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PARTIEI - NOTIONS DE SURVIE
ûPolynômes du 1erdegré
axÅbAE0()xAE¡bax axÅb¡1¡baÅ1 signe de(¡a)0signe deaûPolynômes du 2nddegréax2ÅbxÅcAE0¢AEb2¡4acPas de racines dansRz
1,2AE¡b§ip¡¢2ax
0AE¡b2ax
P(x)¡1Å1
signe deaxP(x)¡1x
0Å1
signe dea0signe deaxP(x)¡1x
1x2Å1
sig.a0sig.(¡a)0sig.aûIdentités remarquables ( aÅb)2AEa2Å2abÅb2 ( a¡b)2AEa2¡2abÅb2 ( a¡b)(aÅb)AEa2¡b2ûProportionnalité (produit en croix) ab AEcd ()a£dAEc£b ûPour résoudre une équation(sauf 1erdegré) j ep assetout da nsle membr ede gauche j ef actorise j "utilisel et héorèmedu p roduitnul : A£BAE0()AAE0 ouBAE0ûPour résoudre une inéquation mêmes éta pesqu "uneéqu ation j edr esseen p lusu nta bleaude sign esûLecture graphique²µ
0 ²A Ba f(a)Tangente en ade coeff. direct.f0(a)f0(a)AEyB¡yAx
B¡xAûPour établir une inégalité du typeAÇB(ouAÈB...) 1. on c alculela différenceA¡Bet on la met sous la forme d"un produit ou d"un quotient 2. on en fait u ntableau de signes 3. on déduit qu esur u ncer tainint ervalle,A¡BÇ0AE)AÇB ûMes méthodes et formules(à compléter toi-même)Mathieu Ponsmathete.netFORMULAIRETS
PARTIEII - SUITESNatureARITHMÉTIQUEGÉOMÉTRIQUEu nÅ1AEf(un)( up u nÅ1AEunÅr( vp v nÅ1AEqvnu nAEf(n)u nAEu0ÅnrAEu1Å(n¡1)r
AEu2Å(n¡2)r
AE¢¢¢v
nAEv0£qnAEv1£qn¡1
AEv2£qn¡2
AE¢¢¢Somme deupàun(n¡pÅ1)|{z}
nombre de termes£ premierÅdernier2premier£1¡qn¡pÅ11¡qPour démontreru nÅ1¡unAE¢¢¢AErv nÅ1v nAE¢¢¢ AEq v nÅ1AE¢¢¢ AEqvnûLimites de suites lim n!Å1qnAE8 >>>:0 si¡1ÇqÇ0 ou 0ÇqÇ1Å1siqÈ1
1 siqAE1
diverge siq6¡1ûThéorèmes de comparaison(limn!Å1unAEÅ1 v n>unAE)limn!Å1vnAEÅ1( limn!Å1unAE¡1 v n6unAE)limn!Å1vnAE¡1ûThéorème des gendarmes(vn6un6wn limn!Å1vnAElimn!Å1wnAE`AE)limn!Å1unAE`ûThéorème du point fixe8>< :fest continue u nÅ1AEf(un) (un) convergeAE)(un)convergeverslasolutionde f(x)AExûThéorèmes de convergence des suites monotonesT outesu itecr oissantemajorée c onverge;
T outesu itedécr oissantemin oréecon verge.
ûVariations de suites
u nÅ1¡un8 :È0AE)(un) est strictement croissanteÇ0AE)(un) est strictement décroissante
AE0AE)(un) est stationnaire ou constanteBSiuest définie explicitement c"est-à-dire queunAEf(n) alorsua les mêmes variations que la fonctionfqui
la définit surN.ûConstruction graphique des termes de(un)dans le cas d"une définition récurrente :unÅ1AEf(un)O~
|yAEf(x)yAExu0"!"!"
