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Cours en ligne Niveau 4AS Cône de révolution 2/2 Page 1/6 Par Horma Ould Hamoud
République Islamique de Mauritanie
Ministère de l"Enseignement Secondaire
et de la Formation Technique et ProfessionnelleCours en ligne
Chapitre Cône de révolution
Leçon 2/2 Patron et section d"un cône
Niveau 4AS
Savoirs faire 1) Reconnaitre et calculer l"angle au centre du secteur circulaire d"un cône de révolution.2) Construire et reconnaitre un patron d"un cône de révolution.
3) Calculer les mesures d"un cône à partir des données de son patron.
4) Identifier les deux parties, tronc et réduction, d"un cône de
révolution sectionné par un plan parallèle à sa base.5) Appliquer les effets d"une réduction sur les longueurs, les surfaces et
le volume d"un cône.Plan du cours 1) Activités d"introduction
2) Patron
3) Section d"un cône de révolution
4) QCM
5) Exercices d"application
Auteur Horma Hamoud
1) Activités d"introduction
Activité 1
La génératrice, la hauteur et le rayon de disque de base d"un cône de révolution sont notés g, h et r successivement. Compléter le tableau suivant : g h r a) 5 4 b) 9 3 c) 5 11Activité 2
Voici des tableaux de proportionnalité. Compléter chaque tableau par le quatrième proportionnelle.Longueur Angle Longueur Angle
Cercle complet 20p 360° Cercle complet 12p 360°Arc de cercle 15p Arc de cercle 120°
Longueur Angle Longueur Angle
Cercle complet 360° Cercle complet 25p 360°Arc de cercle 9p 90° Arc de cercle 72°
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2) Patron d"un cône
Construction
Le patron d"un cône de révolution est composé d"un disque de rayon r (sa base) et d"un secteur circulaire de rayon g (obtenu en déroulant sa surface latérale dans un plan) tels que : · Le disque de rayon r est la base du cône. · Le rayon du secteur circulaire est égal à la génératrice g du cône. · La longueur de la circonférence du secteur circulaire est égale au périmètre du disque de base: sL 2 r= p. · L"angle du secteur circulaire (en degré): rA 360g= ´ °.Remarques
1) Dans la représentation du patron, le disque de base et le secteur circulaire sont
tangents (en n"importe quel point du secteur circulaire).2) Si le cône est de hauteur h et de rayon de base r, alors sa génératrice est
2 2g r h= +. Donc on a
2 2 r rA 360 A 360gr h= ´ ° Û = ´ °+.3) La génératrice g est appelée aussi rayon du grand cercle.
4) D"après la relation entre g, r et
ˆA: rˆA 360g= ´ ° , on a aussi :
rg 360ˆA= ´ ° , ˆAr g360= ´°, et la proportionnalité : ˆr A g 360=°. Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et ProfessionnelleCours en ligne Niveau 4AS Cône de révolution 2/2 Page 3/6 Par Horma Ould Hamoud
Exemple
Construire le patron d"un cône de révolution de hauteur4 2cm, et dont le rayon de
disque de base mesure 2 cm.Solution
Pour construire le patron d"un cône de révolution on doit avoir les mesures de : - L"angleˆA du secteur circulaire.
- La génératrice g (rayon du cercle de ce secteur) - Le rayon r du disque de base On a h 4 2cm= et r 2cm=22 2 2g r h 2 4 2 4 32 36 6= + = + = + = =
Remarques
Il faut distinguer entre les deux angles suivants qui sont totalement différents :1) L"angle (ou le demi-angle) au sommet du cône
: l"angle ASOa = du triangle rectangle ASO, (figure ci -conte). Cet angle ne présente pas un élément important du cône. On peut utiliser les formules trigonométriques dans le triangle rectangleASO pour déterminer cet angle :
SOcosSAa = et OAsinSAa =.
2) L"angle au centre du patron :
l"angle b au sommet du secteur circulaire formé par le patron, (figure ci -conte). Une mesure de cet angle en dégré est calculée par la formule r360gb = ´ °. r 2 720ˆA 360 360 120g 6 6 Ministère de l'Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et ProfessionnelleCours en ligne Niveau 4AS Cône de révolution 2/2 Page 4/6 Par Horma Ould Hamoud
3) Section d"un cône de révolution par un plan parallèle à sa base
Réduction d"un cône
Lors qu"on sectionne un cône de révolution par un plan parallèle à sa base : - La section est un cercle réduction de sa base.- Le cône de révolution est partagé en deux parties : cône réduction et tronc de cône
Le rapport de réduction
Le rapport de réduction est égal au rapport
d'une longueur de la figure réduite par la longueur correspondante de la figure initiale.Par exemple, dans la figure ci contre, le
rapport de réduction est :SO' SA' O'A' r'kSO SA OA r= = = =.
Propriétés
Dans une réduction de rapport
k,(réel strictement positif) :· Les longueurs sont multipliées par
k,· Les aires sont multipliées par
2k,· Les volumes sont multipliés par
3k.Exemple
Dans la figure ci-contre on considère le cône de révolution C de sommet S et de hauteur SO = 8 cm. Son disque de base a pour centre O et rayon r = 3 cm.On appelle K le milieu du segment [SO].
On appelle C' le cône réduit de sommet S et de hauteur SK = 4cm, formé par la section d'un plan parallèle à la base passant par K.1) Calculer le rapport de réduction pour passer de C à C'.
2.a) Calculer la génératrice g du cône C.
b) Calculer l"aire A du disque de base du cône C. c) Calculer le volume du cône C.3) Déduire de ce qui précède :
a) La génératrice g' du cône C' réduction de C. b) L"aire A' du disque de base du cône C'. c) Le volume du cône C'.4) En déduire le volume du tronc de cone C de hauteur [OK].
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