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DS no7 - TS1 2011Chutes (calculatrice interdite)

Exercice I - Chute d"une goutte de pluie

Il est expressément demandé de respecter les notations de l"énoncé. En particulier,désigne le volume,

désigne la valeur de la vitesse. Données et opérations utiles à la résolution de l"exercice : Valeur prise par l"accélération de la pesanteur := 10 ms-2324210 = 680 Masse volumique de l"eau :1= 1000 kgm-3324216 = 700

Masse volumique de l"air :2= 13 kgm-31

13= 077

On se propose d"étudier le mouvement d"une goutte de pluie dans deux cas simples.

1. Temps calme

On étudie le mouvement d"une goutte d"eau en chute verticaledans l"air, en l"absence de tout vent. La force de

frottement subie par la goutte a pour expression?=??G, où?Gdésigne le vecteur vitesse du centre

d"inertie de la goutte, etest une constante.

La goutte de pluie considérée a une masse, un volumeet une masse volumique1constante. On désigne par

2la masse volumique de l"air.

1.1.Comparaison des valeurs des forces

1.1.1.Quelle est l"expression littérale de la valeurAde la poussée d"Archimède qui agit sur la goutte?

1.1.2.On notela valeur du poids de la goutte. Établir l"expression du rapportP

FAen fonction des masses volumiques

1et2.

1.1.3.En utilisant les données numériques, montrer queAest négligeable devant.

1.2.Dans la suite de l"exercice, on négligera la poussée d"Archimède.

1.2.1.L"axe vertical du repère d"étude étant orienté vers le bas, montrer que l"équation différentielle du mouvement

de chute de la goutte peut se mettre sous la forme : dG d=G+ oùetsont deux constantes que l"on exprimera en fonction de,et.

1.2.2.Quelles sont les unités deet de, dans le système international d"unités?

On donne=?32410-1SIet= 10 SI.

1.3.On a calculé quelques valeurs de la vitesse de la goutte à différentes dates, en utilisant la méthode d"Euler. Voici

un extrait du tableau affiché par le tableur utilisé : (s)G(ms-1)

3,019,6

3,220,3

3,421,0

La méthode d"Euler permet d"estimer par le calcul la valeur de la vitesse de la goutte en fonction du temps, en utilisant lesdeux relations : dG(i) d=G(i) +

G(i+1) =g+dG(i)

dΔ oùΔest le pas d"itération.

1.3.1.En utilisant l"équation différentielle du mouvement et les données du tableau, calculer la valeur de l"accélération

à l"instant de date= 34 s.

1.3.2.En déduire, par la méthode d"Euler, la valeur de la vitesse à l"instant de date= 36 s. Les calculs doivent

figurer sur votre copie.

1.3.3.Comment doit-on choisir le pas de calcul pour que les valeurscalculées par la méthode d"Euler soient les plus

proches possibles des valeurs réelles?

1.4.La courbe représentant l"évolution de la valeur de la vitesse au cours du temps est donnée ci-dessous :

051015202530

0 5 10 15 20 25(ms-1)

(s)

1.4.1.Comment évolue l"accélération de la goutte d"eau? Justifiervotre réponse.

1.4.2.Quelle est la valeur de cette accélération lorsque le régimepermanent est atteint? Comparer la valeur des

forces qui agissent alors sur la goutte d"eau.

1.4.3.Établir l"expression littérale de la vitesse limite atteinte par la goutte d"eau.

2. Temps venteux

Dans cette partie, on suppose que la force de frottement et lapoussée d"Archimède s"exerçant sur la goutte d"eau en chute verticale, sont négligeables devant le poids. Alors que la goutte d"eau est en chute verticale à la vitesse, elle subit brutalement une rafale de vent, de très courte durée, qui lui communique, à l"instant de date= 0, une vitesse horizontale, de valeur2. Le vecteur vitesse initial?0est représenté sur le schéma ci-contre. 0 ?0 2

2.1.À partir de la deuxième loi de Newton, établir les équations horaires du mouvement de la goutte dans un

référentiel terrestre muni d"un repère (O), tel que le point O coïncide avec la position de la goutte à ladate

= 0 s, l"axe (O) est horizontal orienté dans le sens de?2et l"axe (O) est vertical descendant (schéma

ci-dessus).

