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1 Calcul des valeurs moyennes et efficaces
11.1 Situation
11.1.1 Principes utilisés pour calculer les valeurs moyennes et efficaces
21.1.2 Connclusion
31.2 Signal périodique quelconque
41.3 Précisions
41.4 Mesurages
41.5 Rappels
41.5.1 Valeur moyenne
41.5.2 Valeur efficace
51.5.3 Repères et relations simplificatrices
51.5.4 Quelques valeurs remarquables à connaître
51.6 Signal rectangulaire ou carré
51.6.1 Valeur moyenne
61.6.2 Valeur efficace
61.7 Signal sinusoïdal
61.7.1 Valeur moyenne
71.7.2 Valeur efficace
71.8 Redressement monoalternance
81.8.1 Oscillogrammes
81.8.2 Valeur moyenne
81.8.3 Valeur efficace
81.9 Redressement bialternance
91.9.1 Oscillogrammes
91.9.2 Valeur moyenne
91.9.3 Valeur efficace
91.10 Redressement triphasé - Pont P3
91.10.1 Valeur moyenne
101.10.2 Valeur efficace
101.11 Pont PD3 (2 méthodes proposées)
101.11.1 Méthode N°1
101.11.2 oscillogramme
111.11.3 Valeur moyenne
111.11.4 Méthode N°2
111.11.5 Oscillogramme
121.11.6 Conclusion
121.11.7 Valeur efficace
121.12 Redressement commandé: pont mixte
131.12.1 Valeur moyenne
131.13 Gradateur
131.13.1 Valeur moyenne
131.13.2 Valeur efficace
14 Marc Sanchezpage 1http://eleectrotechnique.f r
Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques1 Calcul des valeurs moyennes et efficaces1.1 Situation
Les convertisseurs d"énergie électroniques sont descommutateurs statiquesqui permettent d"effectuer les opérations contenues dans la figure 1:Figure 1: Convertisseurs d"énergie électroniquesLa tension électrique générée par ces convertisseurs possède des caractéristiques très variées
(forme, amplitude, fréquence, etc) dont le mesurage demande quelques connaissances techniques afin d"éviter des risques d"erreurs.Marc Sanchezpage 2http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseursd"énergie électroniques1.1.1 Principes utilisés pour calculer les valeurs moyennes et efficaces
Lorsqu"un courant variable (figure 2a) circule dans un circuit, sa valeur atteinte au cours d"un tempst1décrit une courbe, dont l"aire calculée sur unepériode T(2c) de l"onde représente sa valeur moyenneIC, égale à 5 A dans le cas de la figure 2.Figure 2: (a)(b)(c)Valeur moyenneLorsqu"on effectue des mesurages de contrôles ou destinés au dimensionnement, la valeur à
prendre en considération n"est la valeur moyenne, mais la valeurR.M.Sdes signaux. La valeurR.M.S d"un courant i(t)
2correspond à la quantité de courant continu I qui produirait le même
effet joule dans une charge résistive, sachant que l"effet thermique produit est proportionnel aucarré du courant moyen sur unepériode Tdu signal. Ce problème un peu difficile à décoder,
peut être résumé comme sur la figure3. Le signal traité est celui de la figure2a.Figure 3: (a)(b)(c)Valeur efficace1.3(a) On élèv eau c arréI sur une période T :ici I2=100An"existe que de 0 à t1.
2.3(b) On calcul ela v aleurmo yennedu courant obtenu: =50A
3. 3(c) On calcule la raci necarrée du courant obtenu: c"est le courant ef ficaceou R.M.S:
q1.1.2 Connclusion
1. L "écartentre v aleurmo yenneet v aleuref ficacemet en évidence que ces grandeurs ne sont pas interchangeables:2ou d"une tension u(t), pourvu que le signal soit périodiqueMarc Sanchezpage 3http://eleectrotechnique.f r
Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseursd"énergie électroniques•
1.2 Signal périodique quelconque
Laforme variéeprise par les tensions et les courants complique le calcul de ces grandeursélectriques qui nécessite souvent l"usage ducalcul intégral.Ces calculs revêtent un intérêt
tout particulier si on désire affiner ses connaissances dans le domaine du mesurage des grandeurs électriquesR.M.S,T.R.M.S,harmoniques...Etc.1.3 Précisions
Les calculs effectués ci-dessous pour les tensions peuvent s"appliquer aussi aux courants.La valeur efficace se note U ou V sans indice mais apparait ici notéeUef fouVef fafin de simplifier la lecture du document.D"autre part,j"ai choisi d"exprimer les valeurs moyennes etefficaces en fonction de la variableqpour alléger l"écriture des différentes expressions, car
exprimer ces expressions en fonction du tempstfait intervenir la pulsationw.1.4 Mesurages
Chaque calcul donne lieu à un mesurage auscopmeterde chezFlukequi valide les valeurs trouvées à l"aide des relations.1.5 Rappels
1.5.1 Valeur moyenne
La valeur moyenne d"une tension ou d"un courant se calcule sur une période en suivant les relations générales (1) ou (2) suivant la variable choisie :touq.Figure 4: Signal sinusoïdal3
L"appareil utilisé pour étayer les exemples traités dans ce cours effectue le mesurage simultané de la valeur
efficace et de la valeur moyenneMarc Sanchezpage 4http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques0v(t)dt(1)
0v(q)dq(2)
1.5.2 Valeur efficace
Idem pour la valeur efficace qui s"exprimera à l"aide de (3) ou (4): U ef f=s1 T Z T0v2(t)dt(3)
U ef f=s1 2pZ 2p0v2(q)dq(4)
1.5.3 Repères et relations simplificatricesvaleur moyenne
Vvaleur maximale
VouV ef fvaleur r.m.s ou efficace fonction:f(x) =sin(x)primitive:F(x) =cos(x)fonction:f(x) =cos(x)primitive:F(x) =sin(x)sin2(x) =1cos(2x)2•
cos2(x) =1+cos(2x)2•
fonction:f(x) =cos(2x)primitive:F(x) =12 sin(2x)1.5.4 Quelques valeurs remarquables à connaître •cos p6cos p4cos p3cos p2cos2p3cospsin
p6sin p4sin p3sin p2sin2p3sinpvaleur exactep3
2p22120-0.5012p22p3
21p320 valeur approchée0,8060,7070,50-0.500.50.7070,80610,8060
1.6 Signal rectangulaire ou carré
Le calcul intégral est bien sur inutile comme nous venons de le voir dans le cas d"un signal rectangulaire, mais il constitue un test intéressant pour notre premier essai de calcul de valeur moyenne et de valeur efficace.Marc Sanchezpage 5http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniquesFigure 5: Signal rectangulaire1.6.1 Valeur moyenne
Utilisons l"équation (1) pour calculer la valeur moyenneT0v(t)dt=1T
R T20Edt+1T
R TT20dt=ET
(t)T2 0=ET (T2 ) =E2 =50VFigure 6: Valeur moyenne1.6.2 Valeur efficace
Utilisons l"équation (3) pour rester homogène avec le calcul effectué précédemment:observons
la figure 3 qui nous rappelle graphiquement la marche à suivre pour calculer la valeur efficace d"une grandeur électrique.Figure 7: Valeur efficaceU
ef f1=r1 T RT0v2(t)dt=r1
T R T20E2(t)dt=rE
2T (T20) =rE
22=70;7VMarc Sanchezpage 6http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques1.7 Signal sinusoïdal
Oscillogrammes des tensions v etv2
Figure 8: Valeur efficaceSi on observe la figure8, on remarque quev2est toujours positive avec pour conséquence de
modifier la période du signal : T = 10ms.Le calcul de la valeur efficace s"effectuera donc sur l"intervalle (0 -T2 ) ou (0 -p). Une autre conséquence de l"élévation au carré introduite par la méthode de calcul : la valeur r.m.s d"une grandeur électrique esttoujours positivequelle que soit la source d"alimentation.1.7.1 Valeur moyenne
Nous allons utiliser l"équation (2) pour calculer la valeur recherchée: la tension est de la forme
v(q) =ˆVsin(q), elle est représentée en bleu sur la figure (4). Nous pouvons anticiper le résultat
car les 2 aires formées par les 2 alternances sont égales, par conséquent, la valeur moyenne
2p0v(q)dq=12pR
2p0ˆVsin(q)dq=12pR
p0ˆVsin(q)dq12pR2ppˆVsin(q)dq=
0V1.7.2 Valeur efficace
utilisons l"équation (4): U ef f2=r1 2pR2p0v2(q)dq=r1
p R p0v2(q)dq=r1 p R p0(ˆVsin(q))2dq=r2V2p R p0sin2(q)dq=sˆ V2p R p01cos(2q)2 dq=sˆ V22pR p01cos(2q)dq=sˆ V22p qsin(2q)2 p 0 =sˆV22p(p) =ˆVp2
Voici l"origine dup2 tant utilisé. On comprend maintenant que cette valeur (FC : facteurde crête pour les analyseurs) qui est un des indicateurs de déformation d"un signal sinusoïdal,
si elle s"écarte de 1,41 comme dans la figure (5).Marc Sanchezpage 7http://eleectrotechnique.f r Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniquesFigure 9: Mesurage Fluke 4341.8 Redressement monoalternance
1.8.1 Oscillogrammes
Figure 10: Redressement monoalternance1.8.2 Valeur moyenne la tension redressée est de la formev(q) =ˆVsin(q)avec une tension redressée nulle sur l"intervalle [p2p],par conséquent il vient:2p0ˆVsin(q)dq=ˆV2p[cosq)]p04=ˆV2p[cosq]0p=ˆV2p(cos0cosp) =
V2p[1(1)] =ˆV2p
1.8.3 Valeur efficace
U ef f3=r1 2pR2p0v2(q)dq=r1
2pR p0(ˆVsin(q))2dq=rˆ V22pR p0sin2(q)dq=sˆ V22pR p01cos(2q)2 dq=sˆ V24pR p01cos(2q)dq=sˆ V24p qsin(2q)2 p 0 =sˆV24p(p) =ˆV2
4L"inversion des bornes d"intégration simplifie l"expression en supprimant le signe (-) devant lecosqMarc Sanchezpage 8http://eleectrotechnique.f r
Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques1.9 Redressement bialternance1.9.1 Oscillogrammes
Figure 11: Redressement bialternance1.9.2 Valeur moyenne La période du signal estp, par conséquent1.9.3 Valeur efficace
U ef f4=r1 p R p0v2(q)dq=r1 p R p0(ˆVsin(q))2dq=rˆ V2p R p0sin2(q)dq=sˆ V2p R p01cos(2q)2 dq=sˆ V22pR p01cos(2q)dq=sˆ V22p qsin(2q)2 p 0 =sˆV22p(p) =ˆVp2
1.10 Redressement triphasé - Pont P3
Figure 12: Pont P35
L"inversion des bornes d"intégration simplifie l"expression en supprimant le signe (-) devant lecosqMarc Sanchezpage 9http://eleectrotechnique.f r
Post-bac:calcul des valeurs moyennes et efficaces sur les convertisseurs d"énergie électroniques1.10.1 Valeur moyenne