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Valeur moyenne - valeur efficace Un groupe de l'IREM de Limoges s'est intéressé à la liaison math-physique dans les sections STI, en première et terminale

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Réponses : RMS= Root Mean Square (Racine-Moyenne-Carré): Racine carrée de la valeur Moyenne du signal au carré Valeur efficace d'une fonction périodique

[PDF] Chapitre 02 Valeurs moyenne et efficace de signaux périodiques

Valeur efficace d'un signal périodique : A Intérêt physique de cette grandeur : La valeur efficace n'est pas observable/mesurable directement sur la représentation  

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Retenir : < cos(ωt + ϕ) >= 0 < sin(ωt + ϕ) >= 0 la valeur moyenne d'un sinus (ou d'un cosinus) est nulle III Valeur efficace d'un signal 1 Définition Les signaux 

[PDF] Petites variations et valeurs moyennes

Introduction au cours de physique (1) On donne comme valeurs moyennes : TT = 300 K, TS = 6 000 K et D 3) la valeur moyenne de la puissance < p(t) > §

[PDF] Valeur moyenne, valeur efficace - Cours de mathématiques de

1- Connaître le sens physique de la valeur moyenne et de la valeur efficace d'un signal 2- Calculer des valeurs moyenne et efficace à partir d'oscillogrammes

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- Saisir le sens physique de la valeur moyenne et de la valeur efficace d'une tension ou d'un courant - Savoir calculer, pour des formes de signaux simples, les 

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possède un sens physique 2 - Valeur moyenne et valeur quadratique moyenne a - valeur moyenne de x(t) = A cos(ωt + φ) sur une période T = 2π/ω On la note 

[PDF] Physique appliquée BTS 1 Electrotechnique

Exercice 2 : Calculer la valeur moyenne de ce signal : Surface sous la courbe notée : A Page 6 Calcul des valeurs moyennes et efficaces Page 6 sur 11

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Introduction au cours de physique (1)

Exercices : Petites variations, valeurs moyennes

?Calculs de petites variations oM´ethode 1.-De mani`ere g´en´erale : il est souvent plus simple de faire une diff´erentiation simple ou logarithmique des expressions math´ematiques sans calculer de d´eriv´ee partielle. ???Ex-1.1Temp´erature `a la surface des plan`etes

La temp´eratureTT`a la surface de la Terre est reli´ee `a la temp´erature de surface du SoleilTS

par une relation de la forme :T4T=KT4S D2, o`uKest une constante etDla distance Terre-Soleil (cette loi enT4s"appelle" loi du corps noir »). On donne comme valeurs moyennes :TT= 300K,TS= 6000KetD= 150.106km.

1)Dans cette question,TSest suppos´ee constante. De quelle distance faudrait-il quela Terre

se d´eplace pour faire varier sa temp´erature de 1 ◦C? Que peut-on pr´evoir sur Mars (D= 200 millions dekm) et sur v´enus (D= 108 millions dekm)?

2)De combien de degr´es la temp´erature de surface du Soleil varie-t-elle lorsqueTTvarie de 1◦C?

???Ex-1.2Volume d"un cylindre On consid`ere un cylindre de dimensionsR=R0= 0,1meth=h0= 0,1m.

Quelle est la variation relative de son volume :

1)quand on diminue le rayon de 1mm?

2)quand on diminue le rayon de 1mmet que l"on augmente la hauteur de 1mm?

???Ex-1.3Compression adiabatique d"un gaz parfait On consid`ere un gaz de volumeV=V0= 0,1m3et de pressionP=P0= 105Paenferm´e dans un cylindre surmont´e d"un piston. On appuie rapidement sur le piston jusqu"`a diminuer le volume de 1L. On utilise comme mod`ele de gaz celui du gaz parfait et comme mod`ele de transformation celui

de la transformation adiabatique ( ´echanges thermiques nuls entre le gaz et le milieu ext´erieur).

Dans ces conditions, pression et volume sont li´es par la"loi de Laplace»:PVγ=cte(γ= 1,4).

1)CalculerΔP

P0?dPP0, la variationrelativede pression correspondante (en %).

2)Puis calculer ΔP?dP, la variationabsoluede pression.

???Ex-1.4Horloge `a balancier Le balancier d"une horloge qui bat la seconde est assimilable `a un pendule simple. On rappelle la relation entre p´eriodeTet longueurl:

T= 2π?l

g(On prendrag= 9,81m.s-2)

1)Quelle est la p´eriodeT0du blancier de l"horloge?

2)Calculer la longueurl0de ce balancier.

3)Que vaut ΔT, variation de la p´eriode, pour une petite variation de la longueur Δl= 1cm?

©Indications :Comme Δl?l0, on peut utiliser le calcul diff´erentiel avec la notation infi- nit´esimale : Δl?dlet ΔT?dT.

4)On d´esire que la pr´ecision du fonctionnement de l"horlogesoit de 1spar jour.

→Quelle doit ˆetre alors la pr´ecision Δlsur la valeur de la longueur? Exercices - Petites variations et valeurs moyennes2008-2009 ???Ex-1.5Satellite artificiel soumis `a des frottements L"´energie m´ecaniqueEmet la vitessevd"un satellite en orbite circulaire sont donn´ees en fonction du rayonrde son orbite par les relations : E m=-1

2GmTmretv=?GmTr

Dans ces expressionsGest la cte de gravitation universelle,mTla masse de la terre etmcelle du satellite et l"´energie m´ecanique est n´egative.

1)lorsque, par suite des frottements, son ´energie m´ecanique diminue : ΔEm?dEmest de quel

signe? Comment varie le rayon? et la vitesse?

2)L"´energie m´ecanique diminue de 1%. Que vaut la variation relative du rayon? de la vitesse?

???Ex-1.6Rep´erage et d´eplacement ´el´ementaire d"un point (**, cf. cours de M´ecanique)

Il y a diff´erentes mani`eres de rep´erer un pointMdans l"espace. Par exemple, on peut utiliser les coordonn´ees cart´esiennes (x,y,z) ou bien les coordonn´ees sph´eriques (r,θ,?). Les relations de passage des coordonn´ees sph´eriques aux coordonn´ees cart´esiennes sont :???x=rcos?sinθ y=rsin?sinθ z=rcosθ. On suppose queMde d´eplace de mani`ere ´el´ementaire autour de sa position initiale jusqu"au pointM?: Selon qu"on utilise les coordonn´ees cart´esiennes ou les coordonn´ees sph´eriques, on peut ´ecrire : M x0-→M?x0+ dx y0y0+ dy z0z0+ dzetM r0-→M?r0+ dr

θ0θ0+ dθ

?0?0+ d?. OM x y x 0y 0z 0 r0θ0 0z ?M?

1)Exprimer les d´eplacements´el´ementaires selon les troisdirections du rep`ere cart´esien (diff´erentielles

dx, dy, dz) en fonction des variations ´el´ementaires dr, d?et dθ.

2)En d´eduire dr, dθet d?en fonction de dx, dyet dz.

3)v´erifier que cela est compatible avec les relations de passage des coordonn´ees cart´esiennes

aux coordonn´ees sph´eriques :? r=? x2+y2+z2; cosθ=z?x2+y2+z2; tan?=yx? ?D´eriv´ees ???Ex-1.7Calcul d"une d´eriv´ee

Calculer la d´eriv´ee temporelle de la fonction fonctionsf(t) =Aexp(λt)cos(ωt+?) dans lesquelles

A,λ,ωet?sont des constantes.

Que peut-on dire des dimensions et des unit´es deA,λ,ω? ???Ex-1.8Fonction d"´etat d"un gaz parfait

Les param`etres d"un gaz qui suit le mod`ele du gaz parfait sont r´egis par la fonction d"´etat :

PV=nRTo`u la pression apparaˆıt comme une fonction des variablesT,Vetn. 1)

´EcrirePsous la formeP=P(T,V,n)

2)D´eterminer les d´eriv´ees partielles d"ordre 1 :∂P

∂T,∂P∂Vet∂P∂n.

3)En d´eduire les d´eriv´ees crois´ees d"ordre 2 :∂2P

∂V ∂T,∂2P∂n∂T,∂2P∂T∂V,∂2P∂n∂V,∂2P∂T∂net∂2P∂V ∂n.

Quelle propri´et´es des d´eriv´ees crois´ees a-t-on mis en ´evidence?

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009Exercices - Petites variations et valeurs moyennes

?Fonctions du temps et valeurs moyennes ???Ex-1.9Fonctions sinuso¨ıdales

1)Repr´esenter sur un mˆeme graphe les fonctions cosωtet cos2ωtapr`es avoir lin´earis´e cette

deuxi`eme fonction.

2)On noteT=2π

ωla p´eriode des oscillations de la premi`ere fonction. →Quelle est alors la p´eriode des oscillations de la deuxi`eme?

3)Calculer les valeur moyennes de cos(ωt+?) et de cos2(ωt+?).

V´erifier graphiquement ce calcul.Retenir les r´esultatset les utiliser pour l"exercice suivant.

???Ex-1.10Intensit´e et puissance ´electrique en r´egime sinuso¨ıdal

Soientu(t) =U⎷

2cos(ωt+?) la tension aux bornes d"un dipˆole eti(t) =I⎷2cos(ωt) l"intensit´e

qui traverse le dipˆole. La puissance instantan´ee re¸cue par le dipˆole vautp(t) =u(t)i(t). Calculer :

1)la valeur moyenne de l"intensit´e< i(t)>.

2)la valeur efficace de l"intensit´eIeff

3)la valeur moyenne de la puissance< p(t)>.

???Ex-1.11Redressement mono-alternance

On consid`ere un circuit en r´egime sinuso¨ıdal dans lequelune diode ne laisse passer que les

alternances positives du courant. Recopier les graphes de l"exercice" Fonctions sinusoïdales », et y tracer au stylo rouge les alternances qui correspondraient `a un couranti(t) positif de valeur crˆete ´egale `aImax= 1A, puis le graphe correspondant `ai2(t).

1)Quelles sont les p´eriodes dei(t) et dei2(t)?

2)D´efinir la fonctioni(t) en distinguant deux intervalles de temps. Calculer< i >et< i2>.

Quelle est alors la valeur efficace du courant?

?D´eveloppements limit´es ???Ex-1.12Limite de visibilit´e On suppose la terre sph´erique, de rayonR= 6400km.

1)Depuis le pointA`a une altitudeH=A?Aau-dessus du niveau du

sol terrestre on observe l"horizon : on voit donc jusqu"au pointBde la surface terrestre. D´eterminer la limite de visibilit´el, longueur de l"arc de cercleA?B.

2)En d´eduire jusqu"`a quelle distance on peut voir, par beau temps,

depuis le sommet de la TourEiffelsachant que le troisi`eme ´etage est `a 276mau-dessus du sol.HA B A" OR ql qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3 Exercices - Petites variations et valeurs moyennes2008-2009

Solution Ex-1.1

En consid´erant que les variations des variables -TTetDen1),TTetTSen2)- sont assimilables `a des petits accroissements, on peut appliquer le calcul diff´erentiel.

1)•T4T=KT2S

D2-→4lnTT= lnK+ 4lnTS-2lnD-→4dTTTT= 4dTSTS-2dDD(?).

Si la temp´erature de la Terre chute de 1

◦C, ΔTT=-1K. Et dans cette questionTSest suppos´ee fixe (dTS= 0), d"o`u :

ΔD=-2DΔTT

TT(??) =?ΔD=-2DΔTTTT=-2.150.106-1300= 106km

Cl :il faudrait que la Terre s"´eloigne d"unmilliondekilom`etres du Soleil pour que la temp´erature

en surface chute de 1 ◦C.

•On peut d´eduire de (??) la temp´erature qu"aurait la Terre si elle se trouvait sur l"orbite de

Mars (ou de V´enus) en imaginant pour cela que la Terre s"´eloigne (ou se rapproche) du Soleil d"une distance ΔD: (??) =?ΔTT=-TT

2ΔDD(avecTT= 300KetD= 150.106km)

A partir de ce mod`ele, on peut d´eduire l"ordre de grandeursdes temp´eratures de Mars ou de V´enus qui sont des plan`etes comparables en taille et en constitution `a la Terre (plan`etes telluriques) : •ΔD=DMars-DTerre= +70.106km, soit : ΔTT=TM-TT=-70K, et doncTM= 230K?tM=-43◦C ce qui est l"ordre de grandeur, les temp´eratures sur Mars ´evoluant entre 0 et-70◦C. •ΔD=DV´enus-DTerre=-42.106km, soit : ΔTT=TV-TT= +42K, et doncTV= 342K?θV= +69◦C ...ce qui ne correspond pas du tout aux mesures effectu´ees donnant une temp´eraturetV≂ 480

◦C! ceci vient du fait que, sur V´enus, l"" effet de serre » est bien plus important que sur Terre.

2)Détant fixe :ΔD= 0. Alors(?)?dTT

TT=dTSTS.

SupposerΔTT= +1◦C(sans autre origine que le Soleil) implique une élévation de la température

du Soleil de :

ΔTS=TS

TTΔTT= +20◦C

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2008-2009Exercices - Petites variations et valeurs moyennes

Solution Ex-1.9

1)cos2(ωt) =12+12cos(2ωt).

2)cos2(ωt) =1

2+12cos(ω?t)

avec 2π

T?≡ω?= 2ω=πT, soitT?=T2.

cos2ωt cosωtt TT?3T 4T4 0 1 -1

3)•≡1

T? T 0 cos(ωt+?)dt=1ωT? sin(ωt+?)? T 0= 0 zRetenir :Les moyennes temporelles d"uncosinusou d"unsinussont nulles : == 0

• Pour calculer la moyenne decos2(ωt+?), on peut travailler sur sa périodeT?ou conserver la

duréeTqui correspond au double (multiple entier, donc) de cette périodeT?: ≡1 T? T 0 cos2(ωt+?)dt=1T? T 0?

12+12cos(2ωt)?

dt=12T? T 0 dt+12T? T 0 cos(2ωt)dt

Soit :=1

2T? 1? T

0+12T?

12ωsin(2ωt+?)?

T 0=12

zRetenir :La moyenne temporelle d"uncosinus(ou d"unsinus)´elev´e au carr´eest ´egale `a 1/2:

==12

Solution Ex-1.10

1)D"après ce qui précède :< i(t)>= 0car= 0.

2)La calcul deIeffa été effectué en classe (IP1/II.12) :Ieff=?

< i2(t)>=Imax⎷2pour un régime sinusoïdal. Comme ici,Imax=I⎷

2, on en déduit que :Ieff=I.

zRetenir :En r´egime sinuso¨ıdal, il est ´equivalent d"´ecrire : i(t) =Imaxcos(ωt+?) ou bieni(t) =Ieff⎷2cos(ωt+?)carIeff=Imax⎷2

3)En utilisant la linéarisation decosacosb, on trouve que< p(t)>=< u(t).i(t)>=UIcos?.

Solution Ex-1.11

1)les signauxi(t)eti2(t)ont la même périodeT=2πω.

2)i(t) =???????0pourt??T

4,3T4?

I

2cosωtpourt??3T4,5T4?

•< i(t)>=1 T? 5T 4 T

4i(t)dt=1T?

5T 4 3T

4cos(ωt)dt

cos2ωt cosωtt T2TT

23T4T4i(t), i2(t)

0 1 -1

On trouve :< i(t)>=I⎷

2

π=Imaxπ.

• Sur le même intervalle, on a :< i2(t)>=I2

2, soit :Ieff=I⎷2=I2.

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