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Mémo DNB

Première partie : calcul, fonctions

Année 2006-07

CALCUL SUR LES FRACTIONS

On obtient une fraction égale en multipliant (ou en divi- sant) numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : pour tous nombresa,b,k(avecbetknon nuls)² abAEa£kb£k a bAEa¥kb¥k

Fractions égales

Exemple : simplification de fractions

Pour tous nombres entiersaetb(avecb6AE0) on a¡a bAEa¡bAE¡abet¡a¡bAEab

Position du signe "¡"

Pour tous nombres entiersa,b,c(c6AE0), on a :a

cÅbcAEaÅbcetac¡bcAEa¡bc

Addition, soustraction

Exemples : les deux fractions ont lemême dénominateur Exemples : les deux fractions n'ont pas lemême dénominateur On commence alors par réduire les deux fractions au même dénominateur : 5 Pour tous nombres entiersa,b,cetd(avecb,d6AE0), on a :a b£cdAEa£cb£d

Multiplication

Exemples :

²Simplifiez avantd'effectuer les produits :15

Soienta,b,cetdquatre nombres entiers (avecb,c,d6AE0) :

²L'inversede la fractionc

destdc ²Diviser par une fraction revient à multiplier par l'inversede cette fraction :a b¥cdAEab£dc

Inverse, division

Exemples :

CALCUL SUR LES PUISSANCES

Soitnun entier naturel, soitaun nombre non nul quelconque : alors on dénit a nAEa£a£a£¢¢¢£a| {z} n facteurseta¡nAE1anAE1a£a£a£¢¢¢£a|{z} n facteurs(On posea0AE1)

Définitions

Exemples :²43AE4£4£4AE64²3¡2AE132AE19²210AE2£2£¢¢¢£2|{z}

10 facteursAE1024

Sinest un nombre entier positif, 10nAE100...0|

{z} n zéroset 10

¡nAE0,0...0|{z}

n zéros1

Casparticulier : les puissances de 10

Exemples :²105AE10£10£10£10£10AE100000²10¡4AE1104AE110000AE0,0001 Siaest un nombre non nul quelconque,netpdeux nombres entiers (positifs ou négatifs) :

Multiplication :an£apAEanÅpInverse :1

anAEa¡n

Division :an

apAEan¡pExponientiation :(an)pAEan£p

Opérations sur les puissances

Exemple :

¡74¢2£7¡2

Siaetbsont des nombres non nul quelconque,nun nombre entier (positif ou négatif) : (a£b)nAEan£bnet³a b´ nAEanbn

Propriétés

AE(¡3)323AE¡278

Tout nombre décimal peut s'écrire de manière unique sous la formea£10n, où entier relatif.

Ecriture scientifique

Exemples :²752000AE7,52£105²0,0051AE5,1£10¡3²21£103AE2,1£104

Unexercice-type :

Donner l'écriture décimale et scientique du nombreAAE70£103£2£10¡52,8£10¡4

AAE70£103£2£10¡5

RACINES CARRÉES

Soitaun nombrepositif; il existe un unique nombrepositifdont le carré est égal àa. Ce nombre est appeléracine carrée dea, et se notep a.

Définition

Exemples :²p9AE3²p25AE5²p100AE10

Les nombres dont la racine carrée est un nombre entier sont appeléscarrés par- faits; en voici la liste des quinze premiers :

²Pour tout nombreapositif,¡pa¢2AEa

²Pour tout nombrea,p

a2AEasiaest positif,pa2AE¡asiaest négatif

²Pour tous nombresaetbpositifs,p

a£bAEpa£pb

²Pour tous nombresaetbpositifs (b6AE0),q

a bAEp apb

Propriétés

Exemples :

16AEp

9p16AE34²p

48p3AEq

3AEp16AE4

100AEp

16p100AE410AE0,4

²5p

²p

BAttention!En général,p

aÅb6AEpaÅpb, comme le montre l'exemple suivant :p

16Åp9AE4Å3AE7 maisp16Å9¡p25AE5

Utiliser les identités remarquables :¡3Å2p5¢2AE(3)2Å2£3£2p5Å¡2p5¢2AE9Å12p5Å20AE29Å12p5

Eliminer leradical du dénominateur d'uneécriture fractionnaire :

²10p5AE10£p

5p5£p5AE10p

5AE2p5²1p2¡1AE1£(p

2Å1)

