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[PDF] Lentilles

Lentilles 4 R1 R2 formule des opticiens: lentilles sphériques de rayon de courbure R1 et R2, d'indice de réfraction n1, dans milieu n2: 1 f = n 1 n 2 1 1 R 1

[PDF] Les LENTILLES et les INSTRUMENTS DOPTIQUE

Apr`es un calcul g´eom´etrique simple, mais long, on obtient : 1 so + 1 si = (n − 1) ⎛ lentille mince, biconvexe de rayons de courbure 60 cm et 30 cm Sachant ce que l'objet soit en contact avec la lentille Un tel objet est Ce sch´ema des rayons lumineux montre comment l'image d'un objet ´etendu est form´ee par 

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caractéristiques MoRoCCoAV d'adaptation pour évaluer la lentille sur l'œil en utilisant un système simple avec un Rayon de courbure 7,40 mm à 9,40 mm ( par pas de 0,20 mm) Diamètre Comment calculer la modification de périphérie

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focale) Le calcul de la première lentille est à Comment surveiller la cornée ? Comment vais je convaincre le patient ? rayon de courbure à l'apex cornéen

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une meilleure adaptation en lentilles Lors du bilan entre lentilles souples toriques (LSHT) et lentilles Dans ce cas, ce sont les deux rayons de courbure de la Sports (de contact) – Intolérance aux [Comment choisir le type de LRPG ?

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Les premières lentilles de contact ont été expérimen- tées par Eugen Fick à va combler l'espace entre le rayon courbe et la face postérieure de la lentille)

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Les miroirs réfléchissent la lumière tandis que les lentilles réfractent l'onde lumineuse courbure est appelée le rayon de courbure R L'axe optique (ou axe Figure 6 Les rayons principaux servant à trouver la position de l'image pour une lentille Placez la lentille convergente en contact avec la lentille divergente sur le 

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Quel est est le rayon de courbure R minimal pour lequel toute la lumi`ere Les comparer aux standard téléphone Numéris (64 kb/s), au standard 1) Calculer la vergence de la lentille et préciser son unité Comment faut-il choisir e3

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Les LENTILLES et les INSTRUMENTS D"OPTIQUEL"analyse de plusieurs instruments d"optique repose sur les lois de la r´eflexion

et, plus particuli `erement, de la r´efraction.

Nous appliquerons l"optique g

´eom´etrique qui traite les ondes

electromagn´etiques lumineuses comme desrayonset qui ignore leur ca- ract `ere ondulatoire. Ce traitement g´eom´etrique est correct tant que les surfaces et les discontinuit ´es rencontr´ees par l"onde (miroirs, lentilles, etc..) au cours de sa propagation sont tr `es grandes par rapport`a la longueur d"onde.

Nous commencerons par

´etudier les lentilles, puis les miroirs sph´eriques. Nous terminerons par l" ´etude de quelques appareils optiques fr´equemment utilis´es comme le microscope, le t ´elescope etc....Universit´e de Gen`eve 24 -1 C. Leluc Les lentilles minces sph´eriquesLes lentilles minces (´epaisseur faible compar

´ee`a leur rayon de courbure)

constituent l"instrument optique le plus important.

Chacune des 2 faces d"une lentille est

une section d"une surface sph

´erique,

les 2 faces n"ont pas forc

´ement le

m

ˆeme rayon de courbure.

Chaque face peut

ˆetre concave,

convexe ou plane. Ainsi une lentille biconcave est plus

´epaisse en son

centre qu"aux bords, ce qui est le contraire pour une lentille biconvexe.Par conventionle rayon de courbure,

R, est positif si son centre est`a droite

de la surface.Universit´e de Gen`eve 24 -2 C. Leluc

Les lentilles minces sph´eriquesComme les surfaces sph´eriques ne peuvent pas produire d"images parfaites

(elles produisent des d ´efauts d"image appell´es aberrations), on doit imposer des limitations

`a leur utilisation pour qu"elles se comportent convenablement.-La lentille ne pourra recevoir que des rayons peu inclin´es par rapport`a so-

naxe principal et qui traversent la lentille tout pr `es de cet axe. Ces rayons

sont ditsparaxiaux.-Les lentilles seront toujours minces; leur´epaisseur est faible compar´ee au

rayon de courbure des surfaces.-La lumi`ere se propage de gauche`a droite.lentille convergenteLe rayon du cercle de centreC1est nor-

mal `a la 1ere surface. En entrant dans la lentille, le rayon lumineux d

´evie en s"ap-

prochant de cette normale carnl> na.

