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paramètres varient; on en déduira que les fonctions Sinus et Cosinus ont oujours une valeur moyenne nulle; - régler les deux sinusoïdes à la même fréquence
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Définitions La valeur moyenne d'un signal périodique est la moyenne des valeurs instantanées mesurées sur une période complète Si T désigne la période
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de l'intensité Ieff 3) la valeur moyenne de la puissance < p(t) > Recopier les graphes de l'exercice « Fonctions sinusoïdales », et y tracer au stylo rouge les
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Introduction au cours de physique (1)
Exercices : Petites variations, valeurs moyennes
?Calculs de petites variations oM´ethode 1.-De mani`ere g´en´erale : il est souvent plus simple de faire une diff´erentiation simple ou logarithmique des expressions math´ematiques sans calculer de d´eriv´ee partielle. ???Ex-1.1Temp´erature `a la surface des plan`etesLa temp´eratureTT`a la surface de la Terre est reli´ee `a la temp´erature de surface du SoleilTS
par une relation de la forme :T4T=KT4S D2, o`uKest une constante etDla distance Terre-Soleil (cette loi enT4s"appelle" loi du corps noir »). On donne comme valeurs moyennes :TT= 300K,TS= 6000KetD= 150.106km.1)Dans cette question,TSest suppos´ee constante. De quelle distance faudrait-il quela Terre
se d´eplace pour faire varier sa temp´erature de 1 ◦C? Que peut-on pr´evoir sur Mars (D= 200 millions dekm) et sur v´enus (D= 108 millions dekm)?2)De combien de degr´es la temp´erature de surface du Soleil varie-t-elle lorsqueTTvarie de 1◦C?
???Ex-1.2Volume d"un cylindre On consid`ere un cylindre de dimensionsR=R0= 0,1meth=h0= 0,1m.Quelle est la variation relative de son volume :
1)quand on diminue le rayon de 1mm?
2)quand on diminue le rayon de 1mmet que l"on augmente la hauteur de 1mm?
???Ex-1.3Compression adiabatique d"un gaz parfait On consid`ere un gaz de volumeV=V0= 0,1m3et de pressionP=P0= 105Paenferm´e dans un cylindre surmont´e d"un piston. On appuie rapidement sur le piston jusqu"`a diminuer le volume de 1L. On utilise comme mod`ele de gaz celui du gaz parfait et comme mod`ele de transformation celuide la transformation adiabatique ( ´echanges thermiques nuls entre le gaz et le milieu ext´erieur).
Dans ces conditions, pression et volume sont li´es par la"loi de Laplace»:PVγ=cte(γ= 1,4).
1)CalculerΔP
P0?dPP0, la variationrelativede pression correspondante (en %).2)Puis calculer ΔP?dP, la variationabsoluede pression.
???Ex-1.4Horloge `a balancier Le balancier d"une horloge qui bat la seconde est assimilable `a un pendule simple. On rappelle la relation entre p´eriodeTet longueurl:T= 2π?l
g(On prendrag= 9,81m.s-2)1)Quelle est la p´eriodeT0du blancier de l"horloge?
2)Calculer la longueurl0de ce balancier.
3)Que vaut ΔT, variation de la p´eriode, pour une petite variation de la longueur Δl= 1cm?
©Indications :Comme Δl?l0, on peut utiliser le calcul diff´erentiel avec la notation infi- nit´esimale : Δl?dlet ΔT?dT.4)On d´esire que la pr´ecision du fonctionnement de l"horlogesoit de 1spar jour.
→Quelle doit ˆetre alors la pr´ecision Δlsur la valeur de la longueur? Exercices - Petites variations et valeurs moyennes2008-2009 ???Ex-1.5Satellite artificiel soumis `a des frottements L"´energie m´ecaniqueEmet la vitessevd"un satellite en orbite circulaire sont donn´ees en fonction du rayonrde son orbite par les relations : E m=-12GmTmretv=?GmTr
Dans ces expressionsGest la cte de gravitation universelle,mTla masse de la terre etmcelle du satellite et l"´energie m´ecanique est n´egative.1)lorsque, par suite des frottements, son ´energie m´ecanique diminue : ΔEm?dEmest de quel
signe? Comment varie le rayon? et la vitesse?2)L"´energie m´ecanique diminue de 1%. Que vaut la variation relative du rayon? de la vitesse?
