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Cours de Mathématiques en terminale STMG

Michel IMBERT

Année scolaire 2018-2019

Lycée Bertran de Born -Périgueux

MyMaths Space22 sur 45

Table des matières1 Information Chiffrée5

I Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 6

I.1 Calculer un pourcentage d"une quantité : . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6 I.2 Calculer une proportion d"un ensemble A dans un ensemble E: . . . . . . . . . . . 6 I.3 Savoir retrouvernEconnaissantpetnA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.4 Proportions enchainées : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 6 I.5 On n"ajoute pas si facilement les proportions! : . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6

II Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 6

III Évolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7

2 Suites arithmétiques et géométriques9

I Pour commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10

I.1 Garde d"enfants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 10 I.2 Les centenaires se portent bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 10

II Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 11

III Calculs de termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11

IV Somme de termes consécutifs - Calculatrice . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 12

V Modélisation de situation concrète par des suites : . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

VI Exemples - Placements financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 13

3 Statistiques à deux variables - Ajustement affine15

I Définition - Nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 16

II Point moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III Ajustement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17

III.1 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

III.2 Méthode des moindres carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17

III.3 Point méthode : Tracer une droite dans un repère orthogonal à partir de son équation 18

III.4 Utilisation des ajustements : estimations et prévisions. . . . . . . . . . . . . . . . 18 IV ACTIVITÉ en lien avec l"enseignement de Mercatique . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 19

IV.1 Étude d"un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 19

IV.2 Ajustement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 19 IV.2.1 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19 IV.2.2 Méthode des moindres carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 19

IV.3 Utilisation de la droite de régression . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 20

4 Dérivation21

If(a),f?(a), et tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

II Fonction dérivéef?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II.1 Formules de dérivation pour les "fonctions usuelles". . .. . . . . . . . . . . . . . . 22 II.2 Formules pour dériver des fonctions plus complexes : . . . .. . . . . . . . . . . . . 23

III Petit retour sur les fonctions affines et les équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Étude de fonctions25

I Étapes de l"étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26

II Rappel des méthodes pour trouver le signe d"expressions . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II.1 Trouver le signe d"une expression du premier degré (formeax+b) . . . . . . . . . . 26 II.2 Trouver le signe d"une expression du second degré (formeax2+bx+c) . . . . . . . 27

III Exemple d"étude de fonction : situation concrète . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

6 Probabilités conditionnelles29

I Pour bien commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 30

I.1 Avec un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 30 I.2 Avec un arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 30

II Vocabulaire et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31

III Utilisation des tableaux de probabilités . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 32

IV Utilisation des arbres de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 32

7 La loi binomiale33

I Pour bien commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34

I.1 Répétition de 3 lancers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34

I.2 Répétitions de 5 lancers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 35

I.3 Un exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 35

II En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 36

III Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 36

III.1 Un lustre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 36

III.2 Une urne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37

III.3 Une usine produit des pots de confiture . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 37

8 La loi normale39

I Définition et courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 40

II Lien entre la courbe et les probabilités . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 40

III Situation Concrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 41

IV Intervalle de fluctuation2σd"une loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9 Intervalles de fluctuation et de confiance43

I Échantillonnage dans une population. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 44

II Test d"hypothèse, prise de décision à partir d"un échantillon. . . . .. . . . . . . . . . . . . 44

III Estimation d"une proportionpinconnue : intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . 45

My Maths Space44 sur 45

Chapitre 1Information ChiffréeSommaire

I Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 6

I.1 Calculer un pourcentage d"une quantité : . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6 I.2 Calculer une proportion d"un ensemble A dans un ensembleE : . . . . . . . . . . 6 I.3 Savoir retrouvernEconnaissantpetnA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.4 Proportions enchainées : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 6 I.5 On n"ajoute pas si facilement les proportions! : . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6

II Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 6

III Évolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7

5 I ProportionsI.1 Calculer un pourcentage d"une quantité : ex :38% de 40 = I.2 Calculer une proportion d"un ensemble A dans un ensembleE : p=nA nE.

I.3 Savoir retrouvernEconnaissantpetnA:

I.4 Proportions enchainées :

Sip1est la proportion de A dans B,

etp2est la proportion de B dans E, alors la proportion de A dans E estp=p1×p2. I.5 On n"ajoute pas si facilement les proportions! :

II Indices

année 2006 2007 2008 2009 valeur 32 40 36 46 indice100

•Si on décide de prendre2007comme annéede référence: on donne 100 comme valeur à cette

année-là et on rapporte toutes les autres valeurs proportionnellement

•Un indice de115indique .............................................. par rapport à l"année de référence (2007).

•Un indice de90indique ....................................... par rapport à l"année de référence (2007).

•ATTENTION

: entre 2008 et 2009, iln"y a pasaugmentation de115-90 = 25%!

My Maths Space66 sur 45

•De même: entre 2006 et 2007, iln"y a pasaugmentation de100-80 = 20%! ( par contre : il y a une baisse de...............de 2007 à 2006!)