u 1u 2u3Croissante convergenteO~
|yAEf(x)yAExu 0"! u 1u 2u 3u4"Escargot" convergent
1.O npa rtde u0
2.O npr endson image p arf:u1AEf(u0)
3. O nr abatu1sur l"axe des abscisses grâce àyAEx 4. O nrépète c ettep rocédureav ecu1, puisu2... ûRédaction-type du raisonnement par récurrence1.Initialisation: On vérifie que la propriété est vraie au rangn0
2.Héredité: Supposons la propriété vraie au rangn, montrons qu"elle est vraie au rangnÅ1
[Écrire la propriété au rang n]AE)[Écrire la propriété au rang nÅ1]DÉMO
3.Conclusion: La propriété étant vraie au rangn0et étant héréditaire, on en déduit que :
[Écrire la propriété au rang n]ûAlgorithmes à connaître
Exemple à adapter en fonction de la suite étudiée, iciu0AE1 etunÅ1AE2unÅ5.Affecter àUla valeur 1Affecter àNla valeur 0Demander la valeur deKTANT QUE(NÇK)FAIREAffecter àUla valeur 2£UÅ5Affecter àNla valeurNÅ1FINTANT QUEAfficherU¬Calcul du terme de rangKAffecter àUla valeur 1Affecter àNla valeur 0Demander la valeur deMTANT QUE(UÇM)FAIREAffecter àUla valeur 2£UÅ5Affecter àNla valeurNÅ1FINTANT QUEAfficherNAlgorithme de seuil
BPour l"algorithme¬, si on veut faire affichertous les termes, il faut placer l"affichagedans la boucle.Mathieu Ponsmathete.net
FORMULAIRETS
PARTIEIII - FONCTIONS
ûTableaux des dérivées et des primitivesFonctionfDérivéef0x nnx n¡11 x n¡ nx nÅ1px1 2 px lnx1 x e xe xkuku 0u nnu0un¡1uvu
0vÅuv01
u¡u0u 2u vu0v¡uv0v
2puu 02 pu lnuu 0u e uu0eucosu¡u0sinusinuu
0cosuFonctionfPrimitiveFx
n1 nÅ1xnÅ11 x n,n6AE1¡1n¡1£1x
n¡11px2 px 1 xlnxe axÅb1 a eaxÅb1 axÅb1 a ln(axÅb)cos(axÅb)1 a sin(axÅb)sin(axÅb)¡ 1a cos(axÅb)u 0un1 nÅ1unÅ1u 0u n,n6AE1¡1n¡1£1u
n¡1u0ulnuu
0pu2 pu u 0eue uu0cosusinuu
0sinu¡cosuûRédaction-type : CTVI ou th. de la bijection
•festcontinueetstrictement crois- sante (ou décroissante)surI. •fréalise une bijection deIsurJ(ou f(x) prend ses valeurs dansJ). •k2Jdonc l"équationf(x)AEkadmet une seule et unique solution®.x f® kIJ0²ln1AE0²
lneAE1²e0AE1²e
1AEeyAElnxyAEexyAExûLimites du type :BFaire la règle des signes
k6AE0§1AE0§k6AE00
§AE§1 §1£§1AE§1ûForme indéterminée (FI) : 11 00 utiliser les "croissances comparées".ûCroissances comparées :
lim x!0ÅxnlnxAE0 limx!Å1lnxx nAE0 lim x!¡1xnexAE0 limx!Å1e xx nAEÅ1ûPropriétés du logarithme Népérien et de l"exponentielle : lnabAElnaÅlnb e aÅbAEea£eb ln abAElna¡lnb
e a¡bAEeae blnanAEnlna (e a)nAEena ln paAE12 lna e¡aAE1e
aln 1bAE ¡lnb
lne xAEx e lnxAExûInterprétation graphique des limites :
