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Analyse II { 2015 (G. Favi)Sciences et Technologies du VivantEPFL Analyse II | Corrige 11Exercice 1.[Changement de variables]

Pour chaque ensemble

ici-dessous trouver un changement de variables qui le transforme en un rectangle R=[a;b]×[c;d]aveca;b;c;dchoisis de facon convenable, c'est-a-dire trouver un champsf?R2?→R2 localement inversible tel quef(R)=i. a)

Le domaine

1peut ^etre ecrit en coordonnees polaires comme

x y?=f(;)=?cos() sin()? restreint aU=]1;2[×]0;2[par exemple. b) Le domaine p eut^ etre ecritcomme une transformation lin eairedu carr eR=[-12 ;12 ]2dans le planuv par une rotation de centre(0;0)et d'angle4 suivie d'une homothetie de rapport⎷2. On peut donc prendref?R2?→R2donnee par x y?=f(u;v)=A?u v?;avecA=?1-1 1 1?:

Ici le champsfest (globalement) inversible.

c) Le domaine es td elimitepar les trois droites: y=0,y=x-1 ety=1-x. On peut poseru=x. Concernantyon remarque qu'il se trouve toujours compris entre la droitey=1-xet la droitey=x-1, et que pourv=2 on trouve celle du haut). En isolant le parametrevon trouvev=y-x+11-x. On a ainsi decrit le champs inverse: u v?=?x y-x+11-x?=f-1(x;y) obtient la gure

3. DoncR=[0;1]×[0;2]et le champsfest inversible si on le restreint a l'ouvert

]0;1[×]0;2[par exemple.

Exercices du 11 mai 2016

Analyse II { 2015 (G. Favi)Sciences et Technologies du VivantEPFL

Exercice 2.[Coordonnees elliptiques]

Soienta;b>0 deux nombres reels et(x0;y0)?R2un point du plan. Considerons le champsh?R2→R2 deni par h(t;)=?x(t;) y(t;)?=?x0+atcos() y

0+btsin()?:

La fonctionhdecrit le changement entre coordonnees elliptiques (ellipse de centre(x0;y0)et de rayonsat

etbt) et coordonnees cartesiennes. a) Donner les courb esco ordonneesp ourt=0;1;2;3 et=0;?4;?2;:::;7?4. b) Donner l'image des rectangles [1;2]×[0;?4]et[0;1]×[?2;]parh.

Solution:

a) On cherche les courbes coordonnees. •Si=0est xe, on a la courbe: x y?=h(t;0)=?x0+atcos(0) y

0+btsin(0)?=?x0

y

0?+t?acos(0)

bsin(0)?: Ces sont des droites qui passent par(x0;y0)avec direction donnee par le vecteur(acos(0);bsin(0)). •Sit=t0est xe, on a la courbe: x y?=h(t0;)=?x0+at0cos() y

0+bt0sin()?:

Ces sont des ellipses de centre(x0;y0)et rayonsat0etbt0. b) NotonsR1=[1;2]×[0;?4]etR2=[0;1]×[?2;]. Ci-dessous les courbes coordonnees avec les rectangles transformes pour(x0;y0)=(0;0),a=1,b=0:5.h(R1)h(R2)Exercice 3.[Coordonnees cylindriques] On considere la transformation en coordonnees cylindriques ⎝x y z⎞ ⎠=h(;;z)=⎛ ⎝cos sin z⎞ ou≥0,?[0;2]etz?R.

Exercices du 11 mai 2016

Analyse II { 2015 (G. Favi)Sciences et Technologies du VivantEPFL

a)Transformer les parallelepipedes rectangles[0;1]×[0;2]×[0;1]et[0;1]×[-?2;?2]×[-2;2]de l'espace

(;;z)dans l'espace(x;y;z), c'est-a-dire donner l'image de ces parallelepipedes parh. b)Determiner les points(;;z)?R3ou la transformation est localement inversible.

Solution:

a)

P ourtrasformer le parall elepipederectangle [0;1]×[0;2]×[0;1]dans l'espace(x;y;z)on peut proceder

comme suit: Si =1,?[0;2],z?[0;1]??h(1;;z)=(cos();sin();z), qui est la surface laterale du cylindre represente plus bas (a gauche). Si ?[0;1],?[0;2],z=0??h(;;0)=(cos();sin();0), qui est la base inferieure du cylindre represente plus bas. Si ?[0;1],?[0;2],z=1??h(;;1)=(cos();sin();1), qui est la base superieure du cylindre represente plus bas. On fait de m^eme pour le parallelepipede rectangle[0;1]×[-?2;?2]×[-2;2]; Si =1,?[-?2;?2],z?[-2;2]??h(1;;z)=(cos();sin();z), qui est la surface laterale du demi-cylindre sur la gure (a droite). Si ?[0;1],?[-?2;?2],z=-2??h(;;-2)=(cos();sin();-2), qui est la base inferieure du demi-cylindre sur la gure. Si ?[0;1],?[-?2;?2],z=2??h(;;2)=(cos();sin();2), qui est la base superieure du demi-cylindre sur la gure. Si ?[0;1],={-?2;?2},z?[-2;2]??h(;±?2;z)=(0;±;z), qui est l'autre partie de la

surface laterale du demi-cylindre sur la gure.b)Une trasformation est lo calementin versiblesi le dete rminantd ela matrice jacobienne de la transfor-

mation est dierent de 0. On a: det(Jh)=det⎛ ⎝cos()-sin()0 sin()cos()0

0 0 1⎞

Donc, la trasformation n'est pas inversible pour=0, ce qui correspond a l'axezen coordonnees cartesiennes.