Le rayon du cercle de centreC2est nor-

mal `a la 2eme surface. En´emergeant le rayon lumineux d

´evie en s"´eloignant de

cette normale.C1C2est appel´e l"axe prin- cipalde cette lentille convergente.Universit´e de Gen`eve 24 -3 C. Leluc

Les lentilles minces sph´eriquesConsid´erons 2 rayons issus de la source ponctuelle,S, situ´ee sur l"axe princi-

pal et convergents vers l"image ponctuelle correspondante enP.Par d´efinition :-la distance de l"objet au centre de la lentille,so, est positive si l"objet

est `a gauche de la lentille-la distance de l"image au centre de la lentille,si, est positive si l"image est `a droite de la lentille-le rayon de courbureRest positif si son centre est`a droite de la sur- face.Ici dans ce dessin,R1>0, R2<0,so>0,si>0.Universit´e de Gen`eve 24 -4 C. Leluc

Les lentilles minces sph´eriquesPar la suite, nous consid´ererons toujours que la lentille mince d"indice,

n, est entour´ee d"air d"indicena= 1.On veut´etablir une relation entre les positions de l"objet et de l"image `a travers cette lentille.Pour cela il faut remarquer que les chemins optiques parcourus par tous les rayons entre S `aPsont´egaux, pour autant qu"ils soient paraxiaux.On appellechemin optiquele produit de la longueur du chemin dans un milieu multipli

´e par l"indice de r´efraction de ce

milieu.Apr`es un calcul g´eom´etrique simple, mais long, on obtient :1so+1si= (n-1)( ((1R1-1R2) ))Equation des lentilles minceso`unest l"indice de la lentille.

Si la lentille est entour

´ee par un milieu d"indicenmplutˆot que de l"air, la for- mule pr ´ec´edente restera valable,`a condition de remplacernpar l"indice relatif n/n m.Universit´e de Gen`eve 24 -5 C. Leluc

Les lentilles minces sph´eriques : exempleUn petit objet ponctuel se trouve sur l"axe principal`a 120 cm`a gauche d"une

lentille mince, biconvexe de rayons de courbure 60 cm et 30 cm. Sachant que l"indice de r ´efraction de cette lentille estn= 1,50, trouver la position de l"image. La position de l"image change-t-elle si on retourne la lentille sans changer sa position? On suppose toujours que le milieu ext

´erieur est l"air.

SOLUTION : Les rayons se propagent de gauche

`a droite. La lentille´etant biconvexe, le rayon de courbure de la premi `ere face est positifR1= 0,60m et celui de la 2eme face est n

´egatifR2=-0,30m. L"eq. des lentilles minces

donne :

11,20m+1si= (1,50-1)(10,60m-1-0,30m)

1si= (0,50)(10,20m)-11,20m=21,20metsi= 0,60m

La distance image est positive : l"image se trouve donc sur l"axe et `a droite de la lentille. Si nous avions retourn

´e la lentille, soitR1= 0,30m etR2=-0,60m,

rien n"aurait chang ´e : il n"importe donc pas de savoir quelle face de la lentille est en face de l"objet.Universit´e de Gen`eve 24 -6 C. Leluc

Points et plans focaux- Lentille biconvexeSupposons qu"on´eloigne la source ponctuelleSvers la gauche. Comme

s o→ ∞, les rayons tombent sur la lentille en un faisceau parall`ele`a son axe et convergent en un point image appel

´efoyer image,Fi.

Le foyer est le point image d"un objet situ

´e`a l"infini sur l"axe principal.

