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Activité 2 : Calcul de la valeur moyenne de la fonction définie par y = t cos A ω 1 2 3 4 5 6 A - Définition de la valeur efficace d'une fonction périodique (en
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Intégrale simple d'une fonction Objectifs : Détermination de la valeur moyenne d' un signal périodique Méthode de travail : Les signaux périodiques que nous
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Valeur moyenne d'un signal périodique s(t) un signal périodique de période T On note < s(t) > sa valeur moyenne ce qui peut être utile quand la fonction
[PDF] Chapitre 02 Valeurs moyenne et efficace de signaux périodiques
Dans ce chapitre, on souhaite apprendre à déterminer et à mesurer la valeur moyenne et la valeur efficace d'un signal périodique (motif simple ou complexe) à
une fonction presque-périodique Application au calcul dintégrales
ce phénomène soit « permanent en moyenne » et proposons-nous de calculer la valeur moyenne de la fonction A En effectuant un changement de variable,
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Remarque : dans le cas où f est une fonction à la fois du temps et de l'espace (f(x, t) ou f(r, t)), la valeur moyenne n'est qu'une moyenne par rapport au temps
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Tension ou courant sinusoïdal : Grandeurs périodiques qui évoluent en fonction du temps comme une sinusoïde Exercice d'application n°1 Pouvezvous qualifier
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Proposition 3 Toute fonction périodique continue par morceaux est bornée Si f est `a valeurs réelles, ses coefficients trigonométriques an(f) et bn(f) sont tous réels • Si f est paire, puis grâce `a sa parité et au fait qu'il soit de moyenne 1,
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A+too 2A J-A 1 Valeur moyenne d'une fonction périodique (a) Calculer la valeur moyenne de chacune des fonctions suivantes : C1:t #cost S:t Hsin 2t Co:t H 1
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CARACTÉRISTIQUES D"UN SIGNAL
I. Signal périodique
1. Période, fréquence
La périodeTd"un signal est la plus petite durée au bout de laquelle le signal se reproduit identique à lui-même. s(t+T) =s(t)La fréquence correspond au nombre de périodes par unité de temps : f=1TL"unité SI defest le hertz :1Hz=1s1.
2. Signal sinusoïdal
On considère un signal de la forme :
s(t) =acos(! t+') aamplitude du signal (aest de même dimension ques) ! t+'phase du signal 'phase àt= 0'2[;] !pulsation du signalTpériode du signalT=2!
ffréquence du signalf=1T (s1=Hz) 1Remarque :
En TP, on utilise des GBF pour produire une tension sinusoïdale. Il faudra bien distinguerl"amplitude et l"amplitude crête à crête (ou peak to peak) qu"affichent généralement les GBF
et qui représente l"écart entre la valeur maximale et la valeur minimale d"un signal. Pour un signal sinusoïdal, la valeur peak to peak vaut le double de l"amplitudeVPP= 2a.Soient :
s1(t) =acos! t
s2(t) =acos(! t')avec'2[0;]
s3(t) =acos(! t+ )avec 2[0;]
On dit ques2est en retard de phase de'par rapport às1ets3est en avance de phase de par rapport às1.Retard de phase
s2(t) =acos(! t') =acos!(t'!
) =acos(! t0)avect0=t'! . La courbe est inchangée dans un repère d"origineO0avect0= 0pourt='! ='2T. La courbeacos(! t')se déduit de la courbeacos(! t)par un décalage temporelt='! '2T:Si'2[0;]alors lacourbes2(t)est décalée vers la droited"une durée comprise entre 0etT2 2Avance de phase
s3(t) =acos(! t+ ) =acos!(t+ !
) =acos(! t0)avect0=t+ ! . La courbe est inchangée dans un repère d"origineO0avect0= 0pourt= ! = 2T. La courbeacos(! t+ )se déduit de la courbeacos(! t)par un décalage temporelt= = 2T:Si 2[0;]alors lacourbes3(t)est décalée vers la gauched"une durée comprise entre 0etT2 Lorsque le déphasage vaut=2, on parle de quadrature de phase avance (pouracos(! t+2 )) ou retard (pouracos(! t2 )). Représenter sur le diagramme ci-dessous, un signal en quatradure de phase retard : acos(!t2 )Représenter de même sur le diagramme ci-dessous le signalacos(! t): acos(!t)Lorsque le déphasage vaut, on dit que les signaux sont en opposition de phase. 3 't='2T2T 2 =24t=T4 3 =26t=T6 =22t=T2II. Valeur moyenne d"un signal périodique
1. Définition
Soits(t)un signal périodique de périodeT. On note< s(t)>sa valeur moyenne. Par définition < s(t)>=1T Z t0+T t0s(t)dt8t0l"intégration se fait sur un intervalle de temps égal à la périodeT, l"originet0pouvant être
choisie arbitrairement. En général, on choisit la valeur det0qui permet les calculs les plus simples. - exemple 1 :t0= 0, on intègre alors de0àT. - exemple 2 :t0=T2 on intègre alors deT2àT2
, ce qui peut être utile quand la fonction s(t)est paire.2. Interprétation graphique
< s(t)> T=Z t0+T t0s(t)dt
R t0+T t0s(t)dtreprésente l"aire sous la courbe sur
une période. < s(t)> Test l"aire du rectangle de côtés < s(t)>etT.La valeur moyenne< s(t)>est celle qui per-
met d"égaler les deux aires.4Retenir :< s(t)>=1T
aire sous la courbe sur une période.Applications : Déterminer la valeur moyenne des signaux suivants :3. Cas particulier du signal sinusoïdal Sur une période, l"aire sous la courbe est nulle (l"aire positive compensant exactement l"aire négative).Retenir :III. Valeur efficace d"un signal
1. Définition
Les signaux sinusoïdaux ont une valeur moyenne nulle. Cependant ils peuvent transmettre de l"énergie.En effet, l"énergie associée à un signal est en général proportionnelle au carrés2(t)de celui-ci
(par exemple, pour un signal sonore, l"énergie est proportionnelle au carré de la surpression).
