Première ES-L (2 points) a) Déterminer le taux d'accroissement de la fonction f définie sur par : f(x) = 2x² - 3 Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
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Deuxième écriture du taux de variation Soit f une fonction f définie sur un Lorsque le taux d'accroissement ( ) ( ) f a h f a h + − Exercice 1 Soit f la fonction
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Première ES-L (2 points) a) Déterminer le taux d'accroissement de la fonction f définie sur par : f(x) = 2x² - 3 Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
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Exercice 1 : déterminer le nombre dérivé d'une fonction Soit f la Pour tout réel h non nul,n le taux d'accroissement de f entre 1 et 1 + h est : τ(h) =f(1 + h) − f(1)
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1 Il y a une limite `a gauche et une limite `a droite différentes, donc la limite du taux d'accroissement n'existe pas, et la fonction f n'est pas dérivable en 0 5 lim
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5= 12 25
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Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
1 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 2x² - 3 en 1.En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 3 x² + 1 en -2.En déduire le nombre dérivé de g en -2.
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·-1). b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation y = -5x ² 1. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -x² b) g : x - x c) h : x - x + 8 + x d) i : x x + 52x - 1
Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
2 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHment de la fonction f définie sur K par : f(x) = 3x² - 2 en -2.En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 1 x² + 2 en 1.En déduire le nombre dérivé de g en 1.
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·2B b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 a pour équation y = - 2x + 3. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -2x3 b) g : x 5 x c) h : x 2x ² x² + 5 d) i : x 2x - 5 x + 1Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
3 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 2x² - 3 en 1.En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 3 x² + 1 en -2.En déduire le nombre dérivé de g en -2.
a) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP, pour h non nul, de la fonction f en 1 est : t(h) = f(1 + h) ² f(1) h = 2(1 + h)² - 3 ² (21² - 3) hSoit t(h) = 2(1 + 2h + h²) ² 3 ² 2 + 3
h = 2 + 4h + 2h² - 2 h = h(4 + 2h) h = 4 + 2h Le nombre dérivé de f en 1 est limh0 t(h) = 4 + 20 = 4GRQŃ I·1 4
b) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP, pour h non nul, de la fonction g en -2 est : t(h) =g(-2 + h) ² g(-2) h = 3 (-2 + h)² + 1 - 3 (-2)² + 1 h = 3 14 ² 4h + h² + 1- 1
5 hSoit t(h) = 3
5 (h² - 4h + 5)5- (h² - 4h + 5)5(h² - 4h + 5)
h= 3 h5 ² h² + 4h ² 55(h² - 4h + 5)
Soit t(h) = 3
hh(-h + 4)5(h² - 4h + 5)= 3
5-h + 4
h² - 4h + 5 Le nombre dérivé de g en 1 est limh0 t(h) = 3 545= 12 25
GRQŃ J·-2) = 12
25Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
4Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·-1). b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation y = -5x ² 1. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. a) I·[ 22x ² 1 = 4x ² 1I·-1) = 22(-1) ² 1 = -4 ² 1 = -5
b) Une équation de la tangente T à $MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation : \ I·-1)(x ² (-1)) + f(-1). Or f(-1) = 2(-1)² - (-1 Ą 1 2 Ą 1 Ą 1 4 HP I·-1) = -5. Une équation de T est donc : y = -5(x + 1) + 4 = -5x ² 5 + 4 = -5x ² 1. c) g est une fonction polynôme de degré 2. g(x) = 2(x² + 2x + 1) =2(x + 1)² Or un carré est toujours positif ou nul et g(-1) = 2(-1 + 1)² = 20² = 0 GRQŃ J[ V·MQQXOH HQ [ -1 et est strictement positif pour x -1. d) f(x) ² (-5x ² 1) = 2x² - x + 1 ² (-5x ² 1) = 2x² - x + 1 + 5x + 1 f(x) ² (-5x ² 1) = 2x² + 4x + 2 = g(x). Or g(x) > 0 si x -1, donc $est au dessus de T pour x -1. Et pour x = -1, $ et T ont en commun le point de coordonnées (-1 ;-5) .Vérification graphique :
Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
5 Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -x² b) g : x - x c) h : x - x + 8 + x d) i : x x + 52x - 1
a) f est définie et dérivable sur K HP I·[ -2x b) g est définie et dérivable sur K \ {0} = K* HP J·[) = - -1 x² = x² c) h est définie sur ] - ;0] = K+ et dérivable sur ]- 0L HP O·[ -1 + 1 2x d) i est définie et dérivable sur K \ 1 2.Pour x K \
12, on pose i(x) = u(x)
v(x) avec u(x) = x + 5 et v(x) = 2x ² 1. On a alors L·[ X·(x)v(x) ² u(x)Y·(x) (v(x))².2U X·[ 1 HP Y·[ 2
GRQŃ L·[ 1(2x ² 1) ² (x + 5)2
(2x ² 1)² = 2x ² 1 ² 2x ² 10 (2x ² 1)² = - 11 (2x ² 1)²Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
CORRECTION
6 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 3x² - 2 en -2.En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 1 x² + 2 en 1.En déduire le nombre dérivé de g en 1.
a) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP SRXU O QRQ QXO GH OM IRQŃPLRQ I HQ -2 est : t(h) = f(-2 + h) ² f(-2) h = 3(-2 + h)² - 2 ² (3(-2)² - 2) hSoit t(h) = 3(4 ² 4h + h²) ² 2 - 12 + 2
h = 12 ² 12h + 3h² - 12 h = h(-12 + 3h) h t(h) = -12 + 3h. Le nombre dérivé de f en 1 est limh0 t(h) = -12 + 0 = -12GRQŃ I·-2) = -12
b) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP SRXU O QRQ QXO GH OM IRQŃPLRQ J HQ 1 HVP : t(h) =g(1 + h) ² g(1) h = 1 (1 + h)² + 2 - 11² + 2
h = 11 + 2h + h² + 2 ² 1
3 h t(h) = 3 (h² + 2h + 3)3h - h² + 2h + 33h(h² + 2h + 3) = 3 ² h² - 2h ² 3
3h(h² + 2h + 3) = -h(h + 2)
3h(h² + 2h + 3)
Soit t(h) = - h + 2
3(h² + 2h + 3)
Le nombre dérivé de g en 1 est limh0 t(h) = - 0 + 23(0² + 20 + 3) = - 2
9Donc g·(1) = - 2
9Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
CORRECTION
7Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·2B b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 M SRXU pTXMPLRQ \ - 2x + 3. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. a) f'(x) = - 2x + 2 et I·2 -22 + 2 = -2 b) Une équation de la tangente T à $MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 a pour équation : \ I·-2)(x - 2) + f(2). Or f(2) = -2² + 22 - 1 = -4 + 4 - 1 = -1 HP I·2) = -2. Une équation de T est donc : y = -2(x - 2) - 1 = -2x + 4 - 1 = -2x + 3. c) g est une fonction polynôme de degré 2. g(x) = - (x² - 4x + 4) = - (x ² 2)² Or un carré est toujours positif ou nul et g(2) = -(2 - 2)² = - 0² = 0 GRQŃ J[ V·MQQule en x = 2 et est strictement négatif pour x 2.d) f(x) ² (-2x + 3) =-x² + 2x - 1 ² (-2x + 3) = -x² + 2x - 1 + 2x ² 3 = -x² + 4x - 4
f(x) ² (-2x + 3) = g(x). Or g(x) < 0 si x 2, donc $est en dessous de T pour x 2. Et pour x = 2, $ et T ont en commun le point de coordonnées (2 ; -2) .