III Évolutions

Vdtaux d"évolutiont

V a

×(1 +t)

•Faire la différence entre le taux d"évolutiont et le coefficient multiplicateurCM= 1 +t t= t=

•Pour trouverVa: on multiplieVdpar1 +t.

V a=Vd×(1 +t)

•Pour trouverVd: on diviseVapar1 +t.

V d=Va 1 +t •Pour trouver le taux d"évolution :méthode 1 :t=Va-Vd Vd méthode 2 : on calcule le CM :CM=VaVd, puist=CM-1

•Calculer un taux global correspondant

à plusieurs évolutions successives :

(Si je ne connais niVa, niVd) V V a

×(1 +tg)

Il faut multiplier les coefficients

multiplicateurs :

1+tg= (1+t1)(1+t2)×...×(1+tn) =CMg.

→donc : t g=CMg-1 12%?

•Calculer un taux moyen correspondant

ànévolutions successives,

connaissant le taux globaltg:

×(1 +tg)

→On écrit :(1+tm)n=1+tg puistm=n?

1 +tg-1

tm= 12 (1 + 0,15)est la " racine12mede 1,15 ».

Á la calculatrice, on tape :

12x⎷y( 1+0,15 ) - 1 =

Sur les T.I., on accède àx⎷yavec la touche MATH

My Maths Space77 sur 45

My Maths Space88 sur 45

Chapitre 2Suites arithmétiques et géométriquesSommaire I Pour commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10 I.1 Garde d"enfants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 10 I.2 Les centenaires se portent bien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 10

II Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

III Calculs de termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11

IV Somme de termes consécutifs - Calculatrice . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 12 V Modélisation de situation concrète par des suites : . . . . . .. . . . . . . . . . . . 12 VI Exemples - Placements financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 13 9

I Pour commencerI.1 Garde d"enfants

Une société de services propose des prestations de garde d"enfants à domicile au tarif suivant : les

clients payent une cotisation annuelle de 150 euros à laquelle s"ajoutent 20 euros par heure de garde.

On poseu0= 150et, pour tout entier naturelnnon nul, on noteunle prix total payé par une famille pournheures de garde durant l"année. On a doncu1= 170.

1. Donner les valeurs deu2et deu3.

2. Pour 450 heures de garde, une famille paie 9150 euros, soitu450= 9150. Détermineru451etu452.

3. Exprimerun+1en fonction deun; en déduire la nature de la suite(un).

4. Pour récompenser la fidélité de la familleJeanblanc, la société lui offre la cotisation annuelle.

La familleJeanblancne paie donc que les heures de garde. (a) Quelle somme d"argent débourse cette famille pour 320 heures de garde? (b) Quelle somme d"argent débourse-t-elle pournheures de garde? (c) En déduire l"expression de la somme totaleunversée pournheures de garde par une famille réglant la cotisation annuelle.

I.2 Les centenaires se portent bien

En France, depuis 1975, le nombre de centenaires progresse continûment à un rythme qui permet le doublement de ce nombre tous les 10 ans. On fait l"hypothèse que ce taux restera constant les prochaines années. Actuellement, la France compte à peu près 15000 centenaires. On noteC0= 15000le nombre actuel de centenaires et, pour toutnnon nul,Cnle nombre de centenaires dansndécennies selon l"hypothèse faite.

1. Déterminer le nombreC1de centenaires prévisibles dans 10 ans.

2. Déterminer le nombreC2de centenaires prévisibles dans 20 ans.

3. exprimerCn+1en fonction deCn. En déduire la nature de la suite(Cn).

4. Combien de fois la population de centenaires aura-t-elledoublée dans cinq décennies?

En déduire le nombreC5de centenaires prévu dans 50 ans.

5. Combien de fois la population de centenaires aura-t-elledoublée dansndécennies?

En déduire l"expression deCnen fonction den.

(En fait les prévisions les plus optimistes de l"INSEE sont inférieures à cette hypothèse, en parti-

culier à cause du déficit de naissances lors de la Première guerre mondiale)

My Maths Space1010 sur 45

II Formules

Suites ARITHMÉTIQUES

Propriété 1→Une suite est arithmétique quand on passe d"un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre a. →Le nombreaest appelé laraisonde la suite.

Suites GEOMÉTRIQUES

Propriété 2→Une suite est géométrique quand on passe d"un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q. →Le nombreqest appelé laraisonde la suite.

Expression deun+1en fonction deun:

C"est la"relation de récurrence", elle permet de calculer les termes consécutifs de la suite, l"un après l"autre (u0,u1,u2, ...)

Propriété 3un+1=un+a.

Propriété 4un+1=un×q.

Expression deunen fonction den:

C"est le"terme général", il permet de calculer directement un terme de la suite ( ex :u20se calcule en remplaçantnpar 20).

Propriété 5un=u0+nasi le 1er

terme estu0. u n=u1+ (n-1)asi le 1er terme est u 1.

Propriété 6un=u0×qnsi le 1er

terme estu0. u n=u1×qn-1si le 1er terme estu1.

Sens de variation :

Propriété 7→Une suite arithmétique de raisonaest - croissante sia >0(strict. positive), - constante sia= 0(nulle), et - décroissante sia <0(strict. néga- tive). Propriété 8→Une suite géométrique de raisonqdontle premier terme est strictement positif, est - croissante siq >1, - constante siq= 1, - décroissante si0< q <1.

