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Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 3 On note G le barycentre de ( A , 1 ) ( B , 4 ) ( C , – 3 ) et H le barycentre

on appelle barycentre du système de points pondérés nk k k A ≤≤ α 1 Or le point G est le centre de gravité du triangle ABC, donc l'isobarycentre des points A, B et C, donc le triangle MAB soit rectangle en M) est le cercle de diamètre ][

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Montrer que les triangles abc et a b c ont même isobarycentre si et seulement triangle n'est pas rectangle) est barycentre de (a, tan â), (b, tan b) et (c, tan c) o`

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22 déc 2007 · le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ) On dit que le point c) Et si on l'applique à un triangle rectangle ?

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B' est l'isobarycentre de A et C, on peut donc dire que B' est le barycentre de 3° ) Le triangle AB'D est un triangle rectangle en B', on peut donc utiliser le

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On se donne dans le plan un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 2a et AC = a où a est une longueur donnée 1 Déterminer et construire l'ensemble E des

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Considérons la hauteur [AA'] Le point A' est le barycentre de (B, A'C), (C, A'B), comme on l'a vu dans l'exercice 2 - question 1 Dans le triangle rectangle ABA',

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Barycentre

Table des matières

1 Rappels sue les vecteurs

1.1 Définition

1.2 Opérations sur les vecteurs

1.2.1 Somme de deux vecteurs

1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire

1.3 Vecteurs et configuration

1.3.1 Le milieu d"un segment

1.3.2 La médiane d"un triangle

1.4 Colinéarité de deux vecteurs

1.5 Géométrie analytique

2 Barycentre de deux points

2.1 Définition

2.2 Propriétés

2.3 Réduction

3 Barycentre de trois points

3.1 Définition

3.2 Associativité

3.3 Réduction

4 Barycentre de n points

4.1 Définition

4.2 Associativité

4.3 Réduction

5 Centre d"inertie d"une plaque homogène

5.1 Principes utilisés par les physiciens

5.2 Application

5.2.1 Exercice 1

5.2.2 Exercice 2

19 PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

21 RAPPELS SUE LES VECTEURS1Rappelssuelesvecteurs

1.1Définition

Définition 1 :Un vecteur~uou!ABest défini par :

êune direction (la droite(AB)).

êun sens (deAversB)

êUne longueur : la norme du vecteurk~ukouAB!

AB=!CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme.

1.2Opérationssurlesvecteurs

1.2.1Sommededeuxvecteurs

La somme : la relation de chasles :

AC=!AB+!BC

Cette relation permet de décompo-

ser un vecteur.

On a l"inégalité triangulaire :

k ~u+~vk6k~uk+k~vkConstruction de la somme de deux vecteurs de même origine. On effectue un parallélogramme, afin de reporter le deuxième vecteur permettant d"appli- quer la relation de Chasles.Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :

êEst commutative :~u+~v=~v+~u

êEst associative :(~u+~v) +~w=~u+ (~v+~w) =~u+~v+~w êPossède un élélment neutre~0 :~u+~0=~u êtout vecteur possède un opposé~u:!AB=!BA1.2.2Multiplicationd"unvecteurparunscalaire Lorsqu"on multiplie un vecteur par un réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék~uest tel que : êSa longueur est multiplié parjkjPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

1.3 VECTEURS ET CONFIGURATION3êSik>0 son sens est inchangé et sik<0 son sens est inversé.Propriété 2 :La multiplication par un scalaire est distributive par rapport

à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.

êk(~u+~v) =k~u+k~v

1.3.1Lemilieud"unsegment

SiIest le milieu d"un segment[AB]

alors : AI=12 !AB

AI=!IB

!IA+!IB=!0Théorème 1 :SoitABCun triangle. SiIetJsont les milieux respectifs de [AB]et[AC]alors :!IJ=12 !BC1.3.2Lamédianed"untriangle Dans un triangleABC,(AA0)la médiane issue deA, vérifie :

AA0=12

(!AB+!AC)PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

41 RAPPELS SUE LES VECTEURS1.4Colinéaritédedeuxvecteurs

Définition 2 :On dit que deux vecteurs~uet~vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que : v=k~uPropriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"aligne- ment. êLes droites(AB)et(CD)sont parallèles si et seulement si les vecteurs!AB et!CDsont colinéaires. êLes pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs!ABet!AC sont colinéaires.Application :SoitABCun triangle,Eest tel que!AE=13 !BC,Iest tel que !CI=23 !CBetFest tel que!AF=13 !AC. Démontrer queI,EetFsont alignés

Faisons d"abord une figure :Exprimons

!EIet!EFen fonction de!AB.

Nous savons que!CI=23

!CBdonc!BI=13 !BC. On en déduit que!AE=!BI donc queAEIBest un parallélogramme. On a alors : !EI=!AB

De plus :

!EF=!EA+!AF 13 !CB+13 !AC 13 (!AC+!CB) 13 !ABPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

1.5 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE5On en déduit alors :

!EF=13 !EI. Les vecteurs!EFet!EFsont colinéaires et donc les pointsE,FetIsont alignés.

1.5Géométrieanalytique

Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère ortho- normal, les formules suivantes sont valable dans tout repère. êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du vecteur!AB vérifient :!AB=xBxA y ByA êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du milieuIdu segment[AB]vérifient : I=0 B B@x B+xA2 y B+yA2 1 C CA êOn appelle déterminant de deux vecteurs~u(x;y)et~v(x0;y0), le nombre : det(~u,~v) =x x0 y y 0 =xy0x0y êDeux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est

égale à 0

uet~vcolinéaires,det(~u,~v) =0 êDans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur~uet la distance entre les pointsA(xA;yA)etB(xB;yB)verifient : jj ~ujj=qx 2+y2 AB=q(xBxA)2+ (yByA)2Application :ABCDest un parallèlogramme.M,N,Qsont tels que : DM=45 !DA,!AN=34 !AB,!CQ=23 !CD La parallèle à(MQ)menée parNcoupeBCenP. Déterminer le coefficientk de colinéarité tel que!BP=k!AD. Faisons une figure, en prenant comme repère(A;!AB,!AD):PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

62 BARYCENTRE DE DEUX POINTSD"après l"énoncé les coordonnées deM,NetQsont :

M 0;15 ,N34 ;0 ,Q13 ;1 CommePest sur(BC), son abscisse est 1. De plus commekest tel que :!BP= k!AD, son ordonné vautk. Les coordonnées dePsont :

P(1;k)

Comme(NP)//(MQ), le déterminant de!MQet!NPest nul, on a : det(!MQ,!NP) =013 0 134 115
k0 =0 13 14 45
k =0 k3 15 =0 k3 =15 k=35

2Barycentrededeuxpoints

2.1Définition

Remarque :Le mot barycentre renvoie à la notion de centre d"inertie ou de gravité en physique.PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

2.2 PROPRIÉTÉS7Définition 3 :On appelle barycentre de deux pointsAetBassociés aux

coefficients respectifsaetb, le pointGtel que : a !GA+b!GB=~0 aveca+b6=0

On note alorsGbarycentre des points pondérés(A,a)et(B,b)Démonstration :montrons qu"un tel point existe et est unique. Il s"agit

alors de pouvoir placer ce point. Exprimons le pointGa l"aide du vecteur!AB avec la relation de Chasles : a !GA+b!GB=~0 a !GA+b(!GA+!AB) =~0 a !GA+b!GA+b!AB=~0 (a+b)!GA=b!AB (a+b)!AG=b!AB

Commea+b6=0, on a :

AG=ba+b!AB

On peut alors placer le pointG.

2.2Propriétés

Propriété 5 :SiGest le barycentre des points pondérés(A,a)et(B,b), alors :!AG=ba+b!ABApplication :AetBétant donnés, placer les barycentresG1etG2des points pondédérés respectifs(A,3),(B,1)et(A,1),(B,3).

CommeG1est le barycentre de(A,2),(B,1), on a :

AG=12+1!AB=13

!AB

CommeG2est le barycentre de(A,1),(B,3), on a :

AG=31+3!AB=32

!AB On peut alors placer les deux pointG1etG2:PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES

82 BARYCENTRE DE DEUX POINTSRemarque :

êLorsquea=b, on dit queGest l"isobarycentre des pointsAetB.Gest alors le milieu du segment[AB].

êLe barycentreGest situé sur la droite(AB)Propriété 6 :Homogénéité du barycentre. SiGest le barycentre de(A,a)

et(B,b)alorsGest aussi le barycentre de(A,ka)et(B,kb)lorsquekest un réel non nul.Cela découle de la définition : a !GA+b!GB=~0,ka!GA+kb!GB=~0 aveck6=0

Application :Le barycentre de

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