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RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES

Classes prŽparatoires Žconomiques et commerciales option scientifi

Catherine∂Laidebeure∂

2009∂Ð∂2010∂Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy1

Fiche∂1∂Calcul∂algŽbrique∂ ∂ ∂page∂3∂

Fiche∂2

∂IdentitŽs∂remarquables∂ ∂page∂4∂

Fiche∂3

∂Sommes∂et∂produits∂∂ ∂page∂5∂

Fiche∂4

∂Ensembles∂ ∂ ∂ ∂page∂6∂

Fiche∂5

∂RŽcurrence∂ ∂ ∂ ∂page∂7∂

Fiche∂6

∂Ensemble∂des∂rŽels∂ ∂ ∂page∂8∂

Fiche∂7

∂TrigonomŽtrie∂ ∂ ∂page∂9∂

Fiche∂8

∂Nombres∂complexes∂ ∂page∂10∂

Fiche∂9

∂Applications∂∂ ∂ ∂page∂11∂

Fiche∂1

0∂Polyn™mes∂ ∂ ∂ ∂page∂12∂

Fiche∂1

1∂Logarithme∂nŽpŽrien∂ ∂page∂13∂

Fiche∂1

2∂Exponentielle∂ ∂ ∂page∂14∂

Fiche∂1

Fiche∂1

4∂Fonctions∂puissances∂ ∂page∂16∂

Fiche∂1

Fiche∂1

6∂Suites∂usuelles∂ ∂ ∂page∂19∂

Fiche∂1

7∂Suites∂numŽriques∂ ∂ ∂page∂20∂

Fiche∂1

8∂SŽries∂numŽriques∂ ∂ ∂page∂22∂

Fiche∂1

9∂DŽnombrement∂ ∂ ∂page∂23∂

Fiche∂20∂Espaces∂probabilisŽs∂ ∂page∂24∂ Fiche∂24∂Limites∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂29∂ Fiche∂25∂InterprŽtation∂des∂limites∂ ∂ ∂page∂31∂ Fiche∂27∂ContinuitŽ∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂33∂ Fiche∂28∂DŽrivation∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂34∂ Fiche∂29∂ConvexitŽ∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂36∂

Fiche∂30∂Plan∂dՎtude∂dÕune∂fonction∂ ∂page∂37∂

Fiche∂31∂Primitives∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂38∂ Fiche∂32∂IntŽgrales∂dŽfinies∂ ∂ ∂ ∂page∂39∂ Fiche∂33∂Formules∂de∂Taylor∂∂ ∂ ∂page∂41∂ Fiche∂34∂DŽveloppements∂limitŽs∂ ∂ ∂page∂42∂ Fiche∂36∂Espaces∂vectoriels∂ ∂ ∂ ∂page∂45∂ Fiche∂37∂Applications∂linŽaires∂ ∂ ∂page∂47∂ Fiche∂38∂Matrices∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂49∂ Fiche∂39∂Changement∂de∂base∂ ∂ ∂page∂51∂ Fiche∂40∂RŽduction∂des∂endomorphismes∂ ∂page∂52∂ Fiche∂41∂Couples∂de∂variables∂alŽatoires∂ ∂page∂53∂ Fiche∂42∂Convergences∂et∂approximations∂ ∂page∂54∂ Fiche∂43∂Fonctions∂de∂deux∂variables∂ ∂page∂55

∂Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy2

fiche n°1

CALCUL ALGEBRIQUE

Fractions

ba est défini si et seulement si 0 =b.

00βαβa

ba )(SgnSgnabbaβ{}+??? bd bcad dc ba bdac dc baβ? bcad dc baβ: bacc baβ? bca cba bac c baβ

Puissances

1

0βa aaan??β... (n fois) si *

?≠n nn aa1β- nnaaβ1 abbealnβ si 0 •a cbcb aaa?β? cb cb aaa bccbaaβ ccc abba)(β? c cc ba ba{}+???β

Inégalités

Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe d e leur dif férence 0 abba. ba et cb c (on note cba ba et ""ba ""bbaa ba ""bbaa (seulement s"ils sont positifs) cbcaba cbcaccbcacba fiche n°1 (suite)

Racines carrées

a est l"unique solution positive de l"équation axβ2. a est défini si et seulement si 0 ?a. 0?a aaβ2 aaβ2 baabβ ba baβ si 0 ?a et 0 •b baba??? Mais en général baba?=? baba?α??0

β?αβ20

babba babba si 0 ?a

Valeurs absolues

aaaaa donc ),Max(aaaaa a et

00β

0?a

2aaβ pour tout a réel

baabβ ba baβ si 0 =b baba??? Mais en général baba?=? baba?≥??0 Mais abba?≥??0 bababa babbabababa ou ou si 0 ?b