On a donc intérêt à définir la moyenne quadratique du signal,i.ela valeur moyenne des2(t).
Sis(t)est périodique de périodeTalorss2(t)l"est aussi. La valeur quadratique moyenne du signal vaudra donc, d"après la définition précédente de la valeur moyenne : 5 < s2(t)>=1T
Z t0+T t0s2(t)dt8t0
< s2(t)>a les mêmes dimensions ques(t)2(< s2(t)>sera en Pa2sis(t)est une pression
mesurée en pascal). On souhaite que la valeur efficace du signal soit de même dimension que celui-ci. Il suffit alors de prendre la racine carrée de la valeur quadratique moyenne. On définit ainsi la valeur efficaceseffsur signal par : s eff=p< s2(t)>=s1
T Z t0+T t 0s2(t)dt8t0Application :
Déterminer la valeur efficace du signal ci-
contre2. Cas particulier du signal sinusoïdal a) Valeur moyenne d"uncos2ou d"unsin2 cos2(!t+') =1 + cos(2!t+ 2')2
Retenir :=12
2eff=< s2(t)>=1T
Z t0+T t0a2cos2(!t+')dt=a2=a22
s eff=ap2 La valeur efficace d"un signal sinusoïdal est égale à l"amplitude du signal divisée par p2. 3. Mesures
En TP on utilise des multimètres pour mesurer des tensions et des intensités électriques. On verra qu"un multimètre en position(courant ou tension alternative) mesure la valeurefficace d"un signal sinusoïdal, et d"un signal périodique quelconque (pour cela le multimètre
doit être T.R.M.S. "True Root Mean Square"). Si le multimètre est placé en position = (courant ou tension continue) il renvoie la valeur moyenne du signal.IV. Analyse spectrale d"un signal périodique
1. Analyse de Fourier
Le mathématicien Joseph Fourier (1768-1830) a établi le théorème suivant : Tout signal périodique de périodeT, de fréquencef= 1=T, de pulsation!= 2f, peut s"exprimer sous la forme d"une somme de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples def appeléesérie de Fourier: s(t) =A0++1X k=1Akcos(2kft+'k)Des formules mathématiques permettent de calculer les valeurs desAket des'k, connaissant
l"expression de la fonctions(t).A0correspond à lavaleur moyenne du signal.
En effet :< s(t)>=A0+P+1
k=1Ak2. Spectre du signal
Réaliser l"analyse spectrale d"un signal consiste à déterminer les valeurs desAket des'k. Lespectre en amplitudecorrespond à la représentation graphique desAken fonction des fréquencesfk. Lespectre de phasecorrespond à la représentation graphique des phases initiales'kenfonction des fréquencesfk. Il dépend du choix d"origine des temps, et en général n"est pas
réalisé.3. Spectre en amplitude et valeur efficaceEn général, l"énergie associée à un signal est liée à sa valeur efficace. Le théorème de Parseval
établit la relation :
s2eff=< s2>=1T
Z to+T t os2(t)dt=A20++1X k=1A 2k2:Le carré de la valeur efficace d"un signal est égal à la somme des carrés des valeurs efficaces
de chacune de ses composantes spectrales.4. Synthèse de Fourier
La donnée desAket'kpermet de reconstituer le signal. L"animation proposée par le site ci-dessous permet de visualiser la construction du signal terme à terme (signal carré, signal triangulaire). html 8Exemple 1 : signal créneau
On peut montrer ques(t) =4E
1 X p=0sin[2(2p+ 1)ft]2p+ 1. On a tracé ci-dessous les quatres premiers termes (le fondamental et les harmoniques de rang3,5,7), ainsi que leur somme (en noir).Exemple 2 : signal triangulaire
On peut montrer ques(t) =8E
21X p=0cos[2(2p+ 1)ft](2p+ 1)2. 9 On a tracé ci-dessous les quatres premiers termes (le fondamental et les harmoniques de rang
3,5,7), ainsi que leur somme (en noir).On constate que les amplitudes des harmoniques d"un créneau décroissent moins vite que celle
d"un triangle. Il faudra utiliser plus de termes pour reconstituer le signal créneau que pour reconstituer le signal triangulaire.De plus, les discontinuités du créneau ne peuvent être approchées infiniment près par sa série
de Fourier : quel que soit le nombre de termes utilisés, il restera toujours des petits pics au niveau des discontinuités. On appelle cela le phéomène de Gibbs. voir également feuille de calcul SAGE serie-de-fourier.sws 10quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34