???Ex-1.6Rep´erage et d´eplacement ´el´ementaire d"un point (**, cf. cours de M´ecanique)
Il y a diff´erentes mani`eres de rep´erer un pointMdans l"espace. Par exemple, on peut utiliser les coordonn´ees cart´esiennes (x,y,z) ou bien les coordonn´ees sph´eriques (r,θ,?). Les relations de passage des coordonn´ees sph´eriques aux coordonn´ees cart´esiennes sont :???x=rcos?sinθ y=rsin?sinθ z=rcosθ. On suppose queMde d´eplace de mani`ere ´el´ementaire autour de sa position initiale jusqu"au pointM?: Selon qu"on utilise les coordonn´ees cart´esiennes ou les coordonn´ees sph´eriques, on peut ´ecrire : M x0-→M?x0+ dx y0y0+ dy z0z0+ dzetM r0-→M?r0+ drθ0θ0+ dθ
?0?0+ d?. OM x y x 0y 0z 0 r0θ0 0z ?M?1)Exprimer les d´eplacements´el´ementaires selon les troisdirections du rep`ere cart´esien (diff´erentielles
dx, dy, dz) en fonction des variations ´el´ementaires dr, d?et dθ.2)En d´eduire dr, dθet d?en fonction de dx, dyet dz.
3)v´erifier que cela est compatible avec les relations de passage des coordonn´ees cart´esiennes
aux coordonn´ees sph´eriques :? r=? x2+y2+z2; cosθ=z?x2+y2+z2; tan?=yx? ?D´eriv´ees ???Ex-1.7Calcul d"une d´eriv´eeCalculer la d´eriv´ee temporelle de la fonction fonctionsf(t) =Aexp(λt)cos(ωt+?) dans lesquelles
A,λ,ωet?sont des constantes.
Que peut-on dire des dimensions et des unit´es deA,λ,ω? ???Ex-1.8Fonction d"´etat d"un gaz parfaitLes param`etres d"un gaz qui suit le mod`ele du gaz parfait sont r´egis par la fonction d"´etat :
PV=nRTo`u la pression apparaˆıt comme une fonction des variablesT,Vetn. 1)´EcrirePsous la formeP=P(T,V,n)
2)D´eterminer les d´eriv´ees partielles d"ordre 1 :∂P
∂T,∂P∂Vet∂P∂n.3)En d´eduire les d´eriv´ees crois´ees d"ordre 2 :∂2P
∂V ∂T,∂2P∂n∂T,∂2P∂T∂V,∂2P∂n∂V,∂2P∂T∂net∂2P∂V ∂n.
Quelle propri´et´es des d´eriv´ees crois´ees a-t-on mis en ´evidence?2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009Exercices - Petites variations et valeurs moyennes
?Fonctions du temps et valeurs moyennes ???Ex-1.9Fonctions sinuso¨ıdales1)Repr´esenter sur un mˆeme graphe les fonctions cosωtet cos2ωtapr`es avoir lin´earis´e cette
deuxi`eme fonction.2)On noteT=2π
ωla p´eriode des oscillations de la premi`ere fonction. →Quelle est alors la p´eriode des oscillations de la deuxi`eme?3)Calculer les valeur moyennes de cos(ωt+?) et de cos2(ωt+?).
V´erifier graphiquement ce calcul.Retenir les r´esultatset les utiliser pour l"exercice suivant.
???Ex-1.10Intensit´e et puissance ´electrique en r´egime sinuso¨ıdalSoientu(t) =U⎷
2cos(ωt+?) la tension aux bornes d"un dipˆole eti(t) =I⎷2cos(ωt) l"intensit´e
qui traverse le dipˆole. La puissance instantan´ee re¸cue par le dipˆole vautp(t) =u(t)i(t). Calculer :1)la valeur moyenne de l"intensit´e< i(t)>.
2)la valeur efficace de l"intensit´eIeff
3)la valeur moyenne de la puissance< p(t)>.
???Ex-1.11Redressement mono-alternanceOn consid`ere un circuit en r´egime sinuso¨ıdal dans lequelune diode ne laisse passer que les
alternances positives du courant. Recopier les graphes de l"exercice" Fonctions sinusoïdales », et y tracer au stylo rouge les alternances qui correspondraient `a un couranti(t) positif de valeur crˆete ´egale `aImax= 1A, puis le graphe correspondant `ai2(t).1)Quelles sont les p´eriodes dei(t) et dei2(t)?