lim x!§1f(x)AE`AE)Cfadmet en§1une asymptote horizontale d"équationyAE`. lim x!af(x)AE§1 AE)Cfadmet une asymptote verticale d"équationxAEa.ûÉtude de position :
étudie le signe def(x)¡g(x).ûÉquation de la tangente ena: yAEf0(a)(x¡a)Åf(a)ûCalcul d"une aire à partir d"une intégrale :abAC fAAEZb af(x)dxV mAE1b¡aZ b af(x)dxabA C fC gAAEZb a(f(x)¡g(x))dxûPropriétés de l"intégrale : Z b a f(x)dxAE¡Z a b f(x)dxZ b a f(x)dxÅZ c b f(x)dxAEZ c a f(x)dx (Chasles)f(x)>0 sur[a;b]AE)Z b a f(x)dx>0(Positivité)Z b a (®fůg)AE®Z b a fůZ b a g (Linéarité)Mathieu Ponsmathete.netFORMULAIRETS
PARTIEIV - COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIEO²M(z)²N(z)~ u~ vj zj¯ ¯z¯¯AEjzjxy
¡yarg(z)arg(z)AE¡arg(z)ûMest le point d"affixezAExÅiyavec i2AE¡1. ûNest le point d"affixezconjugué deztel que :zAEx¡iy. ¡¡!ABest le vecteur d"affixez¡¡!ABAEzB¡zA.ûModule dez:jzjAEqx
2Åy2(th. de Pythagore)
ûArgument dez:
arg(z)AEµÅ2k¼(k2Z) avec8 >:cosµAExj zjAEAdjHyp sinµAEyj zjAEOppHypûÉcritures possibles dez:
zAExÅiy(forme algébrique) AE jzj(cosµÅisinµ) (forme trigonométrique) AE jzjeiµ(forme exponentielle)ûPropriétés des modules, des arguments et des conjugués¯¯¯¯zz
0¯¯¯¯AEjzj¯
¯z0¯¯
argµzzAEarg(z)¡arg(z0)
arg¡zn¢AEn£arg(z)zz
0AEz£z
0µ zz AEz z0zÅz0AEzÅz
0¯ ¯z¯¯AEjzj
arg(z)AE ¡arg(z) ûInterprétation géométrique des nombres complexes j jzB¡zAj AEABarg(zB¡zA)AE³¡!u;¡¡!AB´¯¯¯zC¡zAz
B¡zA¯
¯¯¯AEACABarg
µzC¡zAz
AE³¡¡!AB;¡¡!AC´
ûRecherche d"ensembles de points
j z¡zAjAEjz¡zBj()AMAEBMj z¡zAjAEr()AMAEr ()M2à la médiatrice de [AB]()M2au cercle de centreAet de rayonr ûConfigurations géométriques et raisonnement à mettre en oeuvre A, B, C alignés()¡¡!ABAEk¡¡!AC(AB)?(AC)()¡¡!AB¢¡¡!ACAE0 A, B, C alignés()³¡¡!AB;¡¡!AC´AE¼2
Åk¼
zC¡zAzB¡zAAEun réel pur()
zC¡zAz B¡zAAEun imaginaire purûCercle trigonométrique et valeurs remarquablesO²0²¼6²¼
4²¼
3²¼
2²2¼3
²3¼4
²5¼6
¼6 ¼4¼3²
¼2²
2¼3²
3¼4²
5¼6p32
12¡
p3212 p22 p22¡ p22p22 12 p32¡ 12p32ûFormules de trigonométrie
cos2aÅsin2aAE1
cos2a¡sin2aAEcos2a
sin2aAE2sinacosa cos2aAE2cos2a¡1 cos(a¡b)AEcosacosbÅsinasinb sin(aÅb)AEsinacosbÅcosasinb sin(a¡b)AEsinacosb¡cosasinb tanaAEsinacosa ûRappels de collège : SOHCAHTOA ou CAHSOHTOAAC BcosAEABBC
sinAEACBC
tanAEACAB
Mathieu Ponsmathete.net
FORMULAIRETS
PARTIEV - GÉOMÉTRIE DANS L"ESPACEÉquation cartésienne de planReprésentation paramétrique de
planReprésentation paramétrique de droiteA~n 0 a b c1AA~u0@ 1A ~v0@ 0 0