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Autres fonctions exponentielles page 15 Fiche 14 Fonctions puissances page 16 Fiche 15 Fonctions trigonométriques page 17 Fiche 16 Suites usuelles

RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES

Classes prparatoires conomiques et commerciales option scientifi

Catherine∂Laidebeure∂

2009∂Ð∂2010∂Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy1

Fiche∂1∂Calcul∂algbrique∂ ∂ ∂page∂3∂

Fiche∂2

∂Identits∂remarquables∂ ∂page∂4∂

Fiche∂3

∂Sommes∂et∂produits∂∂ ∂page∂5∂

Fiche∂4

∂Ensembles∂ ∂ ∂ ∂page∂6∂

Fiche∂5

∂Rcurrence∂ ∂ ∂ ∂page∂7∂

Fiche∂6

∂Ensemble∂des∂rels∂ ∂ ∂page∂8∂

Fiche∂7

∂Trigonomtrie∂ ∂ ∂page∂9∂

Fiche∂8

∂Nombres∂complexes∂ ∂page∂10∂

Fiche∂9

∂Applications∂∂ ∂ ∂page∂11∂

Fiche∂1

0∂Polyn™mes∂ ∂ ∂ ∂page∂12∂

Fiche∂1

1∂Logarithme∂nprien∂ ∂page∂13∂

Fiche∂1

2∂Exponentielle∂ ∂ ∂page∂14∂

Fiche∂1

4∂Fonctions∂puissances∂ ∂page∂16∂

Fiche∂1

6∂Suites∂usuelles∂ ∂ ∂page∂19∂

Fiche∂1

7∂Suites∂numriques∂ ∂ ∂page∂20∂

Fiche∂1

8∂Sries∂numriques∂ ∂ ∂page∂22∂

Fiche∂1

9∂Dnombrement∂ ∂ ∂page∂23∂

Fiche∂20∂Espaces∂probabiliss∂ ∂page∂24∂ Fiche∂24∂Limites∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂29∂ Fiche∂25∂Interprtation∂des∂limites∂ ∂ ∂page∂31∂ Fiche∂27∂Continuit∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂33∂ Fiche∂28∂Drivation∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂34∂ Fiche∂29∂Convexit∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂36∂

Fiche∂30∂Plan∂dÕtude∂dÕune∂fonction∂ ∂page∂37∂

Fiche∂31∂Primitives∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂38∂ Fiche∂32∂Intgrales∂dfinies∂ ∂ ∂ ∂page∂39∂ Fiche∂33∂Formules∂de∂Taylor∂∂ ∂ ∂page∂41∂ Fiche∂34∂Dveloppements∂limits∂ ∂ ∂page∂42∂ Fiche∂36∂Espaces∂vectoriels∂ ∂ ∂ ∂page∂45∂ Fiche∂37∂Applications∂linaires∂ ∂ ∂page∂47∂ Fiche∂38∂Matrices∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂49∂ Fiche∂39∂Changement∂de∂base∂ ∂ ∂page∂51∂ Fiche∂40∂Rduction∂des∂endomorphismes∂ ∂page∂52∂ Fiche∂41∂Couples∂de∂variables∂alatoires∂ ∂page∂53∂ Fiche∂42∂Convergences∂et∂approximations∂ ∂page∂54∂ Fiche∂43∂Fonctions∂de∂deux∂variables∂ ∂page∂55

∂Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy2

fiche n°1

CALCUL ALGEBRIQUE

Fractions

ba est défini si et seulement si 0 =b.

00βαβa

ba )(SgnSgnabbaβ{}+??? bd bcad dc ba bdac dc baβ? bcad dc baβ: bacc baβ? bca cba bac c baβ

Puissances

0βa aaan??β... (n fois) si *

?≠n nn aa1β- nnaaβ1 abbealnβ si 0 •a cbcb aaa?β? cb cb aaa bccbaaβ ccc abba)(β? c cc ba ba{}+???β

Inégalités

Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe d e leur dif férence 0 abba. ba et cb c (on note cba ba et ""ba ""bbaa ba ""bbaa (seulement s"ils sont positifs) cbcaba cbcaccbcacba fiche n°1 (suite)

Racines carrées

a est l"unique solution positive de l"équation axβ2. a est défini si et seulement si 0 ?a. 0?a aaβ2 aaβ2 baabβ ba baβ si 0 ?a et 0 •b baba??? Mais en général baba?=? baba?α??0

β?αβ20

babba babba si 0 ?a

Valeurs absolues

aaaaa donc ),Max(aaaaa a et

00β

0?a

2aaβ pour tout a réel

baabβ ba baβ si 0 =b baba??? Mais en général baba?=? baba?≥??0 Mais abba?≥??0 bababa babbabababa ou ou si 0 ?b

Inverses

a b fiche n°2

IDENTITES REMARQUABLES

Identités usuelles

2222)(bababa==β=

2222)(bababa=αβα

22))((bababaαβ=α

bcacabcbacba222)(2222=====β==

3223333)(babbaaba===β=

3223333)(babbaabaα=αβα

))((2233babababa==αβα ))((2233babababa=α=β=

Généralisation

βαααβαβα1

01 1

01)()(n

kknk n kkknnnbababababa

La formule

nnba= ne se généralise que si n est impair

α=β=1

01 )1()(n kkknknnbababa

Formule du binôme de Newton

00( )nn

nk n kn k k kknn a b a ba b kkαα

ββ} + } += ββ? ? ? ?? ? ? ?{ { avec

nn k k n k

Propriétés :

αkn

knn et 1 1 n n nk k k=

Conséquence

0 2 n n kn k 0 ( 1) 0 nk kn k

? ?? ?{ Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy4

fiche n°3

SOMMES ET PRODUITS

Propriétés des Sommes

nn kk k p k p u u ( )nn n k k k k k pk p k p u v u v Si p q n} + 1q nn k kk k p k p k q u u u ( 1) n k p a a n p

α 1 1( )n

k k n p k p u u u u

Sommes usuelles

1 ( 1)2 n kn n k 2 1 ( 1)(2 1) 6n kn n n k 2 2 3 1 ( 1)4n kn n k 1 01 1n nk n kx xS x x{ = =?α si 1 ?x Si 1 ?x : 1 0 nk n kkx S x ==α 2 0 ( 1) " ( ) nk n kk k x S x

Propriétés des Produits

1nnn p

kk k pk p uu ( )n n n k kk k k pk p k p u v u v Si p q n} + 1q nn kkk k p k p k q u u u 1 n n p k pa a 1 1 n k nk p k p u uu u{ {

Produit usuel

1! n kk n ? Propriétés : !)1(!)1(nnn et 1!0

Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy5

fiche n°4

ENSEMBLES

Inclusion

Un ensemble A est inclus dans un ensemble E (

E A= ) si tout élément de A est élément de E. Alors A est une partie de E. Si A B= et B C= alors A C= et

A B A B B Aβ α = =

L"ensemble des parties de E est noté )(E?.

Intersection de deux parties de E

}BxAxExBA+++β?et/.

Deux ensembles A et B sont disjoints si

Lβ ?BA.

Propriétés

A B B A )()(CBACBA noté CBA CBA si et seulement si B A= et CA

Réunion de deux parties de E

}BxAxExBA+++β?ou/.

Propriétés

A B B A )()(CBACBA noté CBA CBA si et seulement si CA et CB

Distributivité

)()()(CBCACBA )()()(CBCACBA

Complémentaire

}AxExA?+β/ .

Propriétés

A Aβ

Lβ?AA

E A A B A= si et seulement si A B=

Lois de Morgan

B A B A B A B A

Différence de deux parties de E

/ et

A B x E x A x B? β + + ?.

Donc

A B A B? β ?

fiche n°4 (suite)

Différence symétrique de deux parties de E

/ ou (exclusif)

A B x E x Ax B? β + ++.

Donc )()(BABABA

Donc )()()()(BABABABABA???β???β?.

Partition d"un ensemble E

Des parties

1A,

2A, ..., nA de E forment une partition de E si :

- Elles sont deux à deux disjointes :

Lβ?jiAA si

j i≠ - Leur réunion est E : EAn i iβ βa 1.

Cas particulier

: une partie A et son complémentaire A.

Produit cartésien de deux ensembles

}FyExyxFE++β-et/),( }EyExyxE++βet/),(2 Par récurrence, on généralise au produit de plusieurs ensembles et pE est l"ensemble des p-listes ),...,(1pxx d"éléments de E.

Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy6

fiche n°5

RECURRENCE

Premier théorème de récurrence

Soit )(nP est une propriété définie pour tout entier 0nn=. Si les deux condi tions suivantes sont vérifiées :

1) Initialisation

: )(0nP est vraie.

2) Hérédité

quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES

Catherine∂Laidebeure∂

2009∂Ð∂2010∂Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy1

Fiche∂2

Fiche∂3

Fiche∂4

Fiche∂5

Fiche∂6

Fiche∂7

Fiche∂8

Fiche∂9

Fiche∂1

0∂Polyn™mes∂ ∂ ∂ ∂page∂12∂

Fiche∂1

1∂Logarithme∂nprien∂ ∂page∂13∂

Fiche∂1

2∂Exponentielle∂ ∂ ∂page∂14∂

Fiche∂1

Fiche∂1

4∂Fonctions∂puissances∂ ∂page∂16∂

Fiche∂1

Fiche∂1

6∂Suites∂usuelles∂ ∂ ∂page∂19∂

Fiche∂1

7∂Suites∂numriques∂ ∂ ∂page∂20∂

Fiche∂1

8∂Sries∂numriques∂ ∂ ∂page∂22∂

Fiche∂1

9∂Dnombrement∂ ∂ ∂page∂23∂

CALCUL ALGEBRIQUE

Fractions

00βαβa

Puissances

0βa aaan??β... (n fois) si *

Inégalités

Racines carrées

β?αβ20

Valeurs absolues

00β

2aaβ pour tout a réel

Inverses

IDENTITES REMARQUABLES

Identités usuelles

2222)(bababa==β=

2222)(bababa=αβα

22))((bababaαβ=α

3223333)(babbaaba===β=

3223333)(babbaabaα=αβα

Généralisation

βαααβαβα1

01)()(n

La formule

α=β=1

Formule du binôme de Newton

00( )nn

ββ} + } += ββ? ? ? ?? ? ? ?{ { avec

Propriétés :

αkn

Conséquence

SOMMES ET PRODUITS

Propriétés des Sommes

α 1 1( )n

Sommes usuelles

Propriétés des Produits

1nnn p

Produit usuel

ENSEMBLES

Inclusion

Un ensemble A est inclus dans un ensemble E (

A B A B B Aβ α = =

L"ensemble des parties de E est noté )(E?.

Intersection de deux parties de E

Deux ensembles A et B sont disjoints si

Propriétés

Réunion de deux parties de E

Propriétés

Distributivité

Complémentaire

Propriétés

1∂Logarithme∂nprien∂ ∂page∂13∂

7∂Suites∂numriques∂ ∂ ∂page∂20∂

8∂Sries∂numriques∂ ∂ ∂page∂22∂

9∂Dnombrement∂ ∂ ∂page∂23∂