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Définition d"une suite récurrente à l"aide de la fonctionln

Sommaire (liens internes au document) :

1 Thèmes abordés, classe concernée, logiciels utilisés 2

2 Fiche professeur3

2.1 Analyse mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Compétences TICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Compétences mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Scénario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fiche élève5

3.1 Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Compte-rendu d"expérimentation6

4.1 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Un traitement de la partie expérimentale avec geogebra 7IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

1 Thèmes abordés, classe concernée, logiciels utilisés

Titre -

Définit iond "unesuite récurr enteà l "aidede la fon ctionl n.

Thèmes -

f onctionln, th éorèmedes v aleursi ntermédiaires,sui ted éfiniepar ré currence: major ation,minor a-

tion, monotonie, convergence , existence.

Niveau -

C lassede ter minaleS.

Logiciels -

O na f aitici l ec hoixd "utiliseru ntableur et u nlo gicielde c alculfor mel.M aisg eogebra(par exemp le)

permettrait également de traiter la partie expérimentation.

Durée -

1h en sall einf oet dev oirmaison. IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

2 Fiche professeur

2.1 Analyse mathématique

adésignant un nombre réel, on définit une suiteupar : (u 0AEa u nÅ1AE2Åln(un) sur le comportement de la suite : monotonie, convergence, bornes, mais aussi existence.

La fonctionfdéfinie sur]0;Å1[par

f(x)AE2Åln(x)¡x a pour tableau de variations :x

Variation de

la fonctionf01Å1

¡111

¡1¡1®

0¯ 0

ce qui amènera l"élève à distinguer trois intervalles lors de l"étude expérimentale :

I lsemb lequ epour des v aleursde adans l"intervalle]¡1;®[(où®¼0,159), on ne définisse pas une suite.

croissante. Cette suite semble bornée (par 0,5 et 3,5 par exemple) et semble être convergente vers¯.

3. sante. Cette suite semble bornée (par 3 etu0) et semble être convergente vers¯. 4. L esc asaAE®,aAE¯seront peut-être envisagés également par les élèves.

Le devoir à rendre consiste à faire l"étude classique de la suite ainsi définie. Dans l"énoncé proposé, aucune

induire des tentatives de traitement du problème.

2.2 Niveau

Class e: T S.

P ourla partiedémon stration:ils "agitd"undevoirm aisonàdonnerdansunepartieav ancéedel "année.Doi vent

être maîtrisées les notions concernant le logarithme, le théorème des valeurs intermédiaires, la quasi totalité

des notions relatives aux suites, les démonstrations par récurrence. J"ai utilisé ce dm en avril comme dm de

révisions en analyse.

2.3 Objectifs

2.3.1 Compétences TICE

F ormuleda nsune cellu lede tab leur.

T racerle gr aphed "unefonc tiond ansun t ableur.

C omprendred ansune f euillede t ableurqu ele c ontenud "unec ellulepeut jo ueru nrô lede pa ramètre.

U tiliserun g rapheur(ou u nlogiciel d ec alculfor mel)pour est imerle nomb rede sol utionsd "uneéq uationet

un encadrement de ces solutions.IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

2.3.2 Compétences mathématiques

D ansla par tieobser vationset c onjectures: essent iellementsav oirf airele lie na vecc equ iaur aété v uen

classe sur les suitesunÅ1AEf(un) pour être capable d"affiner ses observations. On pourrait notamment at-

tendre des élèves qu"ils recherchent d"eux mêmes, sans l"indication donnée ici, des renseignements sur les

solutions de l"équation ln(x)Å2AEx. 2.

Révisi onssur les n otionsd "analyse:

²Démonstration par récurrence.

²Fonction ln.

²Résultats sur les suites.

²Théorème des valeurs intermédiaires.

2.4 Scénario

T ravaild "expérimentations urmac hine: u neheur e.

S uivid "undev oirà l amaison de démon strationet rédac tion.IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

3 Fiche élève

3.1 Expérimentation

adésigne un nombre réel.

On définit une suiteupar :(u

0AEa u nÅ1AE2Åln(un)

Faire une feuille de tableur qui devra afficher les premiers termes de la suite. En essayant diverses valeurs de

a, on essaiera de faire des conjectures sur le comportement de la suite en fonction du terme initialu0AEa.

On pourra, pour s"aider dans cette phase de conjecture, faire tracer un " nuage de points » (c"est à dire une

représentation graphique des premiers termes de la suite).

On se posera notamment les questions suivantes :

1. Dé finit-ona insiu nes uitep ourtoute v aleurde a? Préciser pour quelles valeurs dea... 2.

L asu iteusemble-t-elle croissante pour certaines valeurs dea? décroissante pour certaines valeurs dea?

constante pour certaines valeurs dea? 3.

L asu itesem ble-t-ellemajorée ,minorée ,bor néepou rcer tainesv aleursde a? Et dans ces situations, valeur

d"un majorant, valeur d"un minorant? 4.

L asu itesemb le-t-ellecon vergentep ourcer tainesv aleursde a? divergente pour certaines valeurs dea?

Pour préparer le travail de démonstration relatif aux questions concernant la suiteu, on

cherchera également à répondre expérimentalement à la question suivante à l"aide du

logiciel Xcas : "Quel est le nombre de solutions de l"équation ln(x)Å2AEx? Donner un encadrement des solutions.»