Ceci est une bonne approximation pour des lentilles minces. On appelledistance focale,fi,la distance du point focal au centre de la lentille. Ainsi lorsqueso→ ∞, si→fi.Universit´e de Gen`eve 24 -7 C. Leluc

Points et plans focaux- lentille biconvexeInversement les rayons´emergent de la lentille en un faisceau parall`ele sisi→

∞; la position particuli`ere de l"objet, pour laquelle cela arrive, est appel´ee foyer objet,Fo. La distance de la lentille`a ce point est appel´eedistance

focale objet,fo. Ainsi lorsquesi→ ∞, so→fo.Si la lentille mince est entour´ee par le mˆeme milieu des 2 cˆot´es, les distances

focales objet et image sont

´egales et on peut omettre les indicesfi=fo=f.On obtient pour l"´equation des lentilles minces :1f= (n-1)(

((1R1-1R2) ))Equation des lun´etiersPour une lentille biconvexe (R1>0etR2<0),la distance focale est toujours positive. C"est une lentilleconvergente.Universit´e de Gen`eve 24 -8 C. Leluc

Points et plans focaux- lentille biconcaveUne lentille biconcave (moins´epaisse au centre qu"aux bords) fait diverger

les rayons parall `eles : elle est doncdivergente. On d´efinit lefoyercomme le point d"o `u les rayons r´efract´es d"un faisceau de rayons incidents parall`eles semblent provenir.Le foyer objet,Fo, est`a droite de la lentille et le foyer image, F i`a gauche.Si la lentille mince est entour´ee par le mˆeme milieu des 2 cˆot´es, f i=fo=fOn obtient la mˆeme formule que pour les lentilles convexes :1f= (n-1)( ((1R1-1R2) ))Equation des lun´etiersCommeR1<0etR2>0,la distance focale est n´egative pour une lentille biconcave. Pour des lentilles convergentes ou divergentes, si|R1|=|R2|=|R|et n= 1,5, on trouve que|f|=|R|.Universit´e de Gen`eve 24 -9 C. Leluc Points et plans focauxIl est tr`es pratique de dessiner un rayon lumineux le long de l"axe principal parce qu"il n"est pas d ´evi´e car il tombe normalement aux 2 surfaces. Trac¸ons aussiun rayon inclin´equi passe par le pointO, appel´ecentre op- tique. Ce rayon est d´evi´e`a l"int´erieur de la lentille et´emerge parall`element`a sa direction d"incidence (voir page 23-14). Mais comme la lentille est mince, le d ´eplacement lat´eral du rayon´emergent est n´egligeable.On peut consid´erer que rayons incident et ´emergent forment une seule ligne droite (diteaxe se- condaire).Un faisceau de rayons parall`eles`a un axe se- condaire converge en un point sur cet axe secondaire. C"est un foyer secondaire. L"en- semble de tous ces foyers secondaires s"ap-

pelleplan focal.Convention de signesso+si l"objet est`a gauche deOsi+si l"image est`a droite deOR+si le centre C est`a droite deOyo,yi+si l"objet ou l"image sontau-dessus de l"axe optiqueUniversit´e de Gen`eve 24 -10 C. Leluc

Equation des lun´etiers : exempleL"une des faces d"une lentille plan-concave d"indicen= 1,51est plane :

le rayon de courbure de l"autre estR2= 18,4cm. Quelle est la distance focale?? SOLUTION : Le rayon de courbure d"une surface plane est infini; appelons ce rayonR1(du cˆot´e de la source de lumi`ere). Nous obtenons :1/R1= 0.

L"autre face

´etant concave,R2=+0,184m. Par cons´equent :

1f= (1,51-1)(

((1∞-10,184m)

Doncf= (-0,184m/(0,51)) =-0,36m, et la lentille est divergente.Universit´e de Gen`eve 24 -11 C. Leluc

Images´etenduesTout point d"un objet´etendu envoie de la lumi`ere dans toutes les directions. Si

une partie de cette lumi `ere tombe sur une lentille, elle en´emerge soit conver- gente en un point, soit divergente en semblant venir d"un point image. Pour

trouver l"image,il suffit de tracer 3 rayons.-Rayon1 par le centre optique-Rayon 2 parrall`ele`a l"axe principal-Rayon 3 passant par le foyer objet ou dirig´e vers le foyer objet (divergente)Universit´e de Gen`eve 24 -12 C. Leluc

Images´etenduesAppliquons ceci`a la fleur situ´ee`a une distance entrefet2fd"une lentille convergente. Du sommetS, trac¸ons ces 3 rayons. Ils convergent au mˆeme pointP, qui est l"image du sommetSde la fleur. De mˆemeEest l"image de D. Les rayons passent r´eellement par l"image, c"est uneimage r´eelle: on peut intercepter cette image sur un

´ecran.