Exercices du 11 mai 2016

Analyse II { 2015 (G. Favi)Sciences et Technologies du VivantEPFL ble ∬D?1-x2-y2dxdy:

Solution:

Le domaineDexprime en coordonnees polaires ?R2?→R2s'ecrit Comme le jacobien de la transformation estr, nous avons

D?1-x2-y2dxdy=∬E⎷1-r2rdrd'

=??1

0⎷1-r2rdr???7?4

3?4d'?

=?-13 (1-r2)3?2?1 0 ?'?7?4

3?4=13

=3

Exercice 5.

Solution:

Le domaineDexprime en coordonnees polaires s'ecrit Comme le jacobien de la transformation estr, l'aire du domaine est

Aire(D)=∬Ddxdy=∬Erdrd'=??4

1rdr???5?4

?4d'?=152

D'autre part, le calcul nous donne

b

1r2dr???5?4

?4cos'd'?=-14⎷2 5 b

1r2dr???5?4

?4sin'd'?=14⎷2 5 et le barycentre du domaineDest ainsi (bx;by)=?-14⎷2

5;14⎷2

5?:

Exercices du 11 mai 2016

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Exercice 6.

Utiliser les coordonnees polaires pour calculer les integrales doubles suivantes

D11+x2+y2dxdyet∬Dxydxdy:

Solution:

Le domaineDexprime en coordonnees polaires s'ecrit Comme le jacobien de la transformation estr, nous avons

D11+x2+y2dxdy=∬E11+r2rdrd'=??2

0r1+r2dr????4

0d'? =?12 ln(1+r2)?2 0 ?'??4 0 =8 ln5:

Dxydxdy=∬E(rcos')(rsin')rdrd'=??2

0r3dr????4

0cos'sin'd'?

=?r44 ?2 0 ?sin2'2 ??4 0 =1:

Exercice 7.

Calculer

[0;1]×[2;3]×[4;5]x+y+z+xyz dxdydz:

Solution:

22
?1 0 dydz ∬[2;3]×[4;5]12 dydz=12 [0;1]×[2;3]×[4;5]y dxdydz=∬[2;3]×[4;5]y dydz ?[4;5]y 22
?3 2 dz=?[4;5]52 dz=52 et de la m^eme maniere [0;1]×[2;3]×[4;5]z dxdydz=92

Exercices du 11 mai 2016

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Finalement,

[0;1]×[2;3]×[4;5]xyz dxdydz=∬[2;3]×[4;5]yz2 dydz ?[4;5]5z4 dz=458

Alors,

[0;1]×[2;3]×[4;5]x+y+z+xyz dxdydz=1058

Exercice 8.

BR(0)xy dxdydz;et∭BR(0)z2dxdydz:

Solution:

Par un changement des variables en coordonnes spheriques BR(0)xy dxdydz=∭[0;R]×[0;]×[0;2]r4sin3cossindrdd=0 car ?2

0cossin d=0. On aurait aussi pu trouver la reponse tout de suite en remarquant que la

fonction a integrer est impaire par rapport axet que le domaine est symetrique par rapport ax(i.e. (x;y;z)?BR(0)??(-x;y;z)?BR(0)).

Pour l'autre integrale on trouve

BR(0)z2dxdydz=∭[0;R]×[0;]×[0;2]z2r2sin drdd ∭[0;R]×[0;]×[0;2]r4cos2sin drdd =2∬[0;R]×[0;]r4cos2sin drd =2?R

0r4?-cos33

0 dr 43
?R

0r4dr=4R515

Exercice 9.

Soit

DecrireEet donner Vol(E).

Solution:

L'ensembleErepresente un c^one de revolution autour l'axe dex. Son sommet est(0;0;0). Par la formule vue en classe nous avons

Vol(E)=?1

0x2dx=3

Exercices du 11 mai 2016

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Exercice 10.

Calculer le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs a

1=(1;1;4); a2=(-1;2;-1)eta3=(2;1;1):

Solution:Nous avons vu en classe que siPest le parallelepipede engendre par 3 vecteurs, alors Vol(P)=

?det(A)?ouAdesigne la matrice 3×3 dont les colonnes sont les vecteurs en question. Ici nous avons donc

Vol(P)=?

⎝1-1 2 1 2 1

4-1 1⎞

Exercice 11.

SoitDle tetraedre dont les sommets sont les points(0;0;0),(1;0;0),(0;1;0),(0;0;1). Calculer

D(x2+z)dxdydz:

Indication:Utiliser la formule d'integration sur le tetraedre vue au cours.

Solution:

Pourx?[0;1]xe,yvarie entre 0 et 1-x. Pour(x;y)xe,zvarie entre 0 et 1-x-y. Ainsi, le domaine

D(x2+z)dxdydz=?1

0??1-x

0??1-x-y

0(x2+z)dz?dy?dx

?1

0⎛

⎝?1-x

0?x2z+z22

?1-x-y z=0dy⎞ ⎠dx ?1

0??1-x

0?x2(1-x-y)+12

(1-x-y)2?dy?dx ?1

0?-x2(1-x-y)22

-12 (1-x-y)33 ?1-x y=0dx ?1

0?x2(1-x)22

+(1-x)36 ?dx=?1 0?x22 -x3+x42 +(1-x)36 ?dx =?x36 -x44 +x510 -(1-x)424 ?1 0 =16 -14 +110
+124
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