2)D´efinir la fonctioni(t) en distinguant deux intervalles de temps. Calculer< i >et< i2>.
Quelle est alors la valeur efficace du courant?
?D´eveloppements limit´es ???Ex-1.12Limite de visibilit´e On suppose la terre sph´erique, de rayonR= 6400km.1)Depuis le pointA`a une altitudeH=A?Aau-dessus du niveau du
sol terrestre on observe l"horizon : on voit donc jusqu"au pointBde la surface terrestre. D´eterminer la limite de visibilit´el, longueur de l"arc de cercleA?B.2)En d´eduire jusqu"`a quelle distance on peut voir, par beau temps,
depuis le sommet de la TourEiffelsachant que le troisi`eme ´etage est `a 276mau-dessus du sol.HA B A" OR ql qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3 Exercices - Petites variations et valeurs moyennes2008-2009Solution Ex-1.1
En consid´erant que les variations des variables -TTetDen1),TTetTSen2)- sont assimilables `a des petits accroissements, on peut appliquer le calcul diff´erentiel.1)•T4T=KT2S
D2-→4lnTT= lnK+ 4lnTS-2lnD-→4dTTTT= 4dTSTS-2dDD(?).Si la temp´erature de la Terre chute de 1
◦C, ΔTT=-1K. Et dans cette questionTSest suppos´ee fixe (dTS= 0), d"o`u :ΔD=-2DΔTT
TT(??) =?ΔD=-2DΔTTTT=-2.150.106-1300= 106km
Cl :il faudrait que la Terre s"´eloigne d"unmilliondekilom`etres du Soleil pour que la temp´erature
en surface chute de 1 ◦C.•On peut d´eduire de (??) la temp´erature qu"aurait la Terre si elle se trouvait sur l"orbite de
Mars (ou de V´enus) en imaginant pour cela que la Terre s"´eloigne (ou se rapproche) du Soleil d"une distance ΔD: (??) =?ΔTT=-TT2ΔDD(avecTT= 300KetD= 150.106km)
A partir de ce mod`ele, on peut d´eduire l"ordre de grandeursdes temp´eratures de Mars ou de V´enus qui sont des plan`etes comparables en taille et en constitution `a la Terre (plan`etes telluriques) : •ΔD=DMars-DTerre= +70.106km, soit : ΔTT=TM-TT=-70K, et doncTM= 230K?tM=-43◦C ce qui est l"ordre de grandeur, les temp´eratures sur Mars ´evoluant entre 0 et-70◦C. •ΔD=DV´enus-DTerre=-42.106km, soit : ΔTT=TV-TT= +42K, et doncTV= 342K?θV= +69◦C ...ce qui ne correspond pas du tout aux mesures effectu´ees donnant une temp´eraturetV≂ 480◦C! ceci vient du fait que, sur V´enus, l"" effet de serre » est bien plus important que sur Terre.
2)Détant fixe :ΔD= 0. Alors(?)?dTT
TT=dTSTS.
SupposerΔTT= +1◦C(sans autre origine que le Soleil) implique une élévation de la température
du Soleil de :ΔTS=TS
TTΔTT= +20◦C
4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009Exercices - Petites variations et valeurs moyennes
Solution Ex-1.9
1)cos2(ωt) =12+12cos(2ωt).
2)cos2(ωt) =1
2+12cos(ω?t)
avec 2πT?≡ω?= 2ω=πT, soitT?=T2.
cos2ωt cosωtt TT?3T 4T4 0 1 -13)•≡1
T? T 0 cos(ωt+?)dt=1ωT? sin(ωt+?)? T 0= 0 zRetenir :Les moyennes temporelles d"uncosinusou d"unsinussont nulles : • Pour calculer la moyenne decos2(ωt+?), on peut travailler sur sa périodeT?ou conserver la
duréeTqui correspond au double (multiple entier, donc) de cette périodeT?:12+12cos(2ωt)?
dt=12T? T 0 dt+12T? T 0 cos(2ωt)dtSoit :=1
2T? 1? T 0+12T?
12ωsin(2ωt+?)?
T 0=12zRetenir :La moyenne temporelle d"uncosinus(ou d"unsinus)´elev´e au carr´eest ´egale `a 1/2: