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CHAPITRE 5 : DISTANCES ET CERCLES

Objectifs :6.312 [S] Placer le milieu d'un segment.

6.313 [-] Connaître et utiliser le codage d'une figure géométrique.

6.315 [-] Écrire un programme de construction permettant de reproduire une figure.

6.317 [S] Construire une figure simple à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. [tice]

6.318 [S] Reconnaître des figures simples dans une figure complexe, reproduire et construire des figures complexes

6.330 [S] Connaître et utiliser le vocabulaire associé au cercle (centre, rayon, diamètre, corde, ...).

6.331 [S] Reporter une longueur (au compas, à la règle graduée, ...).

6.332 [-] Tracer un cercle connaissant son centre et son rayon ou son diamètre.

6.333 [S] Connaître et utiliser la caractérisation d'équidistance au centre des points d'un cercle.

6.411 [S] Calculer le périmètre d'un polygone. Comparer des périmètres.

6.412 [S] Connaître et utiliser la formule donnant le périmètre d'un cercle.

I. Longueur et milieu d'un segment

Définition :

La longueur d'un segment [AB] est la distance du point A au point B ; elle est notée AB.

Exemple : AB = 4,2 cm.

Définition :

Le milieu d'un segment est le point de ce segment qui est situé à égale distance de ses extrémités.

Pour traduire qu'un point I est le milieu d'un segment [AB], on écrit : I ∈ [AB] et IA = IB. Si le point I est le milieu du segment [AB], alors on a aussi AI = AB ÷ 2

II. Cercle

Définition :

Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à la même distance r du point O.

( C ) est un cercle de centre O et de rayon r.

M est un point de ( C ).

OM est un rayon de ( C ).

Exemple :

•Si un point A appartient au cercle ( C ) de centre O et de rayon 2 cm, alors ce point est situé à 2 cm du point O.

A ∈ ( C ), donc OA = 2 cm.

•Si un point B est situé à 2 cm d'un point O, alors ce point appartient au cercle ( C ) de centre O et de rayon 2 cm.

OB = 2 cm, donc B

∈ ( C ).AIB OM r 4,2cm AB

Définitions :

Une corde d'un cercle est un segment dont les extrémités appartiennent à ce cercle. Un diamètre d'un cercle est une corde passant par le centre de ce cercle. [AB] est une corde de ( C ). [CD] est un diamètre de ( C ) ; on dit que les points C et D sont diamétralement opposés.

Le centre O du cercle est le milieu de [CD].EF est un arc du cercle ( C ), c'est-à-dire une portion du

cercle ( C ).

Propriété :

Si [CD] est un diamètre d'un cercle de rayon r, alors on a : CD = 2

× r.

III. Périmètre d'une figure

a) Longueur d'un cercle

Définition :

La longueur l d'un cercle de diamètre d est donnée par la formule : l = ×d (avec  ≈ 3,14).

La longueur l d'un cercle de rayon r est donnée par la formule : l = 2× ×r.  n'est pas un nombre décimal ; une valeur approchée de ce nombre est 3,14. La touche  d'une calculatrice scientifique donne une valeur plus précise de ce nombre. b) Formules

Pour calculer un périmètre ou une aire, les dimensions doivent être exprimées dans la même unité.

RectangleCarréTriangle rectangle

Périmètre2

× (L + l)4 × ca + b + cOA

rCDB E F r d d = 2 x r l Lccb a

Activité n°1 page 180 (Dimathème 6e)

1)a. Construire un segment [AB] mesurant 6 cm (on écrit AB = 6 cm).

Placer le point I sur le segment [AB] à 3 cm de A et mesurer le segment [IB]. b. Recopier et compléter : IB = ...... cm. c. Comment appelle-t-on le point I ?

2)a. Tracer un segment [MN] quelconque.

b. Construire le milieu T de ce segment en utilisant la règle graduée. c. Expliquer la méthode utilisée.

d. Avec un compas, prendre " l'écartement MT » et le comparer avec " l'écartement NT ». Que constate-

t-on ?

3)L'énoncé de l'exercice pour la semaine prochaine est :

" Construire un segment [AC] et un point P tel que AP = PC. »

Samuel, Rachid et Élise font leurs devoirs en étude : ils ont dessiné les figures ci-dessous en utilisant

une convention : deux segments de même longueur sont repérés par un même petit trait : on dit qu'on a

codé la figure.

SamuelRachidÉlise

Naturellement, chacun affirme qu'il a juste ! Qu'en pensez-vous ? Pour quelle figure, P est-il le milieu du segment [AC] ?

Activité n°2 (Sésamath 6e)

1. Sur ton cahier, place un point O. Recherche tous les points situés à 3 cm du point O.

2. Un système d'arrosage automatique est formé d'un jet qui arrose dans

toutes les directions jusqu'à 4 m. a.Représente sur ton cahier la zone arrosée par le jet en appelant J l'emplacement du jet. (1 cm représentera 1 m.) b.Comment peux-tu définir les points de la zone arrosée ? ceux de la zone sèche ?

3. Trace un cercle () de centre O et de rayon 4 cm. Place trois points A, B et C sur le cercle.

a.Comment appelle-t-on le segment [OC] ? Sans mesurer, donne la longueur OC du segment [OC]. b.Le segment [AB] est une corde.

Comment peut-on définir un tel segment ?

En utilisant les points de la figure, cite d'autres cordes du cercle (). c.La portion de cercle d'extrémités A et B est un arc de cercle. Combien d'arcs de cercle sont déterminés par A et B ?

Comment les différencier ?

d.Place les points D et E sur le cercle pour que les cordes [AD] et [BE] passent par O. Compare les arcs d'extrémités A et D et ceux d'extrémités B et E. Que dire des longueurs des cordes [AD] et [BE] ? Comment les nomme-t-on ?OAB CAC

PACPACP

Activité n°3 (Bordas Myriade)

1. Réaliser la manipulation suivante :

a.Prendre un rouleau de ruban adhésif et mesurer son diamètre. b.Faire une marque au stylo au niveau de l'extrémité du ruban adhésif. c.Dérouler le ruban et couper au niveau de la marque. d.Coller le morceau de ruban obtenu et mesurer sa longueur.

2. Diviser la longueur du morceau de ruban par le diamètre du rouleau et noter le résultat obtenu.

3. Recommencer l'expérience avec d'autres objets circulaires. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Que

remarque-t-on ?

ObjetDiamètre (D)Longueur (L)Rapport L

D

Ruban adhésif 1

Ruban adhésif 2

Autres objets...

4. Quelle formule semble-t-on pouvoir appliquer pour calculer la longueur d'un cercle ?

Activité n°4 (Hélice 6e) : Le périmètre d'un rectangle, c'est quoi pour vous ? Théo : " Moi, je pense à un terrain de foot, et je me dis que je fais le tour du terrain en marchant sur les lignes. » Clara : " Pour moi, un rectangle, c'est comme un cadre de tableau. Je prends la longueur de la baguette du bas, puis celle des deux côtés parallèles, et celle du haut. » Léo : " Moi aussi, je pense à un terrain de foot, comme Théo. Je me dis que je cours une longueur complète, puis une largeur complète. Mais quand j'arrive au deuxième point de corner, je me dis qu'il m 'en reste autant à parcourir pour avoir le périmètre. Laura : " Pour moi, un rectangle, c'est ... un rectangle ! Il a deux longueurs, deux largeurs, et pour calculer son périmètre, je fais une addition ! »

1. Parmi ces quatre élèves, qui propose de calculer le périmètre d'un rectangle par la formule suivante :

longueur + (largeur × 2) + longueur ?

2. Écrire les formules du périmètre d'un rectangle proposées par les autres élèves.

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