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Détermination de la valeur moyenne d'un signal périodique Méthode de travail : abscisses : De la démonstration suivante, on ne retiendra que la conclusion

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Définir la valeur efficace pour un signal sinusoïdal • Énoncer qu'un signal périodique peut-être décomposé comme la somme d'une composante continue

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partir de l'intégrale, en y adjoignant la définition de la valeur efficace Démonstration de la conjecture En physique on réalise un circuit alimenté par un courant sinusoïdal on y intègre Le signal observé aux bornes d'un oscilloscope est 

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3 sept 2005 · Dans le cas particulier des signaux sinusoïdaux, la valeur efficace est égale à Nous admettrons, sans démonstration, le théorème suivant :

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Retenir : < cos(ωt + ϕ) >= 0 < sin(ωt + ϕ) >= 0 la valeur moyenne d'un sinus (ou d'un cosinus) est nulle III Valeur efficace d'un signal 1 Définition Les signaux 

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15 déc 2003 · La valeur efficace d'un signal sinusoïdal est donc sa valeur maximale u0 On peut montrer de même (démonstration donnée en classe) :

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♢L'amplitude ♢La phase du signal : elle donne de manière absolue l'origine du temps pour un signal sinusoïdal ♢La valeur moyenne au cours du temps est 

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par exemple un signal sinusoïdal à l'entrée d'un amplificateur pour en mesurer le gain ; Pour un signal harmonique cette valeur efficace vaut : ω φ ω φ ω φ ω

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CARACTÉRISTIQUES D"UN SIGNAL

I. Signal périodique

1. Période, fréquence

La périodeTd"un signal est la plus petite durée au bout de laquelle le signal se reproduit identique à lui-même. s(t+T) =s(t)La fréquence correspond au nombre de périodes par unité de temps : f=1T

L"unité SI defest le hertz :1Hz=1s1.

2. Signal sinusoïdal

On considère un signal de la forme :

s(t) =acos(! t+') aamplitude du signal (aest de même dimension ques) ! t+'phase du signal 'phase àt= 0'2[;] !pulsation du signal

Tpériode du signalT=2!

ffréquence du signalf=1T (s1=Hz) 1

Remarque :

En TP, on utilise des GBF pour produire une tension sinusoïdale. Il faudra bien distinguer

l"amplitude et l"amplitude crête à crête (ou peak to peak) qu"affichent généralement les GBF

et qui représente l"écart entre la valeur maximale et la valeur minimale d"un signal. Pour un signal sinusoïdal, la valeur peak to peak vaut le double de l"amplitudeVPP= 2a.

Soient :

s

1(t) =acos! t

s

2(t) =acos(! t')avec'2[0;]

s

3(t) =acos(! t+ )avec 2[0;]

On dit ques2est en retard de phase de'par rapport às1ets3est en avance de phase de par rapport às1.

Retard de phase

s

2(t) =acos(! t') =acos!(t'!

) =acos(! t0)avect0=t'! . La courbe est inchangée dans un repère d"origineO0avect0= 0pourt='! ='2T. La courbeacos(! t')se déduit de la courbeacos(! t)par un décalage temporelt='! '2T:Si'2[0;]alors lacourbes2(t)est décalée vers la droited"une durée comprise entre 0etT2 2

Avance de phase

s

3(t) =acos(! t+ ) =acos!(t+ !

) =acos(! t0)avect0=t+ ! . La courbe est inchangée dans un repère d"origineO0avect0= 0pourt= ! = 2T. La courbeacos(! t+ )se déduit de la courbeacos(! t)par un décalage temporelt= = 2T:Si 2[0;]alors lacourbes3(t)est décalée vers la gauched"une durée comprise entre 0etT2 Lorsque le déphasage vaut=2, on parle de quadrature de phase avance (pouracos(! t+2 )) ou retard (pouracos(! t2 )). Représenter sur le diagramme ci-dessous, un signal en quatradure de phase retard : acos(!t2 )Représenter de même sur le diagramme ci-dessous le signalacos(! t): acos(!t)Lorsque le déphasage vaut, on dit que les signaux sont en opposition de phase. 3 't='2T2T 2 =24t=T4 3 =26t=T6 =22t=T2

II. Valeur moyenne d"un signal périodique

1. Définition

Soits(t)un signal périodique de périodeT. On note< s(t)>sa valeur moyenne. Par définition < s(t)>=1T Z t0+T t

0s(t)dt8t0l"intégration se fait sur un intervalle de temps égal à la périodeT, l"originet0pouvant être

choisie arbitrairement. En général, on choisit la valeur det0qui permet les calculs les plus simples. - exemple 1 :t0= 0, on intègre alors de0àT. - exemple 2 :t0=T2 on intègre alors deT2

àT2

, ce qui peut être utile quand la fonction s(t)est paire.

2. Interprétation graphique

< s(t)> T=Z t0+T t

0s(t)dt

R t0+T t

0s(t)dtreprésente l"aire sous la courbe sur

une période. < s(t)> Test l"aire du rectangle de côtés < s(t)>etT.

La valeur moyenne< s(t)>est celle qui per-

met d"égaler les deux aires.4

Retenir :< s(t)>=1T

aire sous la courbe sur une période.Applications : Déterminer la valeur moyenne des signaux suivants :3. Cas particulier du signal sinusoïdal Sur une période, l"aire sous la courbe est nulle (l"aire positive compensant exactement l"aire négative).Retenir := 0 = 0la valeur moyenne d"un sinus (ou d"un cosinus) est nulle.

III. Valeur efficace d"un signal

1. Définition

Les signaux sinusoïdaux ont une valeur moyenne nulle. Cependant ils peuvent transmettre de l"énergie.

En effet, l"énergie associée à un signal est en général proportionnelle au carrés2(t)de celui-ci

(par exemple, pour un signal sonore, l"énergie est proportionnelle au carré de la surpression).

On a donc intérêt à définir la moyenne quadratique du signal,i.ela valeur moyenne des2(t).

Sis(t)est périodique de périodeTalorss2(t)l"est aussi. La valeur quadratique moyenne du signal vaudra donc, d"après la définition précédente de la valeur moyenne : 5 < s

2(t)>=1T

Z t0+T t

0s2(t)dt8t0

< s

2(t)>a les mêmes dimensions ques(t)2(< s2(t)>sera en Pa2sis(t)est une pression

mesurée en pascal). On souhaite que la valeur efficace du signal soit de même dimension que celui-ci. Il suffit alors de prendre la racine carrée de la valeur quadratique moyenne. On définit ainsi la valeur efficaceseffsur signal par : s eff=p< s

2(t)>=s1

T Z t0+T t 0s

2(t)dt8t0Application :

Déterminer la valeur efficace du signal ci-

contre2. Cas particulier du signal sinusoïdal a) Valeur moyenne d"uncos2ou d"unsin2 cos

2(!t+') =1 + cos(2!t+ 2')2

=12 +2 or= 0car la valeur moyenne d"un cosinus est nulle. On en déduit =12 de mêmesin2(!t+') =1cos(2!t+ 2')2 permet d"écrire=12

Retenir :=12

=12La valeur moyenne d"uncos2ou d"unsin2est égale 12 6 b) Valeur efficace s

2eff=< s2(t)>=1T

Z t0+T t

0a2cos2(!t+')dt=a2=a22

s eff=ap2 La valeur efficace d"un signal sinusoïdal est égale à l"amplitude du signal divisée par p2.

3. Mesures

En TP on utilise des multimètres pour mesurer des tensions et des intensités électriques. On verra qu"un multimètre en position(courant ou tension alternative) mesure la valeur

efficace d"un signal sinusoïdal, et d"un signal périodique quelconque (pour cela le multimètre

doit être T.R.M.S. "True Root Mean Square"). Si le multimètre est placé en position = (courant ou tension continue) il renvoie la valeur moyenne du signal.

IV. Analyse spectrale d"un signal périodique

1. Analyse de Fourier

Le mathématicien Joseph Fourier (1768-1830) a établi le théorème suivant : Tout signal périodique de périodeT, de fréquencef= 1=T, de pulsation!= 2f, peut s"exprimer sous la forme d"une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples def appeléesérie de Fourier: s(t) =A0++1X k=1A

kcos(2kft+'k)Des formules mathématiques permettent de calculer les valeurs desAket des'k, connaissant

l"expression de la fonctions(t).

A0correspond à lavaleur moyenne du signal.

En effet :< s(t)>=A0+P+1

k=1Ak=A0car la valeur moyenne d"un cosinus est nulle. le termeA1cos(2ft+'1)correspondant àk= 1et donc de même fréquence que le signal, est appeléfondamental. le termeAkcos(2kft+'k)de fréquencefkmultiple de la fréquence du fondamental (fk=kf) est appeléharmonique de rangk. 7

2. Spectre du signal

Réaliser l"analyse spectrale d"un signal consiste à déterminer les valeurs desAket des'k. Lespectre en amplitudecorrespond à la représentation graphique desAken fonction des fréquencesfk. Lespectre de phasecorrespond à la représentation graphique des phases initiales'ken

fonction des fréquencesfk. Il dépend du choix d"origine des temps, et en général n"est pas

réalisé.3. Spectre en amplitude et valeur efficace

En général, l"énergie associée à un signal est liée à sa valeur efficace. Le théorème de Parseval

établit la relation :

s

2eff=< s2>=1T

Z to+T t os2(t)dt=A20++1X k=1A 2k2:

Le carré de la valeur efficace d"un signal est égal à la somme des carrés des valeurs efficaces

de chacune de ses composantes spectrales.

4. Synthèse de Fourier

La donnée desAket'kpermet de reconstituer le signal. L"animation proposée par le site ci-dessous permet de visualiser la construction du signal terme à terme (signal carré, signal triangulaire). html 8

Exemple 1 : signal créneau

On peut montrer ques(t) =4E

1 X p=0sin[2(2p+ 1)ft]2p+ 1. On a tracé ci-dessous les quatres premiers termes (le fondamental et les harmoniques de rang

3,5,7), ainsi que leur somme (en noir).Exemple 2 : signal triangulaire

On peut montrer ques(t) =8E

21
X p=0cos[2(2p+ 1)ft](2p+ 1)2. 9 On a tracé ci-dessous les quatres premiers termes (le fondamental et les harmoniques de rang

3,5,7), ainsi que leur somme (en noir).On constate que les amplitudes des harmoniques d"un créneau décroissent moins vite que celle

d"un triangle. Il faudra utiliser plus de termes pour reconstituer le signal créneau que pour reconstituer le signal triangulaire.

De plus, les discontinuités du créneau ne peuvent être approchées infiniment près par sa série

de Fourier : quel que soit le nombre de termes utilisés, il restera toujours des petits pics au niveau des discontinuités. On appelle cela le phéomène de Gibbs. voir également feuille de calcul SAGE serie-de-fourier.sws 10quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28