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Notions sur les equations aux derivees partielles

Mathematiques 3, 2015

Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles1 / 28 Pour etudier les phenomenes reels, on utilise les lois de la physique : mecanique, electromagnetisme, acoustiques, thermodynamiques, quantiques, relativistes, etc. Cette etude se traduit generalement par une modelisation mathematique par des equations dierentielles ordinaires ou par desequations aux derivees partielles.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles2 / 28

Quelques rappels

Denition 1

Soitf:DRn!Rnune application. Si la limite

lim h!0f(a1;;ai1;ai+h;ai+1;;an)f(a1;;an)h existe et nie, on l'appelle la i- emed eriveepa rtiellede fau point (a1;;an)2Det on la note@f@xi(a1;;an): Si pour tout a= (a1;;an)2D,fadmet une i-eme derivee partielle au point a, l'application@f@xi: a7!@f@xi(a1;;an) est appelee lai- eme derivee partielle def(ou souvent la derivee partielle par rapport a la variablexi).Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles3 / 28

Quelques rappels

Exemple 1

Considerons la fonctionf(x;y) =xy. On a

@f@x(a;b) = limh!0(a+h)babh =b;@f@y(a;b) = limh!0b+habh =a:Remarque Dans la pratique, pour calculer une derivee partielle par rapport a la variablexi, on xe les autres variables et on calcul la derivee au sens usuel ou la variable estxi. Dans l'exemple precedent, @f@x(x;y) = (xy)0(ouyest consideree comme une constante) =y;

@f@y(x;y) = (xy)0(ouxest consideree comme une constante) =x:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles4 / 28

Quelques rappels

Denition 2

Soitf:DRn!Rnune application. Si toutes les derivees partielles de fexistent en un point a= (a1;;an)2D, alors on appellegradient de f au point ale vecteur rf(a1;;an) =@f@x1(a1;;an);;@f@xn(a1;;an)Exemple 1 (suite) On a rf(a;b) = (b;a):Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles5 / 28

Quelques rappels

Denition 3

La d eriveepa rtiellede fd'ordrejpar rapport aux variablesxi1;:::;xijest denie par jf@xi1@xij=@@xi1 @j1f@xi2@xij :Exemple 2 Considerons la fonctionf(x;y) =x4+y3. Alors, les derivees d'ordre 2 sont

2f@x2(x;y) =@@x(@f@x(x;y)) = 12x2;@2f@y2(x;y) =@@y(@f@y(x;y)) = 6y;

2f@x@y(x;y) =@2f@y@x(x;y) = 0:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles6 / 28

Quelques rappels

Denition 4

Le

Laplacian

d'une fonction f:DRn!Rest

f(x) =@2f@x21(x) ++@2f@x2n(x):Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles7 / 28

Une equationaux d eriveepa rtielles(EDP en a brege)est une relation entre une fonction de plusieurs variablesu:Rn!Ret ses derivees partielles : (E)F x;u;;@u@xi;;@2u@xi@xj;;@mu@xi1:::@xim= 0 oumest le degre de l'equation. Le probleme est pose sur un domaineDRn. On cherche des applicationsu:D!Rveriant l'equation (E) et satisfaisant des conditions initiales et des

conditions sur le b ord@D.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles8 / 28

La forme generale d'une equation aux derivees partielles lineaire d'ordre 2 a coecients constants est (E)@2u@x2+@2u@x@y+ @2u@

2y+@u@x+@u@y+u=f;

ou;; ;;sont des constantes etf:D!Rest une application appelee le second membre de l'equation.

