I 4 Factorisation I 4 1 Méthode 1 : Identification des coefficients On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur R de la forme :
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] La première méthode générale de factorisation des polynômes
a utilisé l'interpolation de Lagrange Les deux procédés permettent de factoriser des polynômes dont les degrés et les coefficients sont petits Un algorithme qui
[PDF] Factorisation des polynômes - Annuaire IMJ-PRG
On expose dans ce petit cours la factorisation des polynômes (surtout en une Les deux dernières méthodes fournissent des méthodes pratiques efficaces, pourvu exhiber un polynôme irréductible f de degré e à coefficients dans Z/pZ
[PDF] Factorisation - BDRP
Définition 1 2 On dit qu'un polynôme est factorisé s'il est écrit comme un 1 de degré 1; ou Nous allons voir différentes méthodes qui permettent de factoriser
[PDF] Factorisation des polynômes
Ce texte discute plusieurs méthodes de localisation de racines réelles ou/et complexes d'un polynôme P(X) de degré n Ce texte est très largement inspiré
[PDF] POLYNOMES - Nathalie Daval - Free
I 4 Factorisation I 4 1 Méthode 1 : Identification des coefficients On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur R de la forme :
[PDF] Polynômes - Normale Sup
7 fév 2014 · Par convention, le polynôme nul a pour degré −∞ Cette méthode de utilisé cette propriété pour factoriser des polynômes de degré
[PDF] La factorisation de polynômes
Les polynômes de degré deux, a2x2 + a1x + a0, sont appelées des fonctions quadratiques Les fonctions 3x2 +2x+1, x2 −1 et −x 2 +4x−1 sont quelques
[PDF] Polynômes - Exo7 - Cours de mathématiques
Vidéo · partie 3 Racine d'un polynôme, factorisation en une seule nuit Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞ – Un polynôme de la
[PDF] Les Polynômes
Remarque : Pour le degré 2 on retrouve la proposition 1 On peut en déduire une technique pour complètement factoriser un polynôme : La méthode par
[PDF] dérivée ax2+bx+c
[PDF] tangente horizontale et verticale
[PDF] tangente horizontale en 1
[PDF] tangente horizontale definition
[PDF] comment résoudre tangente horizontale
[PDF] tangente horizontale equation
[PDF] tangente verticale
[PDF] diagonale d'un carré formule
[PDF] cours technologie 3ème cahier des charges
[PDF] farid gabteni biographie
[PDF] exercice corrigé cout marginal
[PDF] comment calculer cout fixe
[PDF] calculer débit ventilatoire moyen sujet repos puis pendant l'effort
[PDF] volume courant effort
![[PDF] POLYNOMES - Nathalie Daval - Free](https://pdfprof.com/Listes/17/24629-1701_Polynomes_cours.pdf.pdf.jpg "[PDF] POLYNOMES - Nathalie Daval - Free")
1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
POLYNOMES
Table des matières
I Fonction polynôme1
I.1 Fonction polynôme de degrén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Egalité de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1
I.3 Racine d"un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2
I.4 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2
I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3 I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4 I.4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4II Second degré5
II.1 Fonction polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5
II.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5
II.3 Solutions de l"équation et factorisation . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.4 Signe du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7
II.5 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8
I Fonction polynôme
I.1 Fonction polynôme de degrén
Définition 1
On appelle fonction polynôme de degrén
toute fonctionPdéfinie surRde la forme :P(x) =a
pxpun le monômede degrépExemple 1
ÔLa fonctionPdéfinie parP(x) = 7x6-5x4+ 3x-11est une fonction polynôme de degré6 ÔLa fonction affineax+baveca?= 0est une fonction polynôme de degré1 ÔLa fonction constantekaveck?= 0est une fonction polynôme de degré0ÔLa fonctionQdéfinie par :Q(x) =x3+x+1
xn"est pas une fonction polynôme http://nathalie.daval.free.fr-1-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
Propriété 1
SoientPetQdes fonctions polynômes non nulles, alors :©deg(PQ) =deg(P) +deg(Q)