3.2 Devoir maison

1. S urpap ier,insc rirel esf ormulesutili séesd ansla f euillede t ableur. 2. S urpap ier,insc rirel esf ormulesutili séesa vecXca set les ré ponsesd eX cas. 3.

Dé criret outesles con jecturesf aites.

Dé montrezqu el "équation2 Åln(x)AExadmet exactement deux solutions dansR(que l"on appellera®et¯,

avec®Ç¯). 5.

P ourl av aleuraAE1 :

(a)

Q uellessont v oscon jectures?

(b) D émontreztou tesces c onjectures.S oyezle plu sc ompletet l ep lusprécis p ossible. 6.

P ourl av aleuraAE5 :

(a)

Q uellessont v oscon jectures?

(b) D émontreztou tesces c onjectures.S oyezle plu sc ompletet l ep lusprécis p ossible. 7.

L "étudeexpérimentaledelasuitevousaamenéàconjecturerpourquellesvaleursdealasuiteestcroissante.

Démontrer ces conjectures.IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

4 Compte-rendu d"expérimentation

4.1 Partie expérimentale

Le TP a été traité avec une classe de terminale ayant déjà bien manipulé le tableur. La construction de la suite

et les conjectures n"ont pas posé de problème particulier.

Les élèves ont par contre ont eu beaucoup de mal à comprendre l"utilité de la question sur le nombre de

solutions de l"équation ln(x)Å2AExet n"avaient donc certainement pas associé leur construction aux situations

vues en classe (quelques mois auparavant) sur les suitesunÅ1AEf(un).

Par ailleurs, le choix fait de les guider vers un logiciel de calcul formel (qui ne donne pas ici de solutions exactes)

ne les a pas aidé à comprendre qu"ils se trouvaient face à une situation où le théorème des valeurs intermédiaires

devait intervenir. Certains ont au contraire chercher vainement dans l"aide du logiciel quelles commandes pour-

raient leur donner des valeurs exactes des solutions.

4.2 DM

S ile pr oblèmed "existencep ourla sui tea bien été c onstatéet con jecturélors de l "étapeexp érimentale,il a

été complètement oublié lors des démonstrations. d"existence. Par exemple, juste après la question 4 : 4.2 i. É tablirque l "ondéfinit bien une su itel orsqueaest un réel de l"intervalle [®;Å1[. ii. É tablirqu el "onne définit p asune su itelo rsqueaest un réel de l"intervalle ]¡1;®[.

Cela permettrait par ailleurs de simplifier la réponse à donner aux questions suivantes puisque le problème

d"existence est déjà traité. 2. En d"autres termes, ils traduisent la question par : et non par : pour les autres cas.IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

5 Un traitement de la partie expérimentale avec geogebra

Construction d"une feuille geogebra.

O ndéfin itu nefon ctiongparg(x)AE2Åln(x).

2. O ndéfin itle p aramètreaà l"aide d"un curseur. 3.

O ndéfin itu npar amètren(nombre de termes de la suite qui seront calculés) avec un curseur.

4. O ncalcule a lorsles npremiers termes de la suite : 5. P uisles point sde la r eprésentationgr aphique(1 ·i·n) :

Les valeurs de®et¯apparaissent naturellement en traçant la courbe deget celle de la droite D d"équation

yAEx.

On peut enchaîner sur la construction classique des points à l"aide de la droite D, construction qui met bien

en évidence la valeur de la limite : 1.

O ndéfin itle spoint s( ui;ui) de la droite D :IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

P uisles point s( ui;uiÅ1) :

P uisles segmen tsv erticaux:

E ten finl esseg mentshor izontaux:

quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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2 Fiche professeur3

2.1 Analyse mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Compétences TICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Compétences mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Scénario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fiche élève5

3.1 Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Compte-rendu d"expérimentation6

4.1 Partie expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Un traitement de la partie expérimentale avec geogebra 7IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

1 Thèmes abordés, classe concernée, logiciels utilisés

Titre -

Thèmes -

Niveau -

C lassede ter minaleS.

Logiciels -

Durée -

1h en sall einf oet dev oirmaison. IREM DE LYON-GROUPE UPO LYON-INRPretour au sommaire

2 Fiche professeur

2.1 Analyse mathématique

La fonctionfdéfinie sur]0;Å1[par

Variation de

¡111

¡1¡1®

2.2 Niveau

Class e: T S.

2.3 Objectifs

2.3.1 Compétences TICE

F ormuleda nsune cellu lede tab leur.

T racerle gr aphed "unefonc tiond ansun t ableur.

2.3.2 Compétences mathématiques

Révisi onssur les n otionsd "analyse:

²Démonstration par récurrence.

²Fonction ln.

²Résultats sur les suites.

²Théorème des valeurs intermédiaires.

2.4 Scénario

3 Fiche élève

3.1 Expérimentation

On définit une suiteupar :(u

On se posera notamment les questions suivantes :

3.2 Devoir maison

Dé criret outesles con jecturesf aites.

P ourl av aleuraAE1 :

Q uellessont v oscon jectures?

P ourl av aleuraAE5 :

Q uellessont v oscon jectures?

4 Compte-rendu d"expérimentation

4.1 Partie expérimentale

4.2 DM

5 Un traitement de la partie expérimentale avec geogebra

Construction d"une feuille geogebra.

O ndéfin itu nefon ctiongparg(x)AE2Åln(x).

P uisles point s( ui;uiÅ1) :

P uisles segmen tsv erticaux:

E ten finl esseg mentshor izontaux: