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[PDF] Comment construire une boîte de volume maximal

a) Sur la même feuille de calcul, insérer un graphique de type « nuage de points » représentant le volume en fonction de la hauteur b) Ce graphique confirme-t-il  

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4) Pour calculer le volume de la boîte ainsi construite, répondez aux questions ci- dessous : 2) Pour quelle valeur de x, le volume semble t'il maximal ?

[PDF] Construction dune boîte

afin que cette boîte soit de volume maximal ? maximale e)Calculer le volume de la boîte lorsque x = 3 5 Dans une feuille carrée de carton, on découpe dans

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cherche le maximum Pour une hauteur de x=3 4 cm il y a un volume maximal de 471 cm3 Autre idée pour chercher le maximum c'est d'utiliser l'écran de calcul 

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pour que la boîte ait un volume maximal maximale que peut prendre x 4) a) Dans une feuille de calcul d'un tableur, reproduire le tableau ci-dessous

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Calculer la dimension des carrés de sorte que la boîte ait le plus grand volume possible fermée admettant un volume maximum a) Quelle est la fonction à 

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nt représente le volume maximal que peut contenir ce récipient rincipale de er son volume en mesurant ses dimensions puis en effectuant un calcul Cylindre

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Si on verse du liquide jusqu'à mi-hauteur (3 cm) dans le verre, aura-t-on la moitié du volume maximal du verre ? 4 Calculer le rayon puis l'aire de la base puis 

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Quelles dimensions donner à une boîte ( sans couvercle ) réalisée à partir d"une feuille carrée

afin que cette boîte soit de volume maximal ?

Exercice :

( L"unité est le centimètre )

Dans une feuille carrée de carton ( 10 sur 10 ) , on découpe dans chaque coin un carré de x cm de côté.

a) Calculer, en fonction de x, l'aire du carré EFGH. ( x est compris entre 0 et 5 ) b) Calculer, en fonction de x, le volume de la boîte obtenue en découpant les quatre carrés situés aux coins, puis en pliant comme ci-contre. c)Compléter le tableau suivant :

THEME :

CONSTRUCTION D"UNE

BOITE EI x

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Aire 100 0

Volume 0 0

d) Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère en choisissant comme unités : axe des abscisses : 1 cm représente 0,5 cm axe des ordonnées : 1 cm représente 5 cm 3.

Tracer, dans ce repère, les points d'abscisse x et d'ordonnée le volume correspondant, points obtenus à

partir du tableau ci-dessus.

En utilisant ce graphique, déterminer un encadrement de x d'amplitude 1 afin que le volume ait une valeur

maximale. e)Calculer le volume de la boîte lorsque x = 3 5 . Dans une feuille carrée de carton, on découpe dans chaque coin un carré de x cm de côté. a) Calcul, en fonction de x, de l'aire du carré EFGH. La longueur du côté du carré est 10 - x - x , soit 10 - 2x.

Par suite, l'aire du carré EFGH est :

( 10 - 2x )²

Aire du carré EFGH : ( 10 - 2x )²

i r u b) Calcul, en fonction de x, du volume de la boîte :

La boîte est un parallélépipède rectangle ( encore appelé pavé droit ). Le volume d'un tel solide est

Le volume de la boîte est

donc ( la hauteur de la boîte

étant égal à x ) :

V = x( 10 - 2x)²

c)Tableau : Il suffit de remplacer x par 0,5, puis par 1, puis par 1,5 , etc... dans les formules obtenues précédemment.

Pour x = 0,5 , nous avons :

( le symbole de multiplication a été remplacé par un point afin d'éviter toute confusion avec la lettre x qui représente la hauteur de cette boîte ) Aire : ( 10 - 2 . 0,5 )² = ( 10 - 1 )² = 9² =

81 cm²

Volume : 0,5 . ( 10 - 2 . 0,5 )² = 0,5 . 81 =

40,5 cm3

x

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Aire 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0

Volume 0 40,5 64 73,5 72 62,5 48 31,5 16 4,5 0 d) Représentation graphique : axe des abscisses : 1 cm représente 0,5 cm axe des ordonnées : 1 cm représente 5 cm 3.

Ceci représente

l'aire déjà calculée

Traçons, dans le repère les points de coordonnées ( 0 ; 0 ) , ( 0,5 ; 40,5 ) , ( 1 , 64 ) , ( 1,5 ; 73,5 ) , ( 2 ; 72 ) , ( 2,5 ; 62,5 ), ( 3 ; 48 ) , ( 3,5 ; 31,5 ) , ( 4 ; 16 ) , ( 4,5 ; 4,5 ) , ( 5 ; 0 )

Encadrement de la valeur maximale

du volume :

La valeur maximale du volume semble

être obtenue lorsque la hauteur x est

comprise entre 1 et 2

1 < x < 2

Dans ce repère, nous n'avons

représenté que quelques points qui correspondent à certaines valeurs de x.

Si nous avions placé beaucoup plus de

points, nous aurions obtenu un ensemble de points dont la disposition aurait été la suivante :

Cette courbe représente la variation du volume de la boîte en fonction de la hauteur x de cette boîte.

e)Calcul du volume de la boîte lorsque x = 3 5 .

La valeur maximale

du volume semble

être obtenue

lorsque la hauteur x est comprise entre 1 et 2

Pour x = 3

5 , nous avons :

V = x ( 10 - 2x )²

) !! tionmultiplica de signe au calcul, ce dans ,correspond symbole Le´

V = )² 3

10 - 10 ( 3

5 )² 3

5 2 - 10 ( 3

5 )² 3

5 2 - 10 ( 3

5´=´´=´´

V = 272000 9 3400 5 9400 35 )² 320 ( 35 )² 310 - 330 ( 35=´´=´=´=´

V = 27

2000

Remarque :

Cette valeur du volume, calculée pour une hauteur égale à 3

5( environ 1,66 cm ), correspond à la valeur

maximale de la boîte ( environ 74,04 cm 3 ).

On remplace x par la valeur

dans la formule du volume. 3 5quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35