(p2¡1)(p2Å1)AEp

2Å1¡p2¢2¡12AEp

2Å1

Simplifier uneexpression contenant des radicaux :

Ecrire sous la formeap3 l'expressionp75¡6p27Å7p300p

75¡6p27Å7p300 =p25£3¡6p9£3Å7p100£3

= 5p

3¡6£3p3Å7£10p3

= 5p

3¡18p3Å70p3

= (5¡18Å70)p 3 = 57p 3

ARITHMÉTIQUE

deb, ou quebestdivisiblepara, ou encore quebest unmultipledeas'il existe un nombre entierktel quebAEk£a

Diviseur, multiple

Exemples :²15 est un multiple de 3 (car 15AE5£3)²42 est divisible par 7 ²Un nombre estdivisible par 2s'il se termine par 2, 4, 6, 8 ou 0. ²Un nombre estdivisible par 3si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. ²Un nombre estdivisible par 4si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4. ²Un nombre estdivisible par 5s'il se termine par 0 ou 5. ²Un nombre estdivisible par 9si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Critères de divisibilité

Exemples :²180 est divisible par 2, 3, 4, 5 et 9²105 est divisible par 3 et 5 Siaetbsont deux nombres entiers positifs, on note PGCD(a;b) leplus grand diviseur qui soit commun àaet àb.

PlusGrand Commun Diviseur (PGCD)

Déterminer le PGCD dedeux nombres en écrivant la liste de leursdiviseurs :

Les diviseurs de 40 sont 1, 2, 4, 5, 8

, 10, 20 et 40. Ceux de 72 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9,

12, 18, 24, 36 et 72. On en déduit que PGCD(72;40)AE8

Déterminer le PGCD dedeux nombres par soustractions successives :

On cherche PGCD(72;40).

72¡40AE32 40¡32AE8 32¡8AE24 24¡8AE16 16¡8AE8 8¡8AE0

On a donc PGCD(72;40)AE8

Déterminer le PGCD par l'algorithme d'Euclide

DividendeDiviseurQuotientReste

7240132

403218

32840

On cherche PGCD(72;40).

Le PGCD est le dernier

reste non nul, c'est-à-dire

PGCD(72;40)AE8.

Deux nombresaetbsont ditspremiers entre euxsi PGCD(a;b)AE1.

Siaetbsont premiers entre eux, alors la fractiona

bestirréductible. Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles Simplifier unefraction pour la rendre irréductible Si on simplie une fractionabpar le PGCD deaet deb, alors on obtient une fraction irréductible. Par exemple : PGCD(72;40)AE8 nous permet de rendre irréductible40

72AE40¥872¥8AE59

CALCUL LITTÉRAL

1. Réduire une expression littérale:

3xAE 3

3x¡23xAE13x²(3x)2AE9x2

2. Enlever desparenthèses précédées d'unsigneÅou¡:

thèses en conservant les signesintérieurs à cette parenthèse.

¡,alorsonpeutsupprimercesparen-

thèses en changeant les signesintérieurs à cette parenthèse.

Règled'omission desparenthèses

Exemples :²2

²2

3. Développer une expression littérale :

Développerun produit signie le transformer en somme algébrique.

Distributivité simple :

k(aÅb)AEkaÅkb k(a¡b)AEka¡kbDistributivité double:(aÅb)(cÅd)AEacÅadÅbcÅbd

Identités remarquables :

Règles de développement

Exemples :

2(xÅ5)AE2£xÅ2£5AE2xÅ10

4. Factoriser une expression littérale :

Factoriserune somme algébrique signie la transformer en produit.

Facteur commun :

kaÅkbAEk(aÅb)ka¡kbAEk(a¡b)

Identités remarquables :

Règles de factorisation

Exemples :

EQUATIONS&INÉQUATIONS

Uneéquationest une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu,re- présenté par une lettre, appeléeinconnuede l'équation. Unesolutionde cette équation est unevaleur de l'inconnue pourlaquellel'éga- lité est vraie.Résoudreune équation, c'est en trouvertoutesles solutions.