Le sch

´ema des rayons nous fournit une relation analytique entre les distances de l"image et de l"objet et la distance focale.Les trianglesFiEPetFiAOsont sem- blables, tous leurs angles sont

´egaux :PEAO=si-ffo`uAO=SD

Les trianglesSODetPOEsont sem-

blables aussi. D"o

`u :PESD=sisoEn combinant ces 2´equations, on obtient :1so+1si=1fEquation de conjugaisonUniversit´e de Gen`eve 24 -13 C. Leluc

Equation de conjugaison : exempleNous d´esirons placer un objet`a 45 cm devant une lentille et avoir son image

sur un ´ecran plac´e`a 90 cm derri`ere le lentille. Quelle doitˆetre la distance focale de cette lentille convergente? SOLUTION : L"exercice ne donne pas l"indicenni les rayons de courbure des faces de la lentille dont d ´ependf, mais la distance focale peutˆetre d´eduite de l" ´equation de conjugaison avecso=+0,45m etsi=+0,90m :

1f=10,45m+10,90m= 2,222 + 1,111 = 3,333

Doncf= +0,30m. C"est bien une lentille convergente.Universit´e de Gen`eve 24 -14 C. Leluc GrandissementLe rapport d"une dimension transversale de l"image form´ee par un syst`eme optique `a la dimension correspondante de l"objet estle grandissement trans-

versalou grandissement,GT:GT=yiyoSur ce dessin, la hauteuryiest au-dessous de l"axe principal; elle est doncn´egativeet l"image est renvers´ee.En reprenant les triangles

semblablesSODetPOE, nous trouvons queGT=-sisoLe grandissemnet est n´egatif lorsque l"image est renvers

´ee par rapport`a l"objet et positif

lorsque l"image est droite.Quantit´esigne+signe-soObjet r´eelObjet virtuelsiImage r´eelleImage virtuellefLentille convergenteLentille divergenteyoObjet vers le hautObjet vers le basyiImage vers le hautImage vers le basGTImage droiteImage renvers´eeUniversit´e de Gen`eve 24 -15 C. Leluc

Grandissement : exempleUn cheval a une hauteur de 2,25 m et son front est`a 15,0 m de la lentille mince de distance focale +3,00 m.(a) Trouver la position de l"image du cheval (b) Quel est le grandissement? (c) Quelle est la hauteur de l"image? (d) Si la queue du cheval est `a 17,5 m de la lentille, quelle est la longueur de l"image (du nez `a la queue)?SOLUTION : (a) De l"´equation de conjugaison, nous d

´eduisons que l"image est r´eelle, car

115,0m+1si=13,00metsi= +3,75m

(b) Le grandissement est donn

´e par

G T=-siso=-3,75m15,0m=-0,25image renvers´ee(c) D"apr`es la d´efinition du grandissement, y i=GTyo= (-0,25)(2,25m) =-0,563mimage r´eduite(d) L"´equation de conjugaison donne :

117,5m+1si=13,00metsi= +3,62m

La longueur totale du cheval n"est que de3,75m-3,62m= 0,13m.Universit´e de Gen`eve 24 -16 C. Leluc

Lentille simple convergenteEn ce qui concerne la nature de l"image, on distingue 3 r

´egions pour la position de l"image.-(a)l"homme est entre∞et 2fSon image r´eelle et invers´ee est situ´ee entre

fet2f(s"il´etait`a∞, son image serait au foyer). Pendant que l"homme s"approche de la lentille, son image s"

´eloigne lentement

du point focal et devient de plus en plus grande. On a ainsi une image plus petite que l"objet. Cette situation correspond au fonc- tionnement de l"oeil ou d"un appareil photo.

L"image sur la r

´etine est r´eduite pour que

l"image de tout un panorama tienne sur ce petit ´ecran sensible.-l"homme est en2fSon image r´eelle et renvers´ee est aussi en

2f. Sa taille est´egale`a l"objet; cette situa-

tion est celle d"une phocopieuse.Universit´e de Gen`eve 24 -17 C. Leluc Lentille simple convergente-(b)l"homme est entre2fetfL"image augmente et s"´eloigne de2f`a∞.

Cette situation correspond

`a un projecteur : l"objet est le film plac

´e entre2fetfet son

image est agrandie, renvers

´ee et r´eelle sur

un ´ecran.-(c)l"homme est entre le foyer objet et la len- tilleL"image est virtuelle, droite, agrandie et du m ˆeme cˆot´e que l"objet. Si l"objet est exacte- ment au foyer objet, son image est un im- mense flou. Une discontinuit

´e a lieu quand

l"objet s"approche du foyer objet. En s"appro- chant d"avantage de la lentille, l"image vir- tuelle et droite diminue en grandeur jusqu" `a ce que l"objet soit en contact avec la lentille. Un tel objet est une loupe.Universit´e de Gen`eve 24 -18 C. Leluc Les lentilles divergentesLes lentilles divergentes fonc- tionnent d"une seule fac¸on: elles ne donnent que desimages virtuelles, droites et r

´eduitesquelle que soit la

position d"un objet r

´eel.Lentilles convergentesObjetImagePositionTypePositionOrientationTaille relative∞> so>2fR´eellef < si<2fRenvers´eeR´eduiteso= 2fR´eellesi= 2fRenvers´ee´Egale2f > so> fR´eelle2f < si<∞Renvers´eeAgrandieso=f±∞f > so>0Virtuelle|si|> soDroiteAgrandieLentilles divergentesObjetImagePositionTypePositionOrientationTaille relativePartoutVirtuelle|si|<|f|,so>|si|DroiteR´eduiteUniversit´e de Gen`eve 24 -19 C. Leluc

Lentille divergente : exempleUne allumette de longueur 5,00 cm est plac´ee`a 10 cm d"une lentille diver-

gente mince de distance focalef=-30cm. D´eterminez la position et la taille de l"image et d ´ecrivez-la. Tracer un sch´ema appropri´e des rayons.

SOLUTION : La relation de conjugaison donne :

La distance de l"image est n

´egative, ce qui signifie qu"elle est`a gauche de la lentille : doncvirtuelle.

Le grandissement est donn

´e par :

G

T=-siso=--0,075m0,10m= +0,75

y i=GTyo= (0,75)(0,05m) = 0,038mUniversit´e de Gen`eve 24 -20 C. Leluc Appareil photographiqueUn appareil photographique com- porte un objectif (lentille simple ou compos

´ee) suivi d"un diaphragme

r

´eglable, un obturateur qui permet de

laisser passer la lumi `ere pendant un temps d"exposition r

´eglable et un film

sur lequel l"image se forme.

Quand l"appareil est r

´egl´e`a l"infini, la distance de l"image prend sa plus petite valeur, ´egale`a la distance focalefde l"objectif. A toute autre distance de l"objet, la distance de l"image est plus grande. Pour que l"image se forme alors exactement sur le film, l"objectif doit ˆetre d´eplac´e l´eg`erement vers l"avant d"une quantit ´eδ=si-f. L"´equation de conjugaison des lentilles nous donne : Sif=52mm, pour r´ealiser la mise au point d"un objet`a 10 m, il faut d´eplacer l"objectif deδ≂0,27mm. Pour un objet`a 5m, il faudra le d´eplacer de 0,54mm etc...Universit´e de Gen`eve 24 -21 C. Leluc L"oeil HumainL"oeil est un globe presque sph´erique d"environ 25mm. •La corn´ee(membrane flexible et r´esistante) est le premier´el´ement de l"oeil et le plus convergent (n≂1,376).La plus grande d´eviation subie par un faisceau incident a lieu `a l"interface air-corn´ee. •Le cristallin, d"indicen= 1,4, pouvant se d´eformer sous l"effet de certains muscles, constitue une lentille biconvexe `a distance focale variable permettant d"accommoder la vision des objets `a distance variable (25 cm→ ∞). La raison pour laquelle vous ne pouvez pas voir tr `es bien dans l"eau (neau≂

1,333) est que l"indice de l"eau est tr`es proche de celui de la corn´ee; la

r ´efraction habituelle ne peut pas se faire, et ne peut pasˆetre compens´ee par le reste de l"oeil.

