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but de cet exercice sera de déterminer les dimensions de la boîte fermée admettant un volume maximum a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la 

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Optimisation du volume d'une boîte Enoncé du problème : On fabrique une boîte à partir d'une feuille de carton carrée de 18 cm de côté dont on coupe et on 

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On se propose d'étudier le volume des boîtes ainsi obtenues Consignes pour les élèves : Travail individuel (à la maison) Construire cette boite avec la feuille A4 

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1) Préciser entre quelles valeurs peut varier x pour que la boîte soit réalisable On obtiendra un intervalle I 2) Déterminer le volume en cm³ de la boîte obtenue, en 

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① Figure d'étude et définition des inconnues • hauteur de la boîte: haut • largeur de la boîte = larg • longueur de la boîte = long ② À optimiser: Volume

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Comment faut-il choisir les dimensions (largeur, hauteur et longueur) d'une boîte de volume maximal? f(x)=volume x=hauteur de la boîte Voici un carré de 4 cm 

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parallélépipédique sans couvercle et en cal- culer le volume Construire par ce procédé la boˆıte dont le volume est maximal CREM Probl`emes d'optimisation  

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Quelles sont les "grandeurs" à déterminer dans ce problème d'optimisation? Le rayon de la boîte et sa hauteur Le volume de la boîte et le prix du métal au m²

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1) Exprimer la quantité à optimiser (maximiser ou minimiser) comme fonc- tion d' une miner les dimensions de la boîte fermée admettant un volume maximum

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Un des problèmes qui se pose aux fabricants pour optimiser leurs coûts est Quel est le volume d'une boite ayant une hauteur de h cm et un rayon de R cm ?

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OPTIMISATION 45

3C - JtJ 2016

Thème 17: Optimisation

Introduction :

Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géomé triques sont exprimées à l'aide d'une formule contenant une fonction. Il peut s'agir de la température d'un corps au moment t, du volume d'un gaz dans un ballon sphérique de rayon x, de la vitesse d'un corps au temps t ... Disposant de cette fonction, sa dérivée pourra nous être utile pour déterminer ses valeurs extrêmes. Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables. Déterminer ces valeurs constitue ce que l'on appelle un problème d'optimisation.

17.1 L'optimisation lors de la construction de boîtes

Modèle 1 :

Optimisation

On souhaite construire une boîte en découpant quatre carrés aux coins d'une feuille cartonnée, et en rabattant les bords restants. La feuille mesure 22 cm de long et 18 cm de large. De la taille des carrés découpés dépendra le volume de la boîte. Calculer la dimension des carrés de sorte que la boîte ait le plus grand volume possible.

46 THÈME 17

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Exercice 17.1:

On désire construire une boîte en carton à partir d'une feui lle rectangulaire en coupant 6 carrés à chaque coin et au milieu des côtés et en pliant les côtés. Si la feuille de carton admet comme dimensions: 45 x 30 cm, le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions de la boîte fermée admettant un volume maximum. a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule de base ? b)

Justifier les relations suivantes :

p = 30 - 2x l=453x 2 c)

Déterminer E

D , l'ensemble des valeurs admissibles pour x. d) Montrer que le volume exprimé en fonction de x est :

V(x)=3x

3 90x
2 +675x
e) Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume est maximum. f)

Que vaut alors ce volume optimisé ?

x p l

OPTIMISATION 47

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Exercice 17.2:

On désire construire un garage en forme de parallélépipède rectangle. La paroi du fond, les deux parois latérales, ainsi que le toit du garage sont en tôle. La porte est en bois. Le garage doit avoir une profondeur de 6 mètres et un volume de 75 m 3 On sait que le prix de la tôle est de 20 francs le m 2 , alors que le prix de la porte en bois est de 30 francs le m 2 Le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions du garage qui minimisent son prix de revient total. a)

Quelle est la fonction à optimiser?

b) Montrer que la fonction à optimiser est donnée par la formule: prix = 50 xh + 120 x + 240 h c) À l'aide de l'information concernant le volume, montrer que h peut s'exprimer en fonction de x par la relation: h=25 2x d) Montrer que le prix de revient en fonction de x est donné par: p(x)=625+120x+3000 x e)

Déterminer E

D , l'ensemble des valeurs admissibles pour x. f) Déterminer la valeur de x pour laquelle ce prix est minimum. g) Déterminer les dimensions du garage qui minimisent son prix de revient total. Que vaut alors ce prix de revient optimisé ?