On dit que l'equation (E) est :elliptiquesi24

>0,paraboliquesi24 = 0,hyperboliquesi24 <0.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles9 / 28

Exemples

L'equation des ondes

@2u@t2c2@2u@x2= 0 est hyperbolique.L'equation de Laplace (ou Poisson) u= 0 ou u=fest elliptique.L'equation de la chaleur

@u@tc@2u@x2= 0 est parabolique (c>0).Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles10 / 28

Equation des ondes

La propagation d'une onde sur une corde innie est modelisee par l'equation des ondes sur R (EO1)8

2u@t2c2@2u@x2= 0;8x2R;8t>0;

u(x;0) =u0(x);8x2R; @u@t(x;0) =u1(x);8x2R; oucest la vitesse de propagation de l'onde et les fonctionsu0etu1sont respectivement, l'etat et la vitesse initiale. Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles11 / 28 Equation des ondes : formule de D'AlembertTheoreme 1 (Formule de D'Alembert) La solution de l'equation des ondes (EO1) ou on suppose queu0est une fonction dierentiable est u(x;t) =12 u

0(x+ct) +u0(xct)

+12cZ x+ct xctu

1(y)dy:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles12 / 28

Equation des ondes : conditions aux limites

On s'interesse maintenant a la propagation d'une onde sur une demi-corde (innie). Elle est modelisee par l' equationdes ondes avec une condition de frontiere : (EO2)8

2u@t2c2@2u@x2= 0;8x>0;8t>0;

u(x;0) =u0(x);8x>0; @u@t(x;0) =u1(x);8x>0; @u@x(0;t) = 0;8t>0; oucest la vitesse de propagation de l'onde et les fonctionsu0etu1sont respectivement, l'etat et la vitesse initiale. Physiquement, la condition de frontiere s'interprete comme une paroi re echissante. Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles13 / 28 Equation des ondes : conditions aux limites et formule de

D'AlembertTheoreme 1 (Formule de D'Alembert)

La solution de l'equation des ondes (EO2) ou on suppose queu0est une fonction dierentiable est u(x;t) =12 u

0(x+ct) +u0(ctx)

+12cZ x+ct 0 u

1(y)dy

12cZ ctx 0 u

1(y)dy:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles14 / 28

Equation des ondes : solutions a variables separees

On cherche les solutions a

va riabless eparees de l' equationdes ondes. On suppose qu'il existe des fonctionsFetGtelles que u(x;t) =F(x)G(t): On a @2u@t2=FG00;@2u@t2=FG00 et en remplacant dans l'equation, on obtient FG

00=c2F00G:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles15 / 28

Equation des ondes : solutions a variables separees En supposant en plus queF(x)6= 0 etG(t)6= 0, on obtient c 2F00F (x) =G00G (t): Comme la fonction de gauche depend uniquement dexet celle de droite uniquement det, il existe un reel2R, tel que c 2F00F (x) =;G00G (t) =:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles16 / 28 Equation des ondes : solutions a variables separees On distingue alors les trois cas suivants :si= 0, alors

F(x) =ax+b;G(t) =t+:si >0, alors

F(x) =aep

c x+bep c x;G(t) =ept+bept:si <0, alors

F(x) =acos(pc

x) +bsin(pc x);

G(t) =acos(pt) +bsin(pt):

En tenant compte des conditions initiales et des conditions aux limites, on determine le cas qui se produit et les solutions de l'equation. Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles17 / 28

Equation des ondes : series de Fourier

On cherche les solutionsL-periodiques de l'equations des ondes : (EO3)8

2u@t2c2@2u@x2= 0;8x2R;8t>0;

u(x;0) =u0(x);8x2R; @u@t(x;0) =u1(x);8x2R; u(x;t) =u(x+L;t); ou on suppose que les fonctionsu0etu1sont periodiques et admettent un developpement en series de Fourier (!=2L u

0(x) =a0;02

+X n1(a0;ncos(n!x) +b0;nsin(n!x)) u

1(x) =a1;02

+X

n1(a1;ncos(n!x) +b1;nsin(n!x))Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles18 / 28