Définitions

Exemple :² ¡4 est une solution de l'équation¡3x¡5AE7 car, lorsque je remplace

l'inconnuexpar¡4 dans l'équation, l'égalité est vériée : (¡3)(¡4)¡5AE12¡5AE7

²mais 2 n'est pas une solution de l'équation¡3x¡5AE7 car, lorsque je remplacex par 2, l'égalité n'est pas vériée : (¡3)£2¡5AE¡6¡7AE¡116AE5 Règle n°1: On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation enajou- tant (ouretranchant) un même nombre aux deux membresde l'équation. Règle n°2: On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation enmul- tipliant (ou divisant) les deux membresde l'équationpar un même nombre non nul.

Règles decalcul sur les égalités

Exemple :Résolvons l'équation¡3x¡5AE7 :

1. On utilise d'abord larègle1, en ajoutant 5 aux deux membres de l'équation :

¡3x¡5Å5

AE7Å5, c'est-à-dire¡3xAE12.

2. Onutilise ensuite larègle2, endivisant par¡3chaque membre del'équation :

¡3x

¡3AE12¡3, c'est à direxAE¡4.

3. On conclut : l'équation¡3x¡5AE7 admet pourunique solution le nombre¡4.

Uneéquation-produitest une équation qui s'écrit sous la forme (axÅb)(cxÅ d)AE0 (il peut y avoir plus de deux facteurs)

Définition

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l'un des facteurs est nul. Autrement dit, dire que "ABAE0" équivaut à dire que "AAE0 ouBAE0".

Règle duproduit nul

Exemple :résolvons l'équation (3x¡7)(2xÅ5)AE0; Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, au moins l'un des facteurs est nul.

3x¡7AE0 ou 2xÅ5AE0

3xAE7 ou 2xAE¡5

xAE7

3ouxAE¡52Ainsi, l'équation (3x¡7)(2xÅ5)AE0 admet deux solutions, qui sont7

3et¡52

Uneinéquationest une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appeléeinconnuede l'inéquation. égalité est vraie.Résoudreune inéquation, c'est en trouvertoutesles solutions.

Définitions

Exemples :¡3x¡5È7 est une inéquation, dont lepremier membreest¡3x¡5, et dont lesecond membreest 7. ² ¡6 est une solution de l'inéquation¡3x¡5È7 car, lorsque je remplace l'inconnue

xpar¡6 dans l'inéquation, l'inégalité est vériée : (¡3)(¡6)¡5AE18¡5AE13È7

² ¡10 est une autre solution de cette inéquation car, lorsque jeremplace l'inconnue

xpar¡10 dans l'inéquation, l'inégalité est vériée : (¡3)(¡10)¡5AE30¡5AE25È7

²2 n'est pas une solution de l'inéquation¡3x¡5È7 car, lorsque je remplacexpar

2, l'inégalité n'est pas vériée : (¡3)£2¡5AE¡6¡5AE¡115!!

Règle n°1: On ne change pas l'ensemble des solutions d'une inéquationen ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membresde l'inéqua- tion. tipliant (ou divisant) les deux membresde l'inéquationpar un même nombre strictement positif. tipliant (ou divisant) les deux membresde l'inéquationpar un même nombre strictement négatif, à condition dechanger lesens de l'inégalité.

Règles decalcul sur les inégalités

Exemple :Résolvons l'inéquation¡3x¡5È7

1. Onutilise d'abordlarègle1,en ajoutant5auxdeuxmembresde l'inéquation :

¡3x¡5Å5

È7Å5, qui donne¡3xÈ12.

2. On utilise ensuite larègle 3, en divisant par¡3 chaque membre de l'inéqua-

tion,sans oublier de changer le sens del'inégalité(car¡3est négatif) :

¡3x

¡3Ç12¡3qui donnexÇ¡4.

3. On conclut par une phrase : l'inéquation¡3x¡7È5 admet pour solutions les

nombres strictement inférieurs à¡4.

4. Onpeutreprésenterl'ensemble dessolutions surunaxe,enhachurantlapar-

tie dela droite graduéeconstituée des nombres quine sont pas solutions: OI

¡4O1solutions

BAttention au sens du crochet! Le crochet n'est pas tourné vers les solutions, car ¡4 n'est pas solution de l'inéquation¡3x¡7È5.

FONCTIONS LINÉAIRES

Soitaun nombre quelconque "xe».

Si, àchaque nombrex, on peutassocier son produit para(c'est à direyAEa£x), alorsondénitlafonctionlinéairedecoefficienta,que l'onnoteraf:x7¡!ax Une fonction linéaire de coefcientareprésente une situation deproportion- nalité(dans laquelle le coefcient de proportionnalité est égal àa). Pour calculer l'image d'un nombre, on le multiplie para.

Définition : fonction linéaire

Dans un repère, la représentation graphique d'une fonctionlinéaire de coef- cientaest unedroite passant par l'origine du repère.

Représentation graphique

Représenter graphiquement une fonction linéaire

O111231 2 3 4

12312
1 2 xy Ci-contre est représentée graphiquement la fonc- tion linéairefde coefcient 0,6, que l'on peut noterf:x7!0,6x. Commefest une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère .

De plus, pour trouver un second point de

cette droite, on peut calculer l'image de 3 : f(3)AE0,6£3AE1,8.

Je place

le point de coordonnées (3;1,8) et je trace la droite.

O111231 2 3 4

12312
1 2 3xy

Ci-contre est représentée graphiquement

une fonction linéaire. Pour lire graphi- quement l'image du nombre 4, on repère le point de la droite dont l'abscisseest 4 , puis on lit l'ordonnéede ce point. Ici, on peut lire que l'image de 4 est 3

Pour lire graphiquement le nombre

dont l'image est¡1.5 , on repère le point de la droite dont l'ordonnéeest¡1.5 , puis on lit l'abscissede ce point. Ici, on voit quele nombre dontl'image est¡1,5 est¡2. et son image Dans l'exemple précédent, on considère une fonction linéaire de coefcientain- connu, que l'on notef:x7¡!ax. Or nous avons vu que l'image de 4 par cette fonction est égale à3; cela signie que

4AE0,75.

Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coef- cienta. On dit alors queaestle coefficient directeurde la droite (d) et queyAEaxest uneéquation de la droite(d).

Equation dedroite, coefficient directeur

Interprétation graphique du coefficient directeur:

Soit (d) la droite qui représente graphi-

quement la fonction linéaire de coef- cient¡1,2; lecoefficient directeurde la droite (d) est donc

¡1,2 , et son équa-

tion estyAE¡1,2x.

Graphiquement, voici comment lire le

coefcient directeur :

O111231 2 3 4

1 1 2 3 4x y ??2?? ??2 ????2 ²Prendret% d'un nombre, c'est multiplier ce nombre part100, c'est-à-dire lui appliquer la fonction linéairex7¡!t 100x.
²Augmenter un nombre det%, c'est multiplier ce nombre par?1Åt

100?, c'est-

à-dire lui appliquer la fonction linéairex7¡!?1Åt

100?x.

²Diminuer un nombre det%, c'est multiplier ce nombre par?1¡t

100?, c'est-à-

dire lui appliquer la fonction linéairex7¡!?1¡t

100?x.

Fonctions linéaires et pourcentages

Exemples :

²Diminuerunnombrexde12%c'est effectuerx£?1¡12100?AEx£0,88. Acetteaction, on associe la fonction linéairex7!0,88x.

100?AEx£1,03. Acetteaction,

on associe la fonction linéairex7!1,03x.

FONCTIONS AFFINES

Soientaetbdeux nombres quelconques "xes».

Si, à chaque nombrex, on peut associer le nombreaxÅb, alors on dénitune fonction affine, que l'on noteraf:x7¡!axÅb. Ondit quex7!axest lafontionlinéaire associéeà la fonction afnex7!axÅb Pour calculer l'image d'un nombre, on le multiplie para,puis on ajouteb. Remarque: LorsquebAE0 On obtientf:x7!ax, c'est à dire une fonctionli- néaire.

Définition : fonction affine

Dans un repère, la représentation graphique d'une fonctionafne est une droite: - passant par le point de coordonnées (0;b) - qui est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée

Représentation graphique

Représenter graphiquement une fonction affine

O111231 2 3 4

112345

xy Ci-contre est représentée graphiquement la fonc- tion afnef:x7!0,5xÅ3

Commefest une fonction afne, sa représen-

tation graphique est une droite qui passe par le point de coordonnées (0;3) .

De plus, pour trouver un second point de cette

droite, on calcule - par exemple - l'image de 4 : f(4)AE0,5£4Å3AE5.

Je place

le point de coordonnées (4;5) et je trace la droite.

O111231 2 3

1231234

1 2xy Ci-contre est représentée graphiquement une fonc- tion afne. Pour lire l'image du nombre¡2, on repère le point de la droite dont l'abscisseest¡2 , puis on lit l'ordonnéede ce point.

Ici, on peut lire quel'image de¡2est5.

Pour trouver le nombre dont l'image est¡1,6, on repère le point de la droite dont l'ordonnéeest¡1,6 , puis on lit l'abscissede ce point. Ici, on peut lire que le nombre dont l'image est¡1,6 est 2,4. Soit (d) la droite qui représente la fonction afnef:x7¡!axÅb. On dit alors queaestle coefficient directeurde la droite (d), quebestl'ordon- née à l'origine, et queyAEaxÅbest uneéquation de la droite(d). Equation de droite, coefficient directeur, ordonnée à l'origine Interprétation graphique du coefficient directeur: Soit (d) la droite qui représente graphiquement la fonction afnex7¡!¡0,7xÅ1,5; lecoefficientdi- recteurde la droite (d) est donc

¡0,7 , sonor-

donnée à l'origineest

1,5 et sonéquationest

yAE¡0,7xÅ1,5.

Graphiquement, voici comment lire le coefcient

directeur et l'ordonnée à l'origine :

O1112341 2

1121xy

Soitfune fonction afnex7!axÅb. Les accroissements def(x) sont propor- tionnels aux accroissements dex, et le coefcient de proportionnalité esta.

Proportionnalité desaccroissements

x¡15 f(x)52 ¡3 Å6Exemple :Lorsque la variablexaugmente de 6 unités (Å6), f(x) diminue de 3 unités (¡3). Comme les accroissements def(x) sont proportionnels aux accroissements dex, et lequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Première partie : calcul, fonctions

Année 2006-07

CALCUL SUR LES FRACTIONS

Fractions égales

Exemple : simplification de fractions

Position du signe "¡"

Pour tous nombres entiersa,b,c(c6AE0), on a :a

Addition, soustraction

Multiplication

Exemples :

²Simplifiez avantd'effectuer les produits :15

²L'inversede la fractionc

Inverse, division

Exemples :

CALCUL SUR LES PUISSANCES

Définitions

10 facteursAE1024

Sinest un nombre entier positif, 10nAE100...0|

¡nAE0,0...0|{z}

Casparticulier : les puissances de 10

Multiplication :an£apAEanÅpInverse :1

Division :an

Opérations sur les puissances

Exemple :

¡74¢2£7¡2

Propriétés

AE(¡3)323AE¡278

Ecriture scientifique

Unexercice-type :

AAE70£103£2£10¡5

RACINES CARRÉES

Définition

Exemples :²p9AE3²p25AE5²p100AE10

²Pour tout nombreapositif,¡pa¢2AEa

²Pour tout nombrea,p

²Pour tous nombresaetbpositifs,p

²Pour tous nombresaetbpositifs (b6AE0),q

Propriétés

Exemples :

9p16AE34²p

48p3AEq

3AEp16AE4

100AEp

16p100AE410AE0,4

²5p

BAttention!En général,p

16Åp9AE4Å3AE7 maisp16Å9¡p25AE5

²10p5AE10£p

5p5£p5AE10p

5AE2p5²1p2¡1AE1£(p

2Å1)

2Å1¡p2¢2¡12AEp

2Å1

Simplifier uneexpression contenant des radicaux :

75¡6p27Å7p300 =p25£3¡6p9£3Å7p100£3

3¡6£3p3Å7£10p3

3¡18p3Å70p3

ARITHMÉTIQUE

Diviseur, multiple

Critères de divisibilité

PlusGrand Commun Diviseur (PGCD)

Les diviseurs de 40 sont 1, 2, 4, 5, 8

12, 18, 24, 36 et 72. On en déduit que PGCD(72;40)AE8

On cherche PGCD(72;40).

72¡40AE32 40¡32AE8 32¡8AE24 24¡8AE16 16¡8AE8 8¡8AE0

On a donc PGCD(72;40)AE8

Déterminer le PGCD par l'algorithme d'Euclide

DividendeDiviseurQuotientReste

7240132

403218

On cherche PGCD(72;40).

Le PGCD est le dernier

PGCD(72;40)AE8.

Siaetbsont premiers entre eux, alors la fractiona

72AE40¥872¥8AE59

CALCUL LITTÉRAL

1. Réduire une expression littérale:

3x¡23xAE13x²(3x)2AE9x2