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Fiche de révisions pour le brevet des collègesPGCD

Notions de PGCD

Exercice 1:

a) Déterminer tous les diviseurs de 84 et tous ceux de 56.

84 : 1 - 84 - 2 - 42 - 3 - 28 - 4 - 21 - 6 - 14 - 7 - 12

56 : 1 - 56 - 2 - 28 - 4 - 14 - 7 - 8

b) En déduire le PGCD de 84 et 56. le plus grand diviseur commun à 84 et 56 est 28 c) Exprimer 56

84sous la forme d'une fraction irréductible.

56

84 = 28×2

28×3 = 2

3Exercice 2:

a) Les nombres 105 et 126 sont-ils premiers entre eux ? (justifier) non, car ils sont tous les deux divisibles par 3.

105 : 1 + 0 + 5 = 6 6 est dans la table de 3

126 : 1 + 2 + 6 = 9 9 est dans la table de 3

b) Déterminer tous les diviseurs de 105 et tous ceux de 126.

105 : 1 - 105 - 3 - 35 - 5 - 21 - 7 - 15

126 : 1 - 126 - 2 - 63 - 3 - 42 - 6 - 21 - 7 - 18 - 9 - 14

c) En déduire le PGCD de 105 et 126. le plus grand diviseur commun à 105 et 126 est 21 d) Exprimer 126

105 sous la forme d'une fraction irréductible.

126

105 = 21×6

21×5 = 6

5

Algorithme d'Euclide

Exercice 3:

Compléter l'algorithme d'Euclide ci-dessous pour trouver le PGCD des nombres 2016 et 1696 :

Nombre aNombre bReste de a

÷ bjustifications

201616963202016 = 1696

× 1 + 320

1696320961696 = 320

× 5 + 96

3209632320 = 96

× 3 + 32

9632096 = 32

× 3 + 0

Exercice 4:

a) Déterminer le PGCD des nombres 3162 et 2397.

Nombre aNombre bReste de

a

÷ bjustifications

316223977653162 = 2397

× 1 + 765

23977651022397 = 765 × 3 + 102

76510251765 = 102 × 7 + 51

102510102 = 51 × 2 + 0b) Déterminer le PGCD des nombres 4256 et 812.

Nombre aNombre bReste de

a

÷ bjustifications

4256812196 4256 = 812 × 5 + 196

81219628 812 = 196 × 4 + 28

196280196 = 28 × 7 + 0

c) Les nombres 394 et 1127 sont-ils premiers entre eux ?

Nombre aNombre bReste de

a

÷ bjustifications

112723973391127 = 394 × 2 + 339

39433955394 = 339 × 1 + 55

339559339 = 55 × 6 + 9

559155 = 9 × 6 + 1

9109 = 1

×9 + 0

PGCD(1127,394) = 1 donc 1127 et 394 sont premiers entre eux. collège des flandres : http://www5.ac-lille.fr/~clgflandres/maths/mathsCOURS.htmlM. Haguet

Résoudre des problèmes (annales du brevet)

Exercice 5 :

Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats.

Les colis sont constitués ainsi :

• Le nombre de pralines est le même dans chaque colis. • Le nombre de chocolats est le même dans chaque colis. • Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés. a) Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ? b) Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ? a) On pose : a = " le nombre maximum de colis que l'on peut réaliser " b = " le nombre de pralines par colis " c = " le nombre de chocolats par colis " on a alors : a×b = 186 a×c = 155 D'après les 2 égalités ci-dessus, a est un diviseur commun de 186 et 155 de plus a doit être le plus grand possible, c'est donc le PGCD des 2 nombres.

Nombre aNombre bReste de

a

÷ bjustifications

18615531186 = 155 × 1 + 31

155310155 = 31 × 5 + 0

PGCD(1127,394) = 31

Conclusion: Le chocolatier pourra au maximum faire 31 colis.b) Dans chaque colis, il y aura :

6 pralines et 5 chocolats

186÷31 = 6 155÷31 = 5

Exercice 6:

Une pièce rectangulaire de 5,40 m de long et de 3 m de large est recouverte, sans découpe, par des dalles de moquette carrées, toutes identiques.

a) Quelle est la mesure du côté de chacune de ces dalles, sachant que l'on veut le moins de dalles possibles ?

b) Calculer alors le nombre de dalles utilisées ? a) On pose : a = " la longueur maximale du côté d'une dalle " b = " le nombre de dalles dans la longueur " c = " le nombre de dalles dans la largeur " on a alors : a×b = 540 a

×c = 300

D'après les 2 égalités ci-dessus, a est un diviseur commun de 540 et 300 de plus a doit être le plus grand possible, c'est donc le PGCD des 2 nombres.

Nombre aNombre bReste de

a

÷ bjustifications

540300240540 = 300

× 1 + 240

30024060300 = 240 × 1 + 60

240600240 = 60 × 4 + 0

PGCD(540,300) = 60

Conclusion: Une dalle aura un côté de 60 cm.b) Dans la pièce il y aura 9 dalles dans la longueur et 5 dalles dans la largeur

540÷60 = 9 300÷60 = 5

Il y aura donc en tout 45 dalles.

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