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On dit qu'une fonction f est dérivable en a si sa courbe représentative admet une tangente non verticale en son point d'abscisse a Définition 2 Remarque

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4 mar 2011 · sentative de la fonction racine carrée admet en son point d'abscisse 0 une tangente verticale Définition 3 La fonction f est dérivable à gauche 

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1 déc 2008 · (a) La courbe Cf admet-elle des tangentes horizontales ? Si oui, en quel(s) point( s) ? (b) Donner une équation de T, tangente à la courbe Cf au 

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Le domaine de définition d'une fonction de R dans R est le plus souvent une réunion la courbe admet donc une tangente verticale en ce point f(1) = 0 et f est 

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Déterminer les limites de f aux bornes du domaine de définition 5 a Vérifier qu'il existe un unique point où la tangente à la courbe de f est horizontale b 

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Définition : "Point anguleux" Tangentes verticales Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert et soit 0 ∈ est dérivable en 0 

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l'inverse de p a la limite 0, la tangente est la droite verticale passant par M0 Démonstration La courbe Γ a une tangente en M0 au sens de la définition 1 si et

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la courbe représentative de f admet une tangente verticale au point (0; 0) 1 3 Développement limité à l'ordre 1 Définition 2 : Développement limité à l'ordre 1

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TSTMG.DérivationNotion de tangente et de nombre dérivé :1 Définition naïve(suffisante en TSTMG):Tangente à une courbe en un point

La tangente à une courbe(C)en un pointAde celle-ci est le prolongement du segment de droite obtenu

par zoom " fort » au niveau du pointA.Définition 1 AC

ACzoom

AC T = tangenteTà la courbe au pointA.Prolongement du segment obtenu par " zoom fort » Définition naïve :Fonction dérivable en un point

On dit qu"une fonctionfest dérivable enasi sa courbe représentative admet une tangente non verticale

en son point d"abscissea.Définition 2Remarque.Il existe en ce sens des fonctions non dérivables : par exemple la fonction suivante n"est pas

dérivable en0: aucun zoom aussi fort soit-il au niveau du pointAd"abscisse0de la courbe ne renverra de

segment de droite prolongeable.y 123
-2-1012xAC A

zoomil n"y a pas de segment " prolongeable »La fonction n"est pas dérivable en0.Nombre dérivé d"une fonction ena

Si une fonctionfdéfinie au voisinage deaest dérivable ena.

Le nombre dérivé defenaest le nombre notéf?(a)égal au coefficient directeur de la tangente à la

courbe représentative defen son pointA(a;f(a))d"abscissea.Définition 3 http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers1

TSTMG.Dérivation

Exemples.Ici,(Cf)est la courbe représentative d"une fonctionfdéfinie sur?. (T1),(T2)et(T3)sont tangentes à(Cf). On a alors : •f(-4) = 5l"image de-4parfest égale à5 f(0) = 1l"image de0parfest égale à1 f(2) = 2l"image de2parfest égale à2 •Les antécédents de5parfsont-4et4 On peut aussi dire : l"ensemble des solutions de l"équationf(x) = 5estS=? -4 ; 4? -1n"a pas d"antécédents parf l"équationf(x) =-1n"admet pas de solutionsS=∅ Les solutions de l"inéquationf(x)>2sont les réelsx?]-∞;-2[?]2 ; +∞[ •f?(-4) =coefficient directeur de(T1) =-21 =-2 f ?(0) =coefficient directeur de(T2) = 0Tangente horizontale au point d"abscisse0de(Cf) f ?(2) =coefficient directeur de(T3) =11 = 1 f

?(-4)>0La tangente au point d"abscisse4de(Cf)est strictement croissante, de coefficient directeur strictement positif

f

?(2)<0La tangente au point d"abscisse-2de(Cf)est strictement décroissante, de coefficient directeur strictement négatify

