Si r est une solution de l'équation caractéristique la fonction f(t)=ert est alors une solution de l'équation différentielle Suivant le calcul du discriminant trois cas
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Propriété : Soit A le discriminant du trinôme ax2 + bx + c - Si A < 0 : L'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solution réelle - Si
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On observe de même que la fonction f est négative sur l'intervalle −3;2 [ ] On peut On a également que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) < 0 est :
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Il existe forcément un nombre complexe δ tel que ∆ = δ2 Si l'on écrit ∆ = b2 − 4ac = δ2, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions complexes x1 =
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le cas du discriminant négatif Soit ω un réel et f une solution (réelle) de l' équation différentielle y +ω2y = 0 On vérifie que ces fonctions sont solutions
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Si r est une solution de l'équation caractéristique la fonction f(t)=ert est alors une solution de l'équation différentielle Suivant le calcul du discriminant trois cas
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On appelle discriminant de cette équation le réel = b² – 4ac • Si > 0, l'équation a deux solutions distinctes, x1= −b+√Δ
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Une fonction f est solution de cette équation sur un intervalle I si toujours des solutions, éventuellement complexes si le discriminant est négatif ou si a, b et c
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(i) Si ∆ > 0, alors l'équation (E) admet deux solutions x1 et x2 distinctes, données par les formules : Si le discriminant A est strictement positif, on observe bien
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facilement les solutions, qui sont aussi les racines de la fonction du second Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solution réelle
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Ann´ee 2005-2006BTS MAI 2
Chap 11 :Equations diff´erentiellesdu second degr´eEn classe de BTS MAI on se limite aux cas des ´equations diff´erentielles du second degr´e avec
des coefficients constants, c"est-`a-dire aux ´equations faisant intervenir une fonctionyd´efinie sur un
intervalleI, sa d´eriv´eey?et sa d´eriv´ee secondey??(il faut bien sur que la fonctionysoit deux fois
d´erivable surI) du type ay ??(t) +by?(t) +cy(t) =d(t)dans laquellea,betcsont des constantes r´eelles donn´ees (aveca?= 0) etdune fonction donn´ee,
d´erivable surI.I. Equation sans second membre
Se sont les ´equations pour lesquelles il n"y a pas de second membre c"est-`a-dire qued(t) = 0 : ay ??(t) +by?(t) +cy(t) = 0.De la mˆeme mani`ere que pour les ´equations diff´erentielles de degr´e 1, on cherche des solutions
exponentielles c"est-`a-dire sous la formef(t) = erto`urest un nombre complexe fix´e. On a alorsf?(t) =rertetf??(t) =r2ertdonc si on injectefdans l"´equation on obtient : ar2ert+brert+cert= 0 puis (ar2+br+c)ert= 0 et doncar2+br+c= 0 car ert?= 0.
Cette ´equation de degr´e deux s"appelle
l"´equation caract´eristiquede l"´equationay??+by?+cy= 0.Sirest une solution de l"´equation caract´eristique la fonctionf(t) = ertest alors une solution de
l"´equation diff´erentielle. Suivant le calcul du discriminant trois cas apparaissent.On les ´etudie sur des exemples.