2.2.Quelle est l"équation de la trajectoire décrite par la goutte d"eau dans le repère (O)? Préciser la nature de

cette trajectoire.

Exercice II - Le trébuchet

Le trébuchet est une machine de guerre utilisée au Moyen-Âge au cours des sièges de châteaux forts. Le projectile pouvait faire des brèches dans les murailles des châteaux forts situés à plus de 200 m du trébuchet. Son principe de fonctionnement est le suivant : Un contrepoids relié à un levier est maintenu à une certaine hauteur par des cordages. Il est brusquement libéré. Au cours de sa chute, il agit sur un levier au bout duquel se trouve une poche en cuir dans laquelle est placé le projectile. Lors de sa libération, le projectile de la poche se trouve

à une hauteur= 10 met est projeté avec une vitesse?0faisant un angleavec l"horizontale (voir l"annexe

à remettre avec la copie).

Les mouvements du contrepoids et du projectile s"effec- tuent dans un champ de pesanteur uniforme, et?est parallèle à l"axe (Oz). On se propose d"étudier le mouvement du projectile après libération. La situation est représentée sur l"an- nexe à rendre avec la copie.

Données :

- masse du projectile := 130 kg; - intensité champ de pesanteur :10ms-2; - hauteur du projectile au lancer := 10 m;- masse volumique de l"air :air= 13 kgm-3; - volume du projectile := 50 L.

1.Donner les caractéristiques (sens, direction et valeur)du poids?et de la poussée d"Archimède?Aqui

s"exercent sur le projectile.

2.Est-il judicieux de négliger par la suite la pousséed"Archimède?

3.En appliquant la 2ndeloi de Newton dans le cadre de

la chute libre, déterminer les coordonnéesxetzdu vecteur accélération du centre d"inertie du projectile dans le repère indiqué.

4.Donner l"expression des coordonnées du vecteur vi-tesse initiale?0, notées0xet0z, en fonction de0

et de.

5.On appelle composante horizontale de la vitesse lacoordonnéex()du vecteur?, et composante ver-

ticale la coordonnéez(). Déterminer l"expression des composantes horizontale et verticalex()etz()du vecteur vitesse?du système au cours de son mouvement.

6.En déduire la nature du mouvement du projectile enprojection sur l"axe horizontal. Justifier.

7.Déterminer l"expression des équations horaires dumouvement du projectile :()et().

8.Montrer que l"équation de la trajectoire du projectileest la suivante :

=?12220cos2+tan+

9.Quelle est la nature de la trajectoire du projectile?Représenter qualitativement l"allure de la trajectoiresur l"annexe à remettre avec la copie.

10.En utilisant l"expression de l"équation de la trajec-toire obtenue à la question 8, indiquer les paramètresde lancement qui jouent un rôle dans le mouvementdu projectile.

11.Dans le cas où le projectile est lancé avec une vi-tesse initiale horizontale, montrer que l"abscisse deson point de chute est :

=0 2

12.Avec quelle vitesse initiale0xhorizontale, le projec-

tile doit-il être lancé, pour atteindre la base du mur du château, situé à une distance= 100 m?

Aides aux calculs :

05 = 7110-1;2 = 141.

Annexe de l"exercice II - À rendre avec la copie Sol ?0 Correction du DS no7 - TS1 2011Chutes verticales & paraboliques

Exercice I - Chute d"une goutte de pluie

1. Temps calme

1.1.1.1.1.Attention, on demandait uniquement la valeurou norme de la force, sans autre précision, etsans justification exigée :

A=2

1.1.2.==1 donc :

A=2 1

1.1.3.On effectue l"application numérique (sans calcu-latrice, donc je détaille les calculs) :

A=100013=113103= 077103

Ainsi,

A1 ouA

La poussée d"Archimède est bien négligeable par rapport au poids.