III Calculs de termes

Exemple 1•(un)

u8?

My Maths Space1111 sur 45

IV Somme de termes consécutifs - Calculatrice

Ex : pour calculer la sommeu4+u5+u6+...+u20pour une suite arithmétique de raison 3 et de premier termeu0= 12:

Texas Instrument

2nde , 0("catalogue"), et choisir SOMME

2nde, 0("catalogue"), et choisir SUITE

Compléter ensuite pour obtenirsomme(suite(terme général de la suite, X,premier indice, dernier indice)

pour notre exemple on aura somme(suite(12+3X, X,4,20)) Casio MENU RUN, puis régler dans le SETUP(shift/menu) le mode Input/Ouput à LINEAR shift, 4("catalogue"), et choisir?

Compléter ensuite pour obtenir?(terme général de la suite, X,premier indice, dernier indice)

pour notre exemple on aura?(12+3X, X,4,20)) Remettre dans le SETUPle mode Input/Ouput à MATH pour les Casio plus anciennes, on accède au symbole?ainsi :OPTN, puis CALC(F4), puis?(F6 et F3).

Exemple 3

S=u9+u10+...+u28?

Exemple 4

S=u0+u1+...+u25?

V Modélisation de situation concrète par des suites :

Exemple 5

Exemple 6

My Maths Space1212 sur 45

VI Exemples - Placements financiers

Les suites dans les placements financiers :

Exemple 7

My Maths Space1313 sur 45

My Maths Space1414 sur 45

Chapitre 3Statistiques à deux variables -Ajustement affineSommaire

I Définition - Nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 16

II Point moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 16

III Ajustement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17

III.1 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17 III.2 Méthode des moindres carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 17

III.3 Point méthode : Tracer une droite dans un repère orthogonal à partir de son équation 18

III.4 Utilisation des ajustements : estimations et prévisions . . . . . . . . . . . . . . . 18 IV ACTIVITÉ en lien avec l"enseignement de Mercatique . . . . .. . . . . . . . . . . 19 IV.1 Étude d"un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 19 IV.2 Ajustement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 19 IV.3 Utilisation de la droite de régression . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 20 15

I Définition - Nuage de points

SAVOIR :

-→Une série statistique est "double" (ou série "à 2 variables")quand on observe simultanément

deux caractèresxetysur une population.

Numéro pièce 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Teneur en carbonexi(en 0.01%) 70 60 68 64 66 64 62 70 74 62 Charge de ruptureyi(en kg) 87 71 79 74 79 80 75 86 95 70

SAVOIR :

-→Le nuage de pointsest l"ensemble desNpoints dont les coordonnées sont les(xi;yi).

7072747678808284868890929496

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

II Point moyen

SAVOIR :

x=x1+x2+...+xNN y=y1+y2+...+yNN

My Maths Space1616 sur 45

x=... y=...Et aussi à la calculatrice :T.I. STAT , EDIT.

Saisir les valeursxietyidans L1

et L2 STAT , CALC, 2-VAR STATS

Taper ensuite L1 , L2 ENTER

Lire alorsn(effectif total) etx,

puis plus bas y.Casio MENU , STAT

Saisir les valeursxietyidans L1

et L2 CALC , puis régler dans SET:

2-VAR Xlist : L1, 2-VAR Ylist : L2

et 2-VAR Freq : 1 EXE puis 2VAR.

Lire alorsn(effectif total) et

x, puis plus bas y.

III Ajustement affine

L"idée générale des statistiques à 2 variables est de rechercher s"il existe une relation entre les 2

caractèresxety. Lorsqueles points dunuaged"unesériestatistiquesontapproximativement alignés ,oncherche une fonction affine qui exprime de façon approchéeyen fonction dex.

SAVOIR :

-→Un ajustement affine est justifié lorsque les points du nuage sont approximativement alignés

-→La droite d"équationy=ax+bque l"on trouve s"appelle la"droite d"ajustement".

-→Il existe diverses méthodes pour trouver unedroite d"ajustement, nous en voyons 2 cette année :

III.1 Méthode graphique

On traceau jugéune droite en s"efforçant d"équilibrer le nombre de points situés de part et d"autre.

Cette méthode est peu précise.

III.2 Méthode des moindres carrées

Dy x l1 l 2l 3l4 l

5La droite d"ajustement donnée par cette méthode estcelle qui rend minimale la somme des carrés de toutesles longueurs sur la figure (l21+l22+...+l2n).

SAVOIR :

-→Cette droite est appeléedroite de régression deyenx.

-→Les coefficientsaetbde son équationy=ax+bsont calculés directement à la calculatrice (voir

ci-dessous).

-→Pour représenter la droite dans le repère, on doit placer 2 points. Un premier point utilisable est

le point moyen, qui est toujours dessus, et un autre point peut être trouvé en faisant un tableau de

valeurs à la calculatrice.

Texas Instrument

STAT , EDIT.

Saisir les valeursxietyiL1 et L2

STATquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15