Inverses

a b fiche n°2

IDENTITES REMARQUABLES

Identités usuelles

2222)(bababa==β=

2222)(bababa=αβα

22))((bababaαβ=α

bcacabcbacba222)(2222=====β==

3223333)(babbaaba===β=

3223333)(babbaabaα=αβα

))((2233babababa==αβα ))((2233babababa=α=β=

Généralisation

βαααβαβα1

01 1

01)()(n

kknk n kkknnnbababababa

La formule

nnba= ne se généralise que si n est impair

α=β=1

01 )1()(n kkknknnbababa

Formule du binôme de Newton

00( )nn

nk n kn k k kknn a b a ba b kkαα

ββ} + } += ββ? ? ? ?? ? ? ?{ { avec

nn k k n k

Propriétés :

αkn

knn et 1 1 n n nk k k=

Conséquence

0 2 n n kn k 0 ( 1) 0 nk kn k

? ?? ?{ Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy4

fiche n°3

SOMMES ET PRODUITS

Propriétés des Sommes

nn kk k p k p u u ( )nn n k k k k k pk p k p u v u v Si p q n} + 1q nn k kk k p k p k q u u u ( 1) n k p a a n p

α 1 1( )n

k k n p k p u u u u

Sommes usuelles

1 ( 1)2 n kn n k 2 1 ( 1)(2 1) 6n kn n n k 2 2 3 1 ( 1)4n kn n k 1 01 1n nk n kx xS x x{ = =?α si 1 ?x Si 1 ?x : 1 0 nk n kkx S x ==α 2 0 ( 1) " ( ) nk n kk k x S x

Propriétés des Produits

1nnn p

kk k pk p uu ( )n n n k kk k k pk p k p u v u v Si p q n} + 1q nn kkk k p k p k q u u u 1 n n p k pa a 1 1 n k nk p k p u uu u{ {

Produit usuel

1! n kk n ? Propriétés : !)1(!)1(nnn et 1!0

Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy5

fiche n°4

ENSEMBLES

Inclusion

Un ensemble A est inclus dans un ensemble E (

E A= ) si tout élément de A est élément de E. Alors A est une partie de E. Si A B= et B C= alors A C= et

A B A B B Aβ α = =

L"ensemble des parties de E est noté )(E?.

Intersection de deux parties de E

}BxAxExBA+++β?et/.

Deux ensembles A et B sont disjoints si

Lβ ?BA.

Propriétés

A B B A )()(CBACBA noté CBA CBA si et seulement si B A= et CA

Réunion de deux parties de E

}BxAxExBA+++β?ou/.

Propriétés

A B B A )()(CBACBA noté CBA CBA si et seulement si CA et CB

Distributivité

)()()(CBCACBA )()()(CBCACBA

Complémentaire

}AxExA?+β/ .

Propriétés

A Aβ

Lβ?AA

E A A B A= si et seulement si A B=

Lois de Morgan

B A B A B A B A

Différence de deux parties de E

/ et

A B x E x A x B? β + + ?.

Donc

A B A B? β ?

fiche n°4 (suite)

Différence symétrique de deux parties de E

/ ou (exclusif)

A B x E x Ax B? β + ++.

Donc )()(BABABA

Donc )()()()(BABABABABA???β???β?.

Partition d"un ensemble E

Des parties

1A,

2A, ..., nA de E forment une partition de E si :

- Elles sont deux à deux disjointes :

Lβ?jiAA si

j i≠ - Leur réunion est E : EAn i iβ βa 1.

Cas particulier

: une partie A et son complémentaire A.

Produit cartésien de deux ensembles

}FyExyxFE++β-et/),( }EyExyxE++βet/),(2 Par récurrence, on généralise au produit de plusieurs ensembles et pE est l"ensemble des p-listes ),...,(1pxx d"éléments de E.

Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy6

fiche n°5

RECURRENCE

Premier théorème de récurrence

Soit )(nP est une propriété définie pour tout entier 0nn=. Si les deux condi tions suivantes sont vérifiées :

1) Initialisation

: )(0nP est vraie.

2) Hérédité

: Chaque fois que )(nP est vraie pour 0nn=, alors )1(

βnP est vraie.

Alors )(nP est vraie pour tout entier 0nn=.

Conseils de rédaction d"une récurrence

α Bien définir la propriété )(nP .

α Initialisation

: Déterminer le premier entier 0n et démontrer que

0nP est vraie.

α Hérédité

: Supposer que )(nP est vraie pour un entier 0nn=.

Démontrer que (pour ce n) )1(

βnP est vraie.

α Conclusion

: En appliquant le théorème, conclure que )(nP est vraie pour tout entier 0nn=. Deuxième théorème de récurrence (récurrence forte) Soit )(nP est une propriété définie pour tout entier 0nn=. Si les deux condi tions suivantes sont vérifiées :

1) Initialisation

: )(0nP est vraie.

2) Hérédité

: Chaque fois que (pour un entier 0nn=) )(kP est vraie jusqu"à n (c"est-à-dire pour tout entier k tel que nkn{{0), alors )1(

βnP est vraie.

Alors )(nP est vraie pour tout entier 0nn=.

Conseils de rédaction

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