1.2.1.2.1.Système = { goutte };Référentiel terrestre supposé galiléen;Bilan des forces :- le poids?, vertical, vers le bas, en G,=

- la force de frottement fluide?=??G, tangente à la trajectoire, opposée au mouve- ment, au centre de la surface de contact avec le fluide (maître-couple), valeur=G.

Deuxième loi de Newton :

?ext=?G ?+?=?G

Projection sur un axe vertical descendant (atten-

tion, lourdes sanctions sur de nombreuses copies par absence de détail sur ce point) : ?=G ?G=dG d dG d=?G+

Par identification avec la forme proposée par

l"énoncé (étape d"identification qui doit être dé- taillée sous peine de sanction) : =?et=

1.2.2.est enms-2donc, aussi;

Gest enms-1, donc il faut quesoit ens-1

afin queGsoit aussi enms-2.

1.3.1.3.1.Tout d"abord, le pas de calcul vautΔ= 02 s,

comme on le constate par soustraction entre deux temps successifs dans le tableau, colonne; Ensuite, on écrit l"accélération au temps=

34 scomme (toujours en détaillant tous les cal-

culs) : dG(= 34) d=G(= 34) + =?32410-1210 + 10 =?324210 + 10 =?680 + 10 = 320 ms-2 J"ai été assez exigeant sur la présentation de ces calculs, puisque toutes les formules utiles étaient donné.

1.3.2.On continue, avec la vitesse au temps= 36 s

qui s"exprime selon la deuxième formule propo- sée, à recopier avec les temps corrects :

G(= 36) =G(= 34) +dG(= 34)

dΔ = 210 + 32002 = 210 + 064 = 216 ms-1

1.3.3.Pour améliorer la précision de la méthode, il fautprendre un pas de calculΔfaible.

1.4.1.4.1.L"accélération diminue jusqu"à s"annuler. En ef-fet, l"accélérationGs"interprète comme la pente

de la tangente à la courbeG=(), pente qui diminue dès= 0jusqu"à s"annuler à l"approche de l"asymptote horizontale.

1.4.2.lim= 0,i. e.les forces se compensent, on a

atteint le régime permanent.

1.4.3.Vitesse limite pourlim= 0:

G=lim= ctedlim

d= 0 lim+= 0 lim=? lim=

2. Temps venteux2.1.Système : { goutte };Référentiel terrestre supposé galiléen;Bilan des forces : uniquement le poids?, il s"agit

d"une chute libre, les autres forces étant négligées;

Deuxième loi de Newton :

?ext=?G ?=?G ?G=?

Projection sur le repère(O)proposé :

G x() = 0 y() =

Intégration par rapport au temps :

G x() = y() =+ oùetsont deux constantes d"intégration déter- minées par les conditions initiales :

G(= 0)

x(= 0) =2 y(= 0) =

En remplaçant= 0:

G(= 0)

x(= 0) = y(= 0) =0 +

En identifiant :

=2 =?G x() =2 y() =+Seconde intégration par rapport au temps :

OG() =2+

() =1 22++
oùetsont deux constantes d"intégration déter- minées par les conditions initiales :

OG(= 0)(= 0) = 0

(= 0) = 0

En remplaçant= 0:

OG(= 0)(= 0) =20 +

(= 0) =1

202+0 +

En identifiant :

= 0 = 0??OG() =2 () =1 22+

Il s"agit des équations horaires du mouvement.

Ceux qui ont fait l"économie d"une telle discussion sur les intégrations et les conditions initiales se sont vus lourdement sanctionnés.

2.2.Éliminons le tempsdans():

2=12222+2

Il s"agit de l"équation d"une parabole, de la forme =2+. On peut mener toute une discussion sur le signe du facteurdevant le2, et ainsi mon- trer ce dont personne ne doute, quant à la conca- vité de la trajectoire et l"inéluctable de la chute des corps (mais si tu chois, choix bien).

Exercice II - Le trébuchet

1.Bilan des forces :- Poids?: vertical, vers le bas, en G, valeur=

13010 = 13103N;

- Poussée d"Archimède?A: verticale, vers le haut, en G, valeurA=air = 135010 = 065 N.