1) cas o`uΔ>0
Exemple :Pour l"´equationy??-4y?+ 3y= 0 l"´equation caract´eristique estr2-4r+ 3 = 0. Son discriminant vaut Δ =...et donc les solutions sontr1=...etr2=....Les fonctionsf1(t) = etetf2(t) = e3tsont donc des solutions de l"´equation diff´erentielle et ainsi toute
fonction du typef(t) =k1et+k2e3t, aveck1etk2deux constantes, est une solution de l"´equation diff´erentielle. En faittoutesles solutions dey??-4y?+ 3y= 0 sont de la forme f(t) =k1et+k2e3t, aveck1etk2deux constantes.Page 1/3
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2) cas o`uΔ = 0
Exemple :Pour l"´equationy??-4y?+ 4y= 0 l"´equation caract´eristique estr2-4r+ 4 = 0. Son discriminant vaut Δ =...et donc il y a une seule solution `a savoirr=.... La fonctionf(t) = e2test donc une solution de l"´equation diff´erentielle. On peut voir que la fonctiong(t) =te2test aussi solution de l"´equation diff´erentielle : g ?(t) =.........etg??(t) =.........et ainsig??(t)-4g?(t) + 4g(t) =.... Ainsi toute fonction du typef(t) =k1e2t+k2te2t, aveck1etk2deux constantes, est une solution de l"´equation diff´erentielle. En faittoutesles solutions dey??-4y?+ 4y= 0 sont de la forme f(t) =k1e2t+k2te2t, aveck1etk2deux constantes.3) cas o`uΔ<0
Exemple :Pour l"´equationy??-2y?+ 5y= 0 l"´equation caract´eristique estr2-2r+ 5 = 0. Son discriminant vaut Δ =...et donc les solutions sontr1=......etr2=....... Les fonctionsf1(t) =......= et?cos(2t)-isin(2t)?etf2(t) =......= et?cos(2t) +isin(2t)? sont donc des solutions de l"´equation diff´erentielle. Et ainsi toute fonction du typef(t) =m1f1(t) +m2f2(t), avecm1etm2deux constantes, est une solution de l"´equation diff´erentielle.On pr´ef`ere r´e´ecrire ces solutions sous la forme (´equivalente)f(t) =k1etcos(2t) +k2etsin(2t) aveck1
etk2deux constantes. En faittoutesles solutions dey??-2y?+ 5y= 0 sont de la forme f(t) =k1etcos(2t) +k2etsin(2t), aveck1etk2deux constantes.4) Cas g´en´eral
En r´esum´e on a le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1 :Pour l"´equationay??+by?+cy= 0 on a l"´equation caract´eristiquear2+br+c= 0.
Si Δ>0 il y a deux racinesr1etr2`a l"´equation caract´eristique et les solutions de l"´equation diff´erentielle sont lesf(t) =k1er1t+k2er2t. Si Δ = 0 il n"y a qu"une raciner`a l"´equation caract´eristique et les solutions de l"´equation diff´erentielle sont lesf(t) = (k1+k2t)ert. Si Δ<0 il y a deux racines complexesα±iβ`a l"´equation caract´eristique et les solutions de l"´equation diff´erentielle sont lesf(t) =?k1cos(βt)+k2sin(βt)?eαt. Et pour chaque cas on ak1etk2qui sont deux constantes.Page 2/3
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Remarque :Si on souhaite d´eterminerunesolution particuli`ere, il nous faut deuxconditions car il y a deux constantes `a d´eterminer (k1etk2). Ces conditions peuvent ˆetre multiples mais le plus souventce sont des conditions du genre??f(0) = 3 etf?(0) =-4??ou??f(0) =-1 etf(1) = 2??.II. Equation avec second membre
En classe de BTS MAI on ne s"int´eresse qu"`a des seconds membres de type fonctions polynomiales, fonctions trigonom´etriques ou fonctions exponentielles(ainsi que des m´elanges des trois).Vous aurez syst´ematiquement des indications pour d´eterminer une solution particuli`ere de l"´equa-
tion avec second membre.N´eanmoins une solution particuli`ere est souvent trouvable sous la mˆeme forme que le second membre
(un polynˆome sidest un polynˆome, un produit d"un polynˆome par une exponentielle sidest de cette
forme ...)Et de mˆeme que dans le cas des ´equations du premier ordre toutes les solutions sont donn´ees par
le th´eor`eme :Th´eor`eme 2 :L"ensemble des solutions de l"´equationay??(t)+by?(t)+cy(t) =d(t) sont les fonctions
g(t) =f(t) +f0(t) o`uf0est une solution particuli`ere etfl"une des solutions de l"´equation homog`ene (c"est-`a-dire sans second membre)ay??(t) +by?(t) +cy(t) = 0.