Pour s'en convaincre, il suffit de construire un triangle ABC isocèle en A avec B et C distincts On a AB logramme (b) Réciproquement, un Quelle est l'aire d'un dodécagone régulier inscrit dans un cercle de diamètre 18 cm? 6 Tracer un
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Un losange est un parallélogramme qui a : - ses diagonales perpendiculaires ; - ses côtés consécutifs de même longueur b) Le rectangle Définition : Un
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leur intersection soit un quadrilatère qui ne soit pas un rectangle 2 logramme au compas SPÉCIAL PROF Dans la figure ci-dessous, ABCD est un paral-
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côtés, et I le milieu de [GF] Que vaut l'aire du triangle HEI, en fonction de celle du rectangle ? Construire la droite équidistante (à distance r) des deux parallèles, puis les deux droites paral- lèles à la à l'aire du parallé- logramme IO1OO2
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concernant les aires, et plus particulièrement l'aire du triangle Il vous logramme découpe ce parallelogramme en deux surfaces d'aires égales 14 M est à
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Méthode 1 : en traçant les diagonales : « Si un quadrilatère a des diagonales de même milieu, alors c'est un parallélogramme » ➀ On trace la diagonale [AC]
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est invariante sous une rotation quelconque autour de O Il s'ensuit que la est la charge par unité de surface parall`ele au plan zOy, grandeur qui log h R II 1˝) Voir le cours 2˝) a) Invariance par translation parall`element `a z1z
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Géométrie plane, notions de base : points, droites, angles, cercles, polygones (triangles, quadrilatères, ...), polygones réguliers
Denis Vekemans
1 Droites, demi-droites, segments (définitions)
Ces notions se passeront ici de définitions.
Notations
- On note (AB) ladroitepassant par les pointsAetB. - On note [CD] lesegmentayant pour extrémitésCetD. - On note [EF) lademi-droiteissue deE, passant parF. - On noteGHlalongueurdu segment [GH]. Quand trois points sont sur la même droite, on les ditalignés.?Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France 1 Exercice 1SiAB=AC, a-t-on forcément [AB] = [AC]?Solution 1
Non! Pour s"en convaincre, il suffit de construire un triangleABCisocèle enAavecB etCdistincts. On aAB=AC(parce que le triangle est isocèle), mais on n"a pas [AB] = [AC] (car ces segments ne sont pas confondus, leur seule intersection étant le pointA).Exercice 2
Si les segments [AB] et [CD] sont sans point commun, en est-il forcément de même pour les droites (AB) et (CD)?Solution 2
Non! Pour s"en convaincre, il suffit de construire un triangleACE(A,EetCdistincts) avecBmilieu de [AE] etDmilieu de [CE]. Les segments [AB] et [CD] sont sans point commun, mais les droites (AB) et (CD) se coupent enE.2 Droites perpendiculaires, droites parallèles
La notion de droitesperpendiculairesn"est pas définie ici. dest perpendiculaire àd?est notéd?d?.Définition
. Deux droites sont ditesparallèlessi elles n"ont aucun point commun ou sont confondues. dest parallèle àd?est notéd//d?.Définition
. Deux droites sont ditessécantessi elles ont un point commun.Théorème 2.1
Par un point donné,
1. il passe une unique droite parallèle à une droite donnée,
2. il passe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée.
Théorème 2.2
Transitivité du parallélisme
Sid//d?et sid?//d??, alorsd//d??.
2 Théorème 2.3Composition de perpendicularité et de perpendicularitéSid?d?et sid??d??, alorsd//d??.
Théorème 2.4
Composition de parallélisme et de perpendicularitéSid//d??et sid??d, alorsd??d??.
Théorème 2.5
Parallélisme et alignement.
Si(AB)//(AC), alorsA,BetCsont alignés.
Théorème 2.6
Cas d"égalité de l"inégalité triangulaire. SiAC=AB+BC, alorsA,BetCsont alignés etBappartient
au segment[AC]. Réciproquement, siBappartient au segment[AC], alorsAB+BC=AC.Exercice 3
Soitdune droite. Déterminer l"ensemble des points situés à moins de2cmded.Solution 3
On considère la droited. SoitAun point de cette droite. On trace la perpendiculaire à 3 la droitedpassant parA. Sur cette perpendiculaire, on place deux points distinctsBetCtels queAB= 2cmetAC= 2cm. On trace la parallèle àdpassant parB, notéed1, et la parallèle àdpassant
parC, notéed2. Le lieu recherché est la portion de plan comprise entre les deux droitesd1etd2.3 Tracés à la règle et à l"équerre
Exercice 4
Tracés à la règle et à l"équerre ...1. D"une droite perpendiculaire à (AB), passant parC.
2. D"une droite parallèle à (AB), passant parC.
Solution 4
1. On place la règle de manière à ce qu"elle porte la droite (AB), on pose l"équerre (sous-entendu
l"angle droit de l"équerre) sur la règle et on fait glisser l"équerre jusqu"à ce qu"elle permette de
tracer une droite contenant le pointC, ce que l"on fait.2. On place l"équerre de manière à ce que l"un des côtés de l"angle droit porte la droite (AB), on pose
la règle sur l"autre côté de l"angle droit et on fait glisser l"équerre jusqu"à ce qu"elle permette de
tracer une droite contenant le pointC, ce que l"on fait.Exercice 5
Donner des algorithmes de construction utilisant la règle graduée et l"équerre pour les deux
figures suivantes :1.ABKCest un quadrilatère convexe; ses diagonales se coupent enI;BI=AI=CI;IK=KC;
(IK)?(KC).2.CDEest un triangle;Aest le pied de la hauteur issue deD;CA=AD;CD=AE;Fest un
point de (DE); (CD)//(AF).Solution 5
1. On trace un segment [CK]. On mène la perpendiculaire à la doite (KC) passant parK(utilisation
de l"équerre). Sur cette perpendiculaire, on place le pointItel queKI=KC(utilisation de la règle graduée). On trace la droite (CI). Sur la droite (CI), on place le pointBtel queCI=IB (utilisation de la règle graduée) et queBetCsoient de part et d"autre deI. On trace la droite (CI). Sur la droite (KI), on place le pointAtel queAI=IC(utilisation de la règle graduée) et queAetKsoient de part et d"autre deI. On trace enfin les segments [KB], [BA] et [AC].2. On trace un segment [CA]. On mène la perpendiculaire à la doite (CA) passant parA(utilisation
de l"équerre). Sur cette perpendiculaire, on place le pointDtel queCA=AD(utilisation de la 4 règle graduée). On trace le segment [CD]. Sur la droite (CA), on place le pointEtel queAE=CD (utilisation de la règle graduée) et queCetEsoient de part et d"autre deA. On trace la droite(ED). On trace la parallèle à la droite (CD) passant par le pointA(utilisation de la règle et de
l"équerre). On appelleFle point de concours de la droite (ED) et de la parallèle à la droite (CD)
passant parA.4 Médiatrices
Définition
. L"ensemble des points équidistants deAetBest appeléela médiatricedu segment [AB].Théorème 4.1
Si un point est équidistant des extrémités d"un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Réciproquement, si un point est sur la médiatrice d"un segment, alors, il est équidistant des extrémités
de ce segment.Théorème 4.2
Si une droite passe par deux points équidistants deAet deB, alors c"est la médiatrice du segment[AB].
Théorème 4.3
Sidest médiatrice du segment[AB], alors,dest une droite telle qued?(AB)etdpasse par le milieu de[AB]. Réciproquement, si une droitedpasse par le milieu de[AB]et si cette droite est perpendiculaire à
la droite(AB), alorsdest médiatrice du segment[AB].Théorème 4.4
Si une droite passe par un point équidistant deAet deBet est perpendiculaire à la droite(AB), alors
c"est la médiatrice de[AB].5 Cercles (définitions)
Définitions
51.Le cercleΓ de centreOet de rayonr(un nombre réel positif) est l"ensemble des points du plan
situés à une distancerdeO.2.Le disque pleinΩ de centreOet de rayonr(un nombre réel positif) est l"ensemble des points du
plan situés à une distance inférieure ou égale àrdeO.3. L"intérieur strict du disque plein Ω
?de centreOet de rayonr(un nombre réel positif) est l"ensemble des points du plan situés à une distance strictement inférieureàrdeO.4. Soit [AB] un segment. SoitOle milieu du segment [AB]. Soit Γ le cercle de centreOet de rayon
r. SoientPetQdes points du cercle. SoitTla droite passant parA, perpendiculaire à (AB). (a) On dit que les segments [OA], [OB], [OP] et [OQ] sont desrayonsdu cercle Γ. (b) On dit que le segment [AB] est undiamètredu cercle Γ. (c) On dit que le segment [PQ] est unecorde. (d) On définit aussi unarc de cercle?PQcomme l"ensemble des points du cercle situés entrePetQ(petit arc?PQ, grand arc?PQ).
(e) On dit queTest latangente au cercleΓ enA.Positions relatives d"une droite et un cercle
1. Deux points d"intersection. La droite et le cercle sontsécants.
2. Une seule intersection. La droite et le cercle sonttangents.
3. Sans intersection. La droite et le cercle sontdisjoints.
Positions relatives de deux cercles
1. Une infinité d"intersections. Les cercles sontconfondus.
2. Deux intersections uniquement. Les cercles sontsécants.
3. Une seule intersection. Les cercles sonttangents.
64. Sans intersection. Les cercles sontdisjoints.
5. Lorsque deux cercles ont même centre, on dit qu"ils sontconcentriques.
Exercice 6
1. SoientAetBfixés tels queAB= 6cm. Hachurer l"ensemble des points situés à moins de 3cmde
Aet à moins de 5cmdeB.
2. SoientCetDfixés tels queCD= 4. Hachurer l"ensemble des points situés à moins de 2 deCet à
plus de 3 deD.Solution 6
1. On trace le segment [AB] de 6 centimètres. On trace le cercleC1de centreAet de rayon 3
centimètres, puis le cercleC2de centreBet de rayon 5 centimètres. La zone cherchée est celle à
l"intersection des deux disques de bordsC1etC2.2. On trace le segment [CD] de 4 unités. On trace le cercleC1de centreCet de rayon 2 unités, puis
le cercle de centreDet de rayon 3 unités. La zone cherchée est le disque de bordC1privé du disque
de bordC2.