2.Sans recommencer le calcul du rapportA, on

peut dire qualitativement que le projectile est un corps dense, en mouvement dans un fluide peu dense (l"air), et donc que l"on peut négliger la poussée d"Ar- chimède.

3.Système : { goutte };Référentiel terrestre supposé galiléen;Bilan des forces : uniquement le poids?, il s"agit

d"une chute libre, les autres forces étant négligées;

Deuxième loi de Newton :

?ext=?

Projection sur le repère(O)proposé :

x() = 0 y() = 0 z() =?

4.Vecteur vitesse initial à= 0:

(= 0) x(= 0) =0cos y(= 0) = 0 z(= 0) =0sin

5.Intégration par rapport au temps :

x() = y() = y() =?+ où,etsont trois constantes d"intégration dé- terminées par les conditions initiales détaillées pré- cédemment. En remplaçant= 0: (= 0) x(= 0) = y(= 0) = z(= 0) =?0 +

En idendifiant :

=0cos = 0 =0sin? x() =0cos y() = 0 z() =?+0sin

6.x() =0cos= ctedonc le mouvement est

uniforme selon (O).

7.Seconde intégration par rapport au temps :

OG() =0(cos)+

() =?1

22+0sin+

où,etsont trois constantes d"intégration dé- terminées par les conditions initiales :

OG(0)(= 0) = 0

(= 0) = 0 (= 0) =

En remplaçant= 0:

OG(0) (= 0) =0(cos)0 + (= 0) = (= 0) =?1

202+0(sin)0 +

En idendifiant :

= 0 = 0 =??OG() =0(cos) () = 0 () =?1

22+0(sin)+

Il s"agit des équations horaires du mouvement.

8.On élimine:

0cos =?1

2220cos2+ (tan)+

9.La trajectoire est une parabole. On s"attendais à unereprésentation raisonnable sur la figure de l"annexe.

10.0etsont deux paramètres que l"on peut modifier

facilement, et qui jouent un rôle.

11.Lorsque la vitesse initiale?0est horizontale, alors

= 0et donccos= 1(ainsi quetan= 0). Par suite, l"équation de la trajectoire se simplifie en : =?1 2220+

Le point de chute est tel que= 0; en isolant

dans l"équation de la trajectoire simplifiée ci-dessus : =1 2220

En isolant maintenant:

2=220 et en prenant la racine carrée des deux côtés de l"équation : =0 2

12.En isolant0dans la formule précédente (et en in-

versant la fraction dans la racine pour la faire passer au dénominateur, car les aides aux calculs proposés imposent cette forme) : 0= 2H g= 2

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DS no7 - TS1 2011Chutes (calculatrice interdite)

Exercice I - Chute d"une goutte de pluie

Masse volumique de l"air :2= 13 kgm-31

13= 077

1. Temps calme

2la masse volumique de l"air.

1.1.Comparaison des valeurs des forces

1.1.1.Quelle est l"expression littérale de la valeurAde la poussée d"Archimède qui agit sur la goutte?

1.1.2.On notela valeur du poids de la goutte. Établir l"expression du rapportP

FAen fonction des masses volumiques

1.1.3.En utilisant les données numériques, montrer queAest négligeable devant.

1.2.Dans la suite de l"exercice, on négligera la poussée d"Archimède.

1.2.1.L"axe vertical du repère d"étude étant orienté vers le bas, montrer que l"équation différentielle du mouvement

1.2.2.Quelles sont les unités deet de, dans le système international d"unités?

On donne=?32410-1SIet= 10 SI.

1.3.On a calculé quelques valeurs de la vitesse de la goutte à différentes dates, en utilisant la méthode d"Euler. Voici

3,019,6

3,220,3

3,421,0

G(i+1) =g+dG(i)

1.3.1.En utilisant l"équation différentielle du mouvement et les données du tableau, calculer la valeur de l"accélération

à l"instant de date= 34 s.