La corn

´eeetle cristallinpeuventˆetre assimil´es a un syst`eme optique complexe de distance focale ≂15,6mm derri`ere la face externe de la corn´ee et qui permet d"avoir des images sur un d

´etecteur photo-

sensible, la r

´etine situ´ee`a environ 24,3 mm derri`ere

la corn

´ee. Ce syst`eme compos´e a un centre op-

tique `a 17,1 mm devant la r´etine, presque sur la face post ´erieur du cristallin.Universit´e de Gen`eve 24 -22 C. Leluc

L"oeil Humain - ExempleL"angle apparent de la Lune (l"angle que forment les rayons visuels aboutissant

aux extr ´emit´es d"un diam`etre lunaire) est d"environ 0,009 rad, lorsqu"on la voit a partir de la Terre. Quel est le diam`etre de son image form´ee sur la r´etine de l"oeil?

SOLUTION : Il r

´esulte de la figure et de la

g ´eom´etrie que la taille de l"image est simplement rθ, o`urest la distance entre le centre optique et la r

´etine. Alors

|yi|=siθ= (17,1mm)(0,009rad) = 0,15mm

On a mis la valeur absolue car l"image est ren-

vers

´ee, doncyiest n´egative par convention. Ce

diam `etre est plus petit qu"un point imprim´e de cette page!!.Universit´e de Gen`eve 24 -23 C. Leluc

L"oeil Humain : accommodationLa distance du centre optique`a la r´etine´etant fixe, le seul moyen de voir

clairement des objets situ ´es`a des distances diff´erentes est de modifier la distance focale. Dans son ´etat ordinaire, le cristallin a une configuration assez plate, avec un grand rayon de courbure; il a alors une grande distance focale.

La lumi

`ere provenant d"un objet`a l"infini est focalis´ee sur la r´etine. Tous les yeux ne font pas cela correctement et lepunctum remotum, PR(distance maximale de vision distincte sans accommodation) est parfois `a une distance finie, m

ˆeme parfois inf´erieure`a 5m.

Si l"objet s"approche, les muscles se contractent, le cristallin gonfle et sa dis- tance focale diminue de fac¸on que l"image se forme toujours sur sa r

´etine.Le

point le plus proche qui peut

ˆetre vu clairement avec le maximum d"accommo-

dation est appel ´epunctum proximum, PP. Cette distance´evolue beaucoup avec l"age : elle est de 10cm pour un enfant de 10 ans et de 100cm pour une personne de 60 ans (c"est la presbytie).Pour un oeil normal :

Punctum remotum :∞

Punctum proximum : 25 cmUniversit´e de Gen`eve 24 -24 C. Leluc

Grossissement angulaire; les loupesLa taille de l"image d"un objet produite sur la r´etine d´epend de l"angleαde l"ob-

jet sous-tend. En rapprochant l"objet de l"oeil, vous pouvez augmenter l"angle, mais si l"objet est plus pr `es de l"oeil que le PP, l"image n"est plus nette. Pour avoir une vision nette, il faut mettre une lentille convergente, qui sert de loupe,

entre le foyer objet et la lentille.On d´efinit legrossissement angulaire,GA, comme le rapport de la grandeur

de l"image sur la r ´etine lorsque l"objet est observ´e`a travers la loupe`a la gran- deur de l"image sur la r ´etine si l"objet est plac´e au PP.La grandeur de l"image sur la r ´etine´etant proportionnelle`a l"angle sous lequel on voit l"objet,GAest :GA=αaαu=yiLd nyo=-sidnsoL car on a des angles paraxiaux,tanα≂α. Dans l"utilisation la plus fr

´equente, l"objet est plac´e au

foyer de la lentille, alors-si≂L=∞etso=f,GA≂dnf(typiquementGA≂2ou3)

L"image peut

ˆetre vue sans besoin d"accommoder.Universit´e de Gen`eve 24 -25 C. Leluc

Combinaison de lentillesSoit 2 lentilles minces convergentesL1etL2s´epar´ees par une distanced.

•CAS 1 :d < f1etd < f2.Supposons que la lentilleL2est supprim´ee et d´eterminons l"imageP?form´ee

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