Remarque 1
L"inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s"annulerI.2 Egalité de deux polynômes
Théorème 1
SoientPetQdeux fonctions polynômes,P=Qsignifie que :ãdeg(P) =deg(Q)
ãles coefficients des termes de même degré dePetQsont égaux Cas particulier :P= 0est le polynôme nul, ce qui signifie que tous ses coefficients sont nulsExemple 2
ÔLes deux polynômesQ(x) = (x2+⎷
2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)etP(x) =x4+ 1sont égaux :
Q(x) = (x2+⎷
2x+ 1)(x2-⎷2x+ 1)
=x4-⎷2x3+x2+⎷2x3-2x2+⎷2x+x2-⎷2x+ 1
=x4+ 1Q(x) =P(x)
ÔLes polynômesP(x) = 2x2-3x+ 4etR(x) =ax2+bx+csont égaux poura= 2b=-3c= 4I.3 Racine d"un polynôme
Définition 2
On appelle racine
d"une fonction polynômePtoute solutionx0de l"équationP(x) = 0Exemple 3
ÔLes racines de la fonction polynômePdéfinie surRpar :P(x) = (x-1)(x+ 3)(x-2)sont-3,1et2 ÔLes fonctions polynômes du1erdegréax+badmettent toutes une seule racinex0=-b aÔCertaines fonctions polynômes n"ont aucune racine réelle.Par exemplex2+ 1qui est strictement positif
Remarque 2
Une fonction polynôme sans racine réelle est nécessairement de signe constant http://nathalie.daval.free.fr-2-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
Théorème 2
Une fonction polynômePde degrénà coefficients réels possède au plusnracines réelles
I.4 Factorisation
Théorème 3
Si une fonction polynômePà coefficients réels de degréna une racine réellex0alors on peut
factoriserP(x)par(x-x0)et on obtient
P(x) = (x-x
0)Q(x)ouQest une fonction polynôme de degré(n-1)
Remarque 3
On peut essayer de remplacer la variablexpar1,-1,0...et si la valeur du polynôme est0, on dit qu"on a trouvé une " racine évidente » I.4.1 Méthode 1 : Identification des coefficients On considère le polynômefdéfini par :f(x) = 3x4-x3+x2+ 11x+ 6
Une solution évidente estx
0=-1 donc, il existe un polynômegde degré4-1 = 3tel que pour tout réelx: f(x) = (x+ 1)g(x) = (x+ 1)(ax3+bx2+cx+d)
=ax4+bx3+cx2+dx+ax3+bx2+cx+d
=ax4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+d
Les polynômes3x
4-x3+x2+ 11x+ 6etax4+ (b+a)x3+ (c+b)x2+ (d+c)x+dsont égaux, leurs
coefficients le sont aussi : ?a= 3 b+a=-1 c+b= 1 d+c= 11 d= 6donc :???????a= 3 b=-4 c= 5 d= 6Conclusion :f(x) = (x+ 1)(3x
3-4x2+ 5x+ 6)
http://nathalie.daval.free.fr-3-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
I.4.2 Méthode 2 : Division euclidienne
On considère le polynômefdéfini par :f(x) =X4-7X3+ 17X2-17X+ 6
Une solution évidente estX
0= 1donc,f(X)est divisible par(X-1)
On effectue la division euclidienne def(X)par(X-1)en utilisant les mêmes principes que pour la division des nombres X4-7X3+ 17X2-17X+ 6X-1
X4-X3X3-6X2+ 11X-6
-6X3+ 17X2-17X+ 6 -6X3+ 6X2 + 11X2-17X+ 6 + 11X2-11X -6X+ 6 -6X+ 6 0Conclusion :f(X) = (X-1)(3X3-4X2 + 5X+ 6)
I.4.3 Exemple
On souhaite factoriserP(x) =x
3-7x+ 6
1. CalculerP(2)
2. Trouver une racine évidente
3. Conclure sur la factorisation
ÔP(2) = 0, on peut factoriser par(x-2)
ÔP(1) = 0, on peut factoriser par(x-1)
ÔP(x) = (x-2)(x-1)Q(x)avecdeg(P) =deg(x-2) +deg(x-1) +deg(Q) donc,deg(Q) = 3-1-1 = 1P(x)=(x-2)(x-1)(ax+b)
=(x2-x-2x+ 2)(ax+b)
=(x2-3x+ 2)(ax+b)
=ax3+bx2-3ax2-3bx+ 2ax+ 2b
=ax3+ (b-3a)x2+ (-3b+ 2a)x+ 2b
P(x)=x
3-7x+ 6
?a= 1 b-3a= 0 -3b+ 2a=-72b= 6donc :?a= 1
b= 3Conclusion :P(x) = (x-2)(x-1)(x+ 3)
http://nathalie.daval.free.fr-4-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
II Second degré
II.1 Fonction polynôme du second degré
Définition 3
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonctionPde la formeP(x) =ax
2+bx+c
oùa,betcsont des réels aveca?= 0L"expressionax
2+bx+cest appelée trinôme du second degré
Exemple 4
ÔP(x) =x2-7x+ 12, on a :a= 1,b=-7etc= 12
ÔP(x) = 4x2, on a :a= 4,b= 0etc= 0
Ô2x+ 1,6x3+ 4x+ 2et(x-1)2-x2ne sont pas du second degréII.2 Forme canonique
Définition 4
Une expression de la formea(x-α)
2+bs"appelle la forme canoniquedu trinôme
Le principe est de transformer un trinôme du second degré en utilisant les identités remarquables :
Exemple 5
Ôx2-8x+ 7 = (x-4)2-16 + 7 = (x-4)2-9
ÔDans ce cas, les racines sont alors facilement identifiables: résoudrex2-8x+ 7 = 0revient à résoudre(x-4)2-9 = 0Ô(x-4)2-9 = 0??(x-4)2= 9
??x-4 = 3oux-4 =-3 ??x= 7oux= 1ÔS={1;7}
Transformation de l"écritureax2+bx+c:
ax2+bx+c=a?
x2+bax+ca? =a? x+b 2a? 2 -b 24a2+ca?
=a? x+b 2a? 2 -b 2-4ac 4a2 ax2+bx+c=a?
x+b2a? 2 -Δ4a2 avecΔ =b 2-4ac http://nathalie.daval.free.fr-5-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
II.3 Solutions de l"équation et factorisation
Résoudreax2+bx+c= 0revient à résoudrea?
x+b2a? 2 -Δ4a2 = 0ou encore? x+b 2a? 2 =Δ4a2Dans cette dernière expression, tout est positif saufΔ, ce qui nous permet d"énoncer le théorème suivant :
Théorème 4
SoitΔ =b
2-4acle discriminant du trinômeax2+bx+c
ãΔ<0: l"équation n"a pas de solution réelle et on ne peut pas factoriser ãΔ = 0: l"équation a une solution doublex0=-b2ale trinôme se factorise sous la formea(x-x
0)2 ãΔ>0: l"équation possède2solutions réelles :x1=-b-⎷Δ2aetx2=-b+⎷Δ
2ale trinôme se factorise sous la formea(x-x
1)(x-x2)
Exemple 6
Ô-6x2+x+ 1 = 0
Δ =b2-4ac= 12-4×(-6)×1 = 25
Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles : x1=-b-⎷
2a=-1-5-12=12x2=-b+⎷
2a=-1 + 5-12=-13
S=? -1 3;12? et la forme factorisée dePest :P(x) =-6? x+13?? x-12?Ô5x2+ 6x+ 2 = 0
Δ =b2-4ac= 62-4×5×2 =-4
Le discriminant est négatif, il n"y a pas de solution réelleS=∅etPne se factorise pas
Ô2x2+ 5x+25
8= 0Δ =b2-4ac= 52-4×2×25
8= 0 Le discriminant est nul, il y a une solution double :x0=-b2a=-54
S=? -5 4? et la forme factorisée dePest :P(x) = 2? x+54? 2Remarque 4
SiΔest positif, on a :ax
2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]
=ax2-aSx+aPoùSest la somme etPle produit des deux racines
on a alors :S=-b aetP=caExemple 7
Trouver les racines du polynôme2x2-5x+ 3Ôx1= 1est une racine évidente ÔL"autre racine peut se déterminer facilement grâce àSouP:S=x1+x2= 1 +x2=--5
2=52d"oùx2=32
P=x1x2= 1×x2=3
2=d"oùx2=32
http://nathalie.daval.free.fr-6-1reSTICh01: POLYNOMES2006/2007
II.4 Signe du trinôme
Étudions le signe deP(x) =ax2+bx+c
SiΔ>0, on notex
1etx2les racines et on obtient le tableau de signes suivant :
x-∞x1x2+∞ asigne dea| signe dea| signe dea x-x1-0 +|+ x-x2-|-0 + a(x-x1)(x-x2)signe dea0signe de(-a) 0signe dea SiΔ = 0, on notex0la racine et on obtient le tableau de signes suivant : x-∞x0+∞ asigne dea| signe dea (x-x0)2+ 0 + a(x-x0)2signe dea0signe dea SiΔ = 0, on utilise la forme canonique :ax2+bx+c=a? x+b2a? 2 -Δ4a2CommeΔest négatif, l"expression entre crochets est positive, le signe deP(x)est donc le même que
celui dea