Source: examen du Gymnase de Burier 2008

6 xh x

48 THÈME 17

3C - JtJ 2015

Une méthode générale ?

La variété des problèmes d'optimisation est telle qu'il e st bien difficile de donner une méthode générale de résolution. Nous allons néanmoins donner sous forme d'une marche à suivre, une stratégie d'approche de ces problèmes. Cependant, c e n'est qu'au prix de quelques efforts et d'entraînements que vous arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces problèmes.

Essayez donc avec ...

persévérance

17.2 Marche à suivre pour la résolution des problèmes d'optimisat

ion Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en réalisant pa rallèlement une figure d"étude pour y indiquer toutes les informations. Exprimez la quantité Q à optimiser (une aire, un volume, des coûts, ...) comme fonction d"une ou de plusieurs variables. Si Q dépend de plus d"une variable, disons n variables, trouvez au moi ns (n - 1)

équations liant ces variables.

Utilisez ces équations pour exprimer Q comme fonction d"une seule variable (par substitutions).

Déterminer l"ensemble de définition E

D des valeurs admissibles de cette variable. À l"aide d"un tableau de signes de la dérivée de Q, étudiez la croissance de cette fonction. Calculez les extremums de Q sans oublier de contrôler ce qui se passe au bord de E D Répondez finalement à la question posée à l"aide d"une phrase.

OPTIMISATION 49

3C - JtJ 2016

17.3 L'optimisation d'une aire dans une figure géométrique

Modèle 2 :

Optimisation

ABCD est un carré de côté 6. Le point I est le milieu de [CD]. M est un point quelconque de [AB], N est le point de [CB] tel que CN BM Quelle doit être la position de M sur [AB] pour que l'aire du MNI soit minimale ? http://www.javmath.ch

Solution

Relire l"énoncé du problème et profiter de faire une figure d"étude "intelligente" : La quantité à optimiser est l"aire du triangle MNI et se calcule grâce à :

Les (n - 1) équations liant ces variables :

Exprimons l"aire du triangle en fonction d"une variable :

L"ensemble des valeurs possibles E

D AB I N CD M

50 THÈME 17

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Solution (fin)

Calcul de la dérivée de A(x) puis étudier sa croissance :

Recherche des min (avec le bord du domaine

La réponse est donc :

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Exercice 17.3:

ABCD est un carré de 8 cm de côté.

A B C D est un carré de x cm de côté.

Pour quelle valeur de x, la partie ombrée

a-t-elle la plus grande aire ?

Que vaut alors cette aire optimale ?

Exercice 17.4:

On considère le rectangle ABCD de 12

cm de long et 8 cm de large. Soit M le point milieu de

CD. On inscrit dans ce

rectangle un parallélogramme admettant deux de ses côtés parallèles à AM.

Déterminer la position du point P sur

AB tel que ce parallélogramme soit d'aire maximum. Que vaut alors cette aire ? DA B'D' C' B C x ABCD PM

OPTIMISATION 51

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17.4 L'optimisation d'un coût de construction

Modèle 3 :

Optimisation

On désire construire une caisse en bois (sans couvercle) de volume 0,64 m 3 et dont la hauteur est égale à la profondeur. Le bois prévu pour le fond coûte Fr. 20.- par m 2 , celui pour les faces

Fr. 10.- par m

2 Quels sont les dimensions et le prix de la caisse la moins chère (on admet que l'épaisseur du bois est négligeable) ? hauteurquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35