Equation des ondes : series de Fourier

Supposons que la solutionu(x;t) est developpable en series de Fourier u(x;t) =a0(t)2 +X n1(an(t)cos(n!x) +bn(t)sin(n!x)):

En derivant terme a terme

2u@t2=a000(t)2

+X n1(a00n(t)cos(n!x) +b00n(t)sin(n!x));

2u@x2=(n!)2X

n1(an(t)cos(n!x) +bn(t)sin(n!x)): Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles19 / 28

Equation des ondes : series de Fourier

Par identication, et en tenant compte des conditions initiales, on obtient a

000(t) = 0;a0(0) =a0;0;a00(0) =a1;0

a

00n(t) +2nan(t) = 0;an(0) =a0;n;a0n(0) =a1;n;

b

00n(t) +2nbn(t) = 0;bn(0) =b0;n;b0n(0) =b1;n;

oun=cn!.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles20 / 28

Equation des ondes : series de Fourier

En resolvant les equations dierentielles ordinaires precedentes, on obtient a

0(t) =a1;0t+a0;0;

a n(t) =a0;ncos(nt) +a1;n nsin(nt); b n(t) =b0;ncos(nt) +b1;n nsin(nt);

et donc la solutionu(x;t).Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles21 / 28

Equation des ondes : series de FourierExercice

Calculer les solutions 2-periodiques de l'equation des ondes, avec u

0(x) =x si x2[0;1[;

2x si x2[1;2[;

etu0(x) = 0.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles22 / 28

Equation de Laplace,Equation de Poisson

On considere

l' equationde Laplace u= 0; et l' equationde P oisson u=:Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles23 / 28 Equation de Laplace : solutions a variables separees

On cherche des solutions de l'equation de Laplace

u(x;y) = 0;8(x;y)2R2; a variables separees. On suppose donc qu'il existe deux fonctionsF(x) et

G(y) telles que

u(x;y) =F(x)G(y):

En remplacant dans l'equation, on obtient

F

00(x)G(y) +F(x)G00(y) = 0

et il existe donc une constantetelle que F

00(x)F(x)==G00(y)G(y):Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles24 / 28

Equation de Laplace : solutions a variables separees Comme dans le cas des equations des ondes, on distingue alors les trois cas suivants :si= 0, alors

F(x) =ax+b;G(y) =y+:si >0, alors

F(x) =aepx+bepx;G(y) =cos(py) +sin(py):si <0, alors

F(x) =acos(px) +bsin(px);

G(y) =epy+epy:

En tenant compte des conditions initiales, on determine le cas qui se produit et les solutions de l'equation. Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles25 / 28

Equation de la chaleur

On s'interesse a l'equation de la chaleur avec une condition initiale (EC1)8 :@u@tc@2u@x2= 0;8x2R;8t>0; u(x;0) =u0(x);8x2R; et l'equation de la chaleur avec une condition au bord (EC2)8 :@u@tc@2u@x2= 0;8x>0;8t>0; u(0;t) =u0(t);8t>0;Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles26 / 28

Equation de la chaleur

Gr^ace aux series de Fourier ...Theoreme 3

Soientc>0 etu0:R!Rune fonction continue 2-periodique. Alors il

existe une unique solutionude (EC1) veriantpour toutt>0,u(x;t) est 2-periodique comme fonction enx,la derivee partielle

@2u@x2(resp.@u@t) existe et est continue surRR+,lim

t!0+supx2Rju(x;t)u0(x)j= 0.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles27 / 28

Equation de la chaleurTheoreme 4

Soientc>0 etu0:R+!Rune fonction continue 2-periodique. Alors il

existe une unique solutionude (EC2) veriantpour toutx>0,u(x;t) est 2-periodique comme fonction ent,la derivee partielle

@2u@x2(resp.@u@t) existe et est continue sur R +R+,lim

x!0+supt>0ju(x;t)u0(x)j= 0.Mathematiques 3, 2015Notions sur les equations aux derivees partielles28 / 28

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