Un quadrilatère est un polygone ( figure à plusieurs côtés ) qui a quatre côtés THEME : LE PARALLELOGRAMME non convexe Page 2
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Quadrilatère qui a les côtés opposés parallèles 2 à 2 Trapèze Losange Quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur * : Non croisé 2 côtés parallèles
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5 avr 2008 · Polygone concave : polygone qui n'est pas convexe, on dit aussi non convexe Quadrilatère convexe, concave, croisé Un quadrilatère ABCD
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Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme • Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés
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Un quadrilatère non croisé dont 2 côtés opposés sont parallèles et de même longueur est un parallélogramme Ex : si (AB) // (CD) et AB = CD alors ABCD est un
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Un quadrilatère est un polygone ( figure à plusieurs côtés ) qui a quatre côtés THEME : LE PARALLELOGRAMME non convexe Page 2
[PDF] PDF sur le parallélogramme : cours de maths en 5ème : cours de
ont le même milieu Propriété2 : Si les diagonales d'un quadrilatère non croisé se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est parallélogramme Propriété1 :
[PDF] Les quadrilatères - Lycée dAdultes
27 jui 2016 · dont au moins deux côtés sont sécants quadrilatère croisé • Un polygone convexe est un polygone non croisé dont les angles formés par
[PDF] Construis un quadrilatère quelconque, non croisé et ayant ses 2
Reprends et modifie ton quadrilatère convexe quelconque du départ de sorte que ses diagonales soient à l'extérieur Modifie ton quadrilatère croisé
[PDF] 5ème soutien N°15 reconnaître des parallélogrammes
RECONNAÎTRE UN PARALLELOGRAMME EXERCICE 1: Compléter les démonstrations suivantes: 1 On sait que: PAUL est un quadrilatère non croisé
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LE QUADRILATERE :
Quadrilatère ( n.m.) du latin quadrilaterus , de quadri, préfixe signifiant quatre , et de lateris , signifiant côté ( comme dans latéral ) Un quadrilatère est une figure constituée de quatre côtés.Ecriture d"un quadrilatère :
Un quadrilatère se notera à l"aide des quatre sommets.Un quadrilatère est un polygone
( figure à plusieurs côtés ) qui a quatre côtés.THEME :
LE PARALLELOGRAMME
non convexe Remarquons que ce quadrilatère ABCD peut également s"appeler BCDA ou CDAB ou DABC ou ADCB ou DCBA ou CBAD ou BADC Attention , le quadrilatère dessiné ci-contre ne s"appelle pas ABCD , mais ABDC.Diagonales d"un quadrilatère :
Une diagonale est, pour un polygone, un segment qui joint deux sommets non consécutifs ( deux sommets qui ne suivent pas ). Remarquons que , dans un quadrilatère croisé, une diagonale peut se situer à l"extérieur du polygone.Un quadrilatère a deux diagonales. Il est possible, sans dessin, de déterminer les diagonales .
Côtés opposés - Angles opposés :
LE PARALLELOGRAMME :
Parallélogramme ( n.m.) du latin parallelogrammum , du grec parallêlogrammon , de parallêlos , parallèle et de grammé, ligne. ??? I. Définition Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.? Si ABCD est un parallélogramme alors les droites (AB) et (DC) sont parallèles et les droites (AD) et
(BC) sont parallèles. et? Si les droites (AB) et (DC) sont parallèles et les droites (AD) et (BC) sont parallèles alors ABCD est
un parallélogramme.Remarque :
Un parallélogramme est l"intersection de deux bandes ( à bords sécants )Côtés opposés
[AB] et [CD] sont des côtés opposés. [AC] et [BD] sont des côtés opposés.Angles opposés
C et Aˆˆ
sont des angles opposés.D et Bˆˆ
sont des angles opposés.Ne pas confondre angles opposés ( dans un
quadrilatère ) et angles opposés par le sommet ??? II. Première propriété caractéristique du parallélogramme.Remarque :
Nous savons qu"un parallélogramme est un quadrilatère ( figure à quatre côtés ).Cette propriété n"est pas une propriété qui caractérise, qui n"appartient qu"au parallélogramme. Un
trapèze quelconque est également un quadrilatère.Une propriété caractéristique est une propriété qui n"appartient et qui ne définit que la figure en
question. La propriété suivante est un propriété caractéristique du parallélogramme car seul le parallélogramme a cette propriété. Les diagonales d"un parallélogramme se coupent en leur milieu. Réciproquement, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c"est un parallélogramme. Si ABCD est un parallélogramme alors les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu.Réciproquement :
Si des segments [AC] et [BD] ont même milieu alors ABCD est un parallélogramme.Si alors
Remarque importante :
Le parallélogramme a donc un centre de symétrie , le point de rencontre de ses diagonales. Ce point ( O sur le dessin ci-dessus ) , milieu des deux diagonales, s"appelle le centre du parallélogramme.Remarque :
Considérons les points A, B , C et D ( cf. dessin ) tels que O soit milieu de [AC] et milieu de [BD] .
D"après la propriété précédente, comme O est milieu de [AC ] et de [BD] , alors ABCD est un
parallélogramme.Ce parallélogramme particulier ( les quatre points A, B , C et D sont alignés ) s"appelle un parallélogramme
aplati .Construction 1 :
? Soient A, B et O trois points non alignés. Construire les points C et D afin que le quadrilatère ABCD
soit un parallélogramme de centre O.O est le centre du parallélogramme ABCD donc, d"après la propriété précédente, O est milieu des
diagonales de ce parallélogramme. Donc ? O est milieu de [AC] Le point C est donc le symétrique de A par rapport à O. ? O est milieu de [BD] Le point D est donc le symétrique de B par rapport à O.Centre du parallélogramme
Construction 2 :
? Soient E, F et G trois points ( non alignés ) . Construire le point H afin que EFGH soit un parallélogramme. Comme EFGH doit être un parallélogramme, ses diagonales [EG] et [FH] ont même milieu.Nous pouvons construire ( à l"aide de la médiatrice de [EG]) le milieu O de la diagonale [EG]. Le point H
que nous cherchons est le symétrique de F par rapport à O. ??? III. Seconde propriété caractéristique du parallélogramme. Les côtés opposés d"un parallélogramme ont même longueur.Réciproquement, si un quadrilatère ( non croisé ) a ses côtés opposés de même longueur,
alors c"est un parallélogramme.Remarque :
Cette dernière propriété est fausse si nous ne précisons pas que le quadrilatère est non croisé. Dans l"exemple ci-contre ( quadrilatère croisé - sorte de sablier ), les côtés opposés [AB] et [CD] ont même longueur ainsi que les côtés [AD] et [BC] .Construction du parallélogramme :
? Soient A, B et C trois points (non alignés dans notre exemple ) ; Construire le point D afin que ABCD
soit un parallélogramme. Etape 1 : Avoir une idée de la position du point DEtape 2 : Comme dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur, le côté [CD] a la même
longueur que le côté [AB]. A l"aide du compas, il suffit de prendre la longueur AB puis de la reporter à partir du point C.Etape 3 : Comme dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur, le côté [AD] a la même
longueur que le côté [BC]. A l"aide du compas, il suffit de prendre la longueur BC puis de la reporter à partir du point A.Etape 4 :
Le point d"intersection des deux arcs de cercle est le point D recherché.Application : construction d"une parallèle :
Soit une droite D et A un point extérieur à cette droite. Construire ( à l"aide de la règle et du compas ) la parallèle à la droiteD passant par le point A.
Il existe déjà deux méthodes connues :
? Avec une équerre que l"on fait " glisser » le long d"une règle. ( construction peu rigoureuse )
? En traçant tout d"abord une perpendiculaire à la droite D ( passant ou non par le point A ) puis
en traçant à nouveau une perpendiculaire à cette nouvelle droite passant par le point A. ( cf. cours sur la
médiatrice )Autre méthode :
Prenons , sur la droite D , deux points B et C quelconques. Puis construisons le point D afin que ABCD soit un parallélogramme.Comme ABCD est un
parallélogramme, les droites (AD) et (BC) sont parallèles.Nous venons ainsi de
construire la parallèle à la droiteD passant par A.
Il est d"ailleurs inutile de
tracer les côtés du parallélogramme. ??? IV. Troisième propriété caractéristique du parallélogramme.Un quadrilatère ( non croisé ) ayant deux côtés opposés parallèles et de même longueur
est un parallélogramme.Remarque :
Cette dernière propriété est fausse si nous ne précisons pas que le quadrilatère est non croisé. Dans l"exemple ci-contre ( quadrilatère croisé - sorte de sablier ), les côtés opposés [AB] et [CD] sont parallèles et ont même longueur ???? IV. Quatrième propriété caractéristique du parallélogramme. Dans un parallélogramme, les angles opposés ont même mesure.Réciproquement, si un quadrilatère ( non croisé ) a des angles opposés de même mesure,
alors ce quadrilatère est un parallélogramme Remarque : ( démonstration de la première propriété ) Les droites (AD) et (BC) sont parallèles ( ce sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD )Les angles
xBA et BADˆˆ sont alternes-internesDonc les angles
xBA et BADˆˆ ont même mesure . xBA BADˆˆ= Les droites (ABD) et (DC) sont parallèles ( ce sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD )Les angles
BCD et xBAˆˆ sont alternes-internes
Donc les angles
BCD et xBAˆˆ ont même mesure .
BCD xBAˆˆ=
xBA BADˆˆ= et BCD xBAˆˆ= donc BCD BADˆˆ=Une même démonstration permet d"arriver à la même conclusion pour les deux autres angles opposés.