdes deux actifs s url'ecacit ede la diversication du risque du portefeuille.

Relation entre rentabilite attendue et risque non lineaire. Il existe un risque qui ne peut ^etre elimine.

Si la covariance est negative, risque diminue en partie. Correlation = 1 ligne entre les deux.

Exercice 2 : Le CAPM

1.Application numerique directe

(a) Un analyste nancier d etermineque Danone a un egal a 0.2. Comment s'interprete le? Sachant que le taux sans risque est de 4%, la rentabilite esperee du marche de 30% quelle est la rentabilite de Danone ? Le beta indique la variation du cours de l'actif en fonction de la variation du cours du marche. Un beta inferieur a 1 indique que l'actif est moins variable que le marche tandis qu'un beta superieur a 1 indique que l'actif est plus variable que le marche. Il mesure donc le niveua de risque de l'actif. On a E(RDanone) =rf+(E(RM)rf) = 0:04 + 0:2(0:30:04) = 0:092

La rentabilite de Danone est de 9.2%.

(b) On a jouted esormaisun actif dans le p ortefeuillep our50% don tle est de 1.8. Quelle est la rentabilite du portefeuille ? On calcule ledu portefeuille : 0.5*0.2+0.5*1.8 = 1. Donc la rentabilite du portefeuille =

0:04 + 1(0:30:04) = 0:3). La rentabilite du portefeuille est egale a celle du marche !

2.Application legerement plus elaboreeSoit un marche compose de 3 titres risques notes A,

B et C dont les capitalisations boursieres (en milliards d'euros) et les rendements esperesEisont donnes dans le tableau suivant. On sait par ailleurs qu'il existe un actif non risque Z dont le taux de rendement est de 3%. 4

Actif A B C

Capitalisation 250 150 100

E

i3% 2.5% 5%(a)Donner la comp ositiondu p ortefeuillede marc heM et en d eduiresa ren tabiliteesp eree.

Pour cela il faut d'abord calculer les poids de chaque actif dans le marche :Actif A B C

Poids 0.5 0.3 0.2

E i3% 2.5% 5%EnsuiteEM= 0:53+0:32:5+0:25 = 3:25. La rentabilite esperee du marche est de 3.25%. 3.

Calculer p ourc haqueactif son .

On sait queE(Ri) =rf+(E(RM)rf) donc=EirfE

Mrf

D'ouEA= 0,EB=2,EC= 8

4. Le p ortefeuilleF erriereest comp oseainsi : Actif Z A B C Total

Montant investi 10 45 27 18 100

5. Donnez le du portefeuille et son rendement attendu. P=ZZ+AA+BB+vCC. Lede l'actif sans risque est par denition egal a 0. IL faut aussi calculer les part de chaque actif dans le portefeuille.

P= 010 + 045 + 27 2 + 818 = 0:9EP= 3:225

6. Le p ortefeuilleest-il ecien t? V ousrapp elerezles h ypothesesqui v ousp ermettentde r epondre a cette question.

Il faut regarder l'allocation des actifs risques par rapport a l'allocation du portefeuille de marche

suppose ecient. On a 45=90 = 50 27=90 = 30 et 18=90 = 20. On retrouve l'allocation de marche. Le portefeuille est donc ecient. Hypotheses: les investisseurs evaluent les portefeuilles en termes d'esperance et de variance des rentabilites sur une periode; Les marches de titres sont parfaits (actifs parfaitement divisibles, pas de co^uts de transactions, pas de restrictions de ventes a decouvert, pas de taxes, information

disponible sans co^ut, possibilite de pr^et et d'emprunt au taux sans risque), les investisseurs ont acces

aux m^emes opportunites d'investissement, les anticipations de rendement (esperances, variances, covariances) sont identiques pour tous les agents.

Csqe : tous les investisseurs determinent la m^eme frontiere eciente reguliere,et le m^eme portefeuille

tangent. Ils detiennent tous des actifs risques dans les m^emes proportions.)A l'equilibre, le portefeuille \tangent" est le portefeuille de marche. Exercice 3 : Le modele Arbitrage Pricing Theory (APT) 1. En quoi le mo deleAPT se distingue-t-il du mo deleC APM? L'APT est fonde sur l'idee de base qu'il n'existe pas d'opportunites d'arbitrages qui durent dans le temps. L'autre hypothese de base de l'APT repose dans le fait que l'on peut modeliser la rentabilite esperee d'une action par une fonction lineaire de dierents facteurs macro-economiques ou propres au secteur de la valeur, ponderes selon leur impact sur l'action par un coecient beta specique. Neanmoins, l'APT est peut-^etre un modele plus realiste que celui du CAPM car il considere un nombre illimite de facteurs systematiques inquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34