-1123456 -5-4-3-2-1012345x12

11(Cf)(T1)(T2)(T3)Équation de la tangente2

Équation de la tangente

Sifest dérivable ena?Ialors(Cf)admet en son point d"abscisseaune tangente(Ta)d"équation :

y=f?(a)×(x-a) +f(a)Propriété 1Exemple.Avec la courbe représentative(Cf)de l"exemple précédent, la tangente(T1)au point d"abscisse

-4de(Cf)admet pour équationy=f?(-4)×(x-(-4)) +f(-4) =-2(x+ 4) + 5??y=-2x-3

2http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers

TSTMG.DérivationFonction dérivée et opérations algébriques usuelles3

31F onctiondérivée

Fonction dérivée

Si une fonctionfest définie sur un intervalleIet est dérivable en tout pointaappartenant àI, on

définit la fonction dérivée de la fonctionfpar la fonction définie surIparf?:x?-→f?(x)

oùf?(x)est le nombre dérivé defenx.Définition 432Opér ationsalgébriq ues Dérivée d"une somme, produit, quotient et multiplication par un scalaire Sifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors :

•Somme:f+gest dérivable surIet(f+g)?=f?+g?•Produit par un nombre: Siλest un réel fixé,λ.fest dérivable surIet(λ.f)?=λ.(f)?•Produit de fonctions:f×gest dérivable surIet(f×g)?=f?×g+f×g?•Quotient de fonctions: Signe s"annule pas surI,fg

est dérivable surIet?fg =f?×g-f×g?g

2Remarque.Le signe de la dérivée d"un quotient est celui du numérateurf?×g-f×g?car le dénominateurg2est positif puisque c"est un carré)Propriété 2

Dérivées usuelles4À connaître bien évidemment parfaitement

FonctionDérivéeEnsemble de

définitionEnsemble de dérivabiliték??(constante)0 ??x1 x 22xx
33x2x
n,n??,n?= 0nx n-11 x- 1x 2? ?1 x n- nx n+1⎷x1 2 ⎷x? += [0;+∞[?

TSTMG.Dérivation

Exemples.

•Déterminer la fonction dérivée sur]0 ; +∞[de la fonctionf:x?-→x5+x3-x-1x +⎷x+ 4

Sur]0 ; +∞[,f?(x) = 5x4+ 3x2-1 +1x

2+12 ⎷x •Déterminer la fonction dérivée sur]0 ; +∞[de la fonctiong:x?-→3x54 -5x3 +23x-⎷x
2 +4x23 -57

On transformela fonction de départ :g(x) =34

?x5?-53 (x) +23 1x -12 (⎷x) +43 ?x2?-57

Puis on dérive: sur]0 ; +∞[,g?(x) =34

?5x4?-53 (1) +23 -1x 2? -12 12 ⎷x +43
(2x) g ?(x) =15x44 -53 -23x2-14 ⎷x +83
x•On considère la fonctionhdéfinie sur?parh(x) =xx

2+ 1+ 0,5. Montrer queh?(x) =1-x2(x2+ 1)2

h=h?= =avec

Sur?,h?(x) =1×?x2+ 1?-x×(2x+ 1)(x2+ 1)2=x2+ 1-2x2(x2+ 1)2=1-x2(x2+ 1)2•Déterminer la fonction dérivée sur]0 ; +∞[de la fonctioni:x?-→x⎷x

i=i?= =avec

Sur]0 ; +∞[,i?(x) = 1×⎷x+x×12

⎷x =⎷x+x2 ⎷x

Rappels sur les études de signes5

On rappelle quele produit ou le quotientde deux quantités demême signe est p ositif

On rappelle quele produit ou le quotientde deux quantités designes opp osésest négatif 51Étude du signe d"un pr oduit

On rappelle que l"étude du signe d"une expression algébriquese déduit toujoursd"unefactorisation

de l"expressionen produit de facteurs du premier degré(de la formemx+p) Rassurez-vous cependant, l"énoncé d"un exercice vous y aidera toujours. Exemple.Étudier le signe sur[-5 ; 6]de l"expressionA(x) = (2x+ 3)(2-x)(x+ 8)

On code dans un tableau de signes chacun des facteurs précédents et on donne le signe de l"expression finale.x

2x+ 32-xx+ 8Produit=A(x)0

0 00 Il ne peut y avoir changement de signe d"une expression que si celle-ci s"annule!

4http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers

TSTMG.Dérivation52Étude du signe d"un q uotient

C"est exactement le même principe que précédemment vu que les règles de signes pour un produit et un

quotient sont les mêmes. Il faudra juste penser à coder par unedouble barreau bilan lesvaleurs d"annulation du dénomi- nateur (Valeurs interdites) Exemple.Étudier le signe sur[-5 ; 6]de l"expressionB(x) =(2x+ 3)(2-x)(x+ 8)

On code dans un tableau de signes chacun des facteurs précédents et on donne le signe de l"expression finale.x

2x+ 32-xx+ 8Bilan=B(x)-5-3226

-0++ ++0- -0+-

Fonction dérivée et variations6

Fonction dérivée et variations

Pour une fonctionfdérivable sur un intervalleI: •f?(x)>0pour tout réelxdans l"intervalleIsi et seulement sifest croissante surI.

Si l"ensemble des tangentes à la courbe représentative(Cf)defsur un intervalle, ont un coefficient directeur

positif et sont donc croissantes, alorsfest croissante. •f?(x)60pour tout réelxdans l"intervalleIsi et seulement sifest décroissante surI.

Si l"ensemble des tangentes à la courbe représentative(Cf)defsur un intervalle, ont un coefficient directeur

négatif et sont donc décroissantes, alorsfest décroissante.Propriété 3 Schéma d"étude d"une fonction sur un exemple : Étudier les variations sur[-2 ; 4]de la fonctionf:x?-→2x2-3x+ 5

Étape 1 : On dérive la fonction f

Sur[-2 ; 4],fest dérivable comme somme de fonctions dérivables et f ?(x) = Étape 2 : On détermine le signe def?(x)puis les variations defx f ?(x) =Variations def0 http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers5

TSTMG.DérivationAnnales du baccalauréat7

Une entreprise produit et commercialise chaque moisxmilliers d"objets, pourxappartenant à l"intervalle

[0 ; 72]. On appelleC(x)le coût total mensuel de production etR(x)la recette mensuelle réalisée pour la

vente dexmilliers d"objets,C(x)etR(x)étant exprimés en milliers d"euros. On admettra que toute la production est vendue chaque mois. On appelleCla représentation graphique de la fonctionCetRcelle de la fonctionRdans un repère. Ces représentations graphiques sont données ci-dessous.0102030405060700100200300400500600C R

Partie A

Dans cette partie, on répondra aux questions à l"aide de lectures sur le graphique ci-dessus. 1. a. Déterminer le coût total de production de60milliers d"objets en un mois. b.Quelle est alors la recette mensuelle réalisée? c.Est-il rentable pour cette entreprise de produire60milliers d"objets mensuellement?

Justifier votre réponse.

2.Déterminer pour quelles productions mensuelles l"entreprise réalise un bénéfice positif.

Partie B

On admet que la fonctionCest définie parC(x) = 0,1x2+x+ 40et le prix de vente unitaireP(x)par P(x) = 11,2-0,05x, pour tout nombrexde l"intervalle[0 ; 72].

C(x)etP(x)sont exprimés en milliers d"euros.

1. a. Vérifier que la recette mensuelle pour la vente de10milliers d"objets est107milliers d"euros. b.Déterminer la recette mensuelleR(x)réalisée pour la vente dexmilliers d"objets.

2.On admet que le bénéfice mensuelB(x)exprimé en milliers d"euros, réalisé pour la production et la

vente dexobjets est défini parB(x) =-0,15x2+ 10,2x-40. a.CalculerB?(x), oùB?désigne la fonction dérivée de la fonctionB. b.Étudier le signe deB?(x)dans l"intervalle[0 ; 72]. En déduire les variations de la fonctionBdans l"intervalle[0 ; 72].

c.Déterminer la production mensuelle de l"entreprise qui correspond au bénéfice maximal et calculer

le montant de ce bénéfice.

6http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers

quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34