1.3.2.En déduire, par la méthode d"Euler, la valeur de la vitesse à l"instant de date= 36 s. Les calculs doivent

1.3.3.Comment doit-on choisir le pas de calcul pour que les valeurscalculées par la méthode d"Euler soient les plus

1.4.La courbe représentant l"évolution de la valeur de la vitesse au cours du temps est donnée ci-dessous :

051015202530

0 5 10 15 20 25(ms-1)

1.4.1.Comment évolue l"accélération de la goutte d"eau? Justifiervotre réponse.

1.4.2.Quelle est la valeur de cette accélération lorsque le régimepermanent est atteint? Comparer la valeur des

1.4.3.Établir l"expression littérale de la vitesse limite atteinte par la goutte d"eau.

2. Temps venteux

2.1.À partir de la deuxième loi de Newton, établir les équations horaires du mouvement de la goutte dans un

2.2.Quelle est l"équation de la trajectoire décrite par la goutte d"eau dans le repère (O)? Préciser la nature de

Exercice II - Le trébuchet

à remettre avec la copie).

Données :

1.Donner les caractéristiques (sens, direction et valeur)du poids?et de la poussée d"Archimède?Aqui

2.Est-il judicieux de négliger par la suite la pousséed"Archimède?

3.En appliquant la 2ndeloi de Newton dans le cadre de

4.Donner l"expression des coordonnées du vecteur vi-tesse initiale?0, notées0xet0z, en fonction de0

5.On appelle composante horizontale de la vitesse lacoordonnéex()du vecteur?, et composante ver-

6.En déduire la nature du mouvement du projectile enprojection sur l"axe horizontal. Justifier.

7.Déterminer l"expression des équations horaires dumouvement du projectile :()et().

8.Montrer que l"équation de la trajectoire du projectileest la suivante :

9.Quelle est la nature de la trajectoire du projectile?Représenter qualitativement l"allure de la trajectoiresur l"annexe à remettre avec la copie.

10.En utilisant l"expression de l"équation de la trajec-toire obtenue à la question 8, indiquer les paramètresde lancement qui jouent un rôle dans le mouvementdu projectile.

11.Dans le cas où le projectile est lancé avec une vi-tesse initiale horizontale, montrer que l"abscisse deson point de chute est :

12.Avec quelle vitesse initiale0xhorizontale, le projec-

Aides aux calculs :

05 = 7110-1;2 = 141.

Exercice I - Chute d"une goutte de pluie

1. Temps calme

1.1.1.1.1.Attention, on demandait uniquement la valeurou norme de la force, sans autre précision, etsans justification exigée :

1.1.2.==1 donc :

1.1.3.On effectue l"application numérique (sans calcu-latrice, donc je détaille les calculs) :

A=100013=113103= 077103

Ainsi,

A1 ouA

1.2.1.2.1.Système = { goutte };Référentiel terrestre supposé galiléen;Bilan des forces :- le poids?, vertical, vers le bas, en G,=

Deuxième loi de Newton :

Projection sur un axe vertical descendant (atten-

Par identification avec la forme proposée par

1.2.2.est enms-2donc, aussi;

Gest enms-1, donc il faut quesoit ens-1

1.3.1.3.1.Tout d"abord, le pas de calcul vautΔ= 02 s,

34 scomme (toujours en détaillant tous les cal-

1.3.2.On continue, avec la vitesse au temps= 36 s

G(= 36) =G(= 34) +dG(= 34)

1.3.3.Pour améliorer la précision de la méthode, il fautprendre un pas de calculΔfaible.

1.4.1.4.1.L"accélération diminue jusqu"à s"annuler. En ef-fet, l"accélérationGs"interprète comme la pente

1.4.2.lim= 0,i. e.les forces se compensent, on a

1.4.3.Vitesse limite pourlim= 0:

G=lim= ctedlim

2. Temps venteux2.1.Système : { goutte };Référentiel terrestre supposé galiléen;Bilan des forces : uniquement le poids?, il s"agit

Deuxième loi de Newton :

Projection sur le repère(O)proposé :

Intégration par rapport au temps :

G(= 0)

En remplaçant= 0: