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Exercice 1 12 Soit (aij)i∈N,j∈N une suite double d'éléments de R+ Corrigé cf l'exercice 1 du 14/11/1998 dans le paragraphe examens corrigés Exercice 2 11 R(sinht,cosht) coshtdt, qui est l'intégrale d'une fraction rationnelle en sinh, cosh pour a = 1, puisqu'un changement de variable permet de s'y ramener

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Pour la fonction u on peut effectuer le changement de variables x = tan(t) Exercice 4 Calculer les intégrales suivantes en effectuant le changement de L' aire du disque est donc bien évidemment le double de l'intégrale que l'on vient de

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Annexe C Annales 2011-2012, Texte et corrigé de l'examen de session 1 17 Annexe D f(x)dx = If et on l'appelle l'intégrale de Riemann de f sur [a, b] Exercice 1 Exercice 20 (calcul d'intégrales doubles par changement de variables, extrait du DM 1) http://www math u-bordeaux1 fr/∼yger/analyse1 pdf en ligne

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Exercices - Calcul d'intégrales : corrigé Intégration par parties le changement de variables u = ex dans l'intégrale, de sorte que du = exdx corrigé Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives - L1/Math Sup - ⋆⋆ 1

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1 2 Exercices (b) changement de variable : t = log(z), z = et, dz = etdt La fonction a1{y:f(y)李a} est une fonction étagée et on calcule son intégrale : ∫ Ω

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Le but de cet exercice est de montrer que recouvrir les sous-ensembles E ⊂ Rd (a) Pour prouver l'égalité demandée, on va raisonner par double inégalité La deuxième intégrale, positive, se calcule et se majore par une constante (c) le théorème de changement de variables dans les intégrales en théorie de Borel-

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x − 2 y dx dy sur D = {(x,y) ∈ R2 0 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ e} Corrigé de l' exercice 1 2 On calcule l'intégrale en séparant les variables : ∫∫ D

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Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéIntégration par parties - Changements de variable Exercice 1- Changements de variables - Niveau 1-L1/Math Sup-?

1. La fonctiont?→⎷test une bijection de classeC1de[1,4]sur[1,2]. On peut donc poser

u=⎷t. Lorsquet= 1,u= 1et lorsquet= 4,uvaut 2. De plus, on a

1-⎷t⎷t

=1-uu et u=⎷t=?t=u2=?dt= 2udu.

On en déduit que

4

11-⎷t

t dt=? 2 11-uu 2udu 2

1(2-2u)du

2u-u2?2

1=-1

2. La fonctionx?→exréalise une bijection de[1,2]sur[e,e2]. Effectuons le changement de

variablesu=exdans l"intégrale, de sorte quedu=exdx. Il vient 2 1e x1 +exdx=? e2 edu1 +u=?ln|1 +u|?e2 e= ln?1 +e21 +e? Exercice 2- Changements de variables - Niveau 2-L1/Math Sup-??

1. La fonctionx?→lnxréalise une bijection de[1,e]sur[0,1]. On pose doncu= lnxde

sorte quedu=dxx . De plus, lorsquexvaut 1,uvaut 0 et lorsquexvaute,uvaut1. On trouve donc ?e

1(lnx)nx

dx=? 1 0undu

1n+ 1.

2. La fonction à intégrer est définie et continue sur]0,+∞[. On se limite donc à calculer

l"intégrale recherchée pourx >0. La fonctiont?→⎷e t-1est une bijection de[1,x]sur [⎷e-1,⎷e x-1]. Posantu=⎷e t-1, on a du=et2 ⎷e t-1dt d"où

F(x) = 2?

⎷e x-1 ⎷e-1duu

2+ 4= arctan?

⎷e x-12 -arctan? ⎷e-12 .http://www.bibmath.net1

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéExercice 3- Changements de variables - Recherche de primitives-L1/Math Sup-

1. La fonctionx?→lnxx

est définie et continue sur]0,+∞[, intervalle sur lequel on cherche à calculer une primitive. Pour cela, on fait le changement de variablesu= lnx, de sorte quedu=dxx et on trouve ?lnxx dx=? udu 12 u2+C 12 (lnx)2+C.

2. La fonctionx?→cos(⎷x)est définie et continue sur]0,+∞[, intervalle sur lequel on cherche

à calculer une primitive. Pour cela, on effectue le changement de variablesu=⎷x, de sorte quex=u2ou encoredx= 2udu. On trouve alors cos(⎷x)dx= 2? ucos(u)du = 2[usinu]-2? sin(u)du = 2usinu+ 2cosu+C = 2⎷xsin(⎷x) + 2cos(⎷x) +C (on a aussi effectué une intégration par parties). Exercice 4- Intégration par parties - Niveau 1-L1/Math Sup-?

1. La fonctionx?→arctanxétant continue surR, elle admet une primitive sur cet intervalle.

On intègre par parties en posant :

u(x) = arctanx u?(x) =1x

2+1v?(x) = 1v(x) =x

de sorte que arctantdt=xarctanx-?xx 2+ 1. La primitive que l"on doit encore rechercher est de la formeg?/g, et donc arctantdt=xarctanx-12 ln(x2+ 1).

2. La fonctionx?→(lnx)2étant continue sur]0,+∞[, elle admet des primitives sur cet

intervalle. On se restreint à cet intervalle et on intègre par parties en posant : u(x) = (lnx)2u?(x) = 2lnxx v?(x) = 1v(x) =xhttp://www.bibmath.net2 Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéde sorte que (lnt)2dt=x(lnx)2-2? lntdt. Une primitive dex?→lnxétantx?→xlnx-x(résultat qui se retrouve en intégrant par parties), on trouve finalement qu"une primitive dex?→(lnx)2est x?→x(lnx)2-2xlnx+ 2x.

3. On va intégrer par parties deux fois. On travaille sur l"intervalle]0,+∞[, là où la fonction

est bien définie et continue. On pose alors : u(x) = sin(lnx)u?(x) =1x cos(lnx) v ?(x) = 1v(x) =x de sorte que sin(lnx)dx=xsin(lnx)-? cos(lnx). On intègre une deuxième fois par parties en posant u

1(x) = cos(lnx)u?1(x) =-1x

sin(lnx) v ?1(x) = 1v1(x) =x de sorte que cos(lnx)dx=xcos(lnx) +? sin(lnx).

En mettant tout cela ensemble, on trouve

sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx)-? sin(lnx) soit sin(lnx) =x2 ?sin(lnx)-cos(lnx)?. Exercice 5- Intégration par parties - Niveau 2-L1/Math Sup-??

1. On intègre par parties, en posantu?(x) =xetv(x) = (arctanx)2. On av?(x) =2arctan(x)x

2+1, et ceci nous incite à considérer comme primitive deu?la fonctionu(x) =12 (x2+1), ce qui va simplifier les calculs. On obtient alors I=12 ?(x2+ 1)(arctanx)2?1 0-? 1

0arctanx.

On calcule la dernière intégrale en réalisant à nouveau une intégration par parties, et on

trouve :

I=π216

-?xarctanx?1 0+? 1 0xx

2+ 1dx

π216

-π4 +12 ?ln(x2+ 1)?1 0

π216

-π4 +12 ln2.http://www.bibmath.net3

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigé2. La fonctionf:x?→xlnx(x2+1)2est continue sur]0,1], et elle tend vers 0 en 0. On peut donc

la prolonger par continuité à[0,1]en posantf(0) = 0, ce qui donne un sens àJ. Pour calculer cette intégrale, on va intégrer par parties entrea >0et1, pour ne pas être gêné par les problèmes en 0. On pose doncJ(a) =?1 axlnx(x2+1)2, puis : u(x) = (lnx)v?(x) =x(x2+1)2 u ?(x) =1x v(x) =-12(x2+1) ce qui donne

J(a) =?

-lnx2(x2+ 1)? 1 a +12 1 adxx(x2+ 1).

De plus,

1x(x2+ 1)=1x

-xx 2+ 1 de sorte que 1 adxx(x2+ 1)=? lnx-12 ln(x2+ 1)? 1 a =-12 ln2-ln(a) +12 ln(1 +a2).

On obtient donc que

J(a) =lna2(a2+ 1)-ln24

-lna2 +14 ln(1 +a2). Reste à faire tendreavers 0. Pour cela, on factorise parlna, et on trouve

J(a) =-a2ln(a)2(a2+ 1)-ln24

+14 ln(1 +a2). Commea2ln(a)tend vers 0 lorsqueatend vers 0, de même queln(1 +a2), on conclut finalement que

J=-ln24

Exercice 6- Une suite d"intégrales-L1/Math Sup-?? Pour(n,p)?N?×N, l"applicationx?→xn(lnx)pest définie et continue sur]0,1]. De plus,

les théorèmes de comparaison usuels entraînent que cette fonction se prolonge par continuité en

0 (remarquons l"importance den >0). Ceci justifie l"existence deIn,p. Pour calculerIn,p, nous

allons réaliser une intégration par parties. On la réalise entrea >0et1, pour prendre garde au fait que la fonction logarithme n"est pas définie en 0. On remarque aussi queIn,0=1n+1, et donc il suffit de traiter le casp >0.

On pose donc

I n,p(a) =? a

0xn(lnx)pdx

puis u(x) = (lnx)pv?(x) =xn u ?(x) =p(lnx)p-1x v(x) =xn+1n+1.http://www.bibmath.net4 Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéOn trouve alors, I n,p(a) =1n+ 1? xn+1(lnx)p?1 a-pn+ 1? 1 axn(lnx)p-1dx=-an+1n+ 1-pn+ 1In,p-1. On passe à la limite en faisant tendreavers 0, et on trouve : I n,p=-pn+ 1In,p-1.

On trouve alors

I

n,p=(-p)×(-(p-1))× ··· ×(-1)(n+ 1)×(n+ 1)× ··· ×(n+ 1)In,0=(-1)pp!(n+ 1)p×1n+ 1=(-1)pp!(n+ 1)p+1.

Exercice 7- Une autre suite d"intégrales-L1/Math Sup-??

On pose, pour(α,β,n,m)?R2×N2,

I m,n=?

α(t-α)m(t-β)ndt.

On intègre par parties pour obtenir une relation entreIm,netIm-1,n+1, et on trouve I m,n=? (t-α)m(t-β)n+1n+ 1? -mn+ 1?

α(t-α)m-1(t-β)n+1dt

=-mn+ 1Im-1,n+1.

D"autre part, pour toutp?N, on a

I 0,p=?

α(t-α)pdt=-(α-β)p+1p+ 1.

Une récurrence immédiate donne alors

I m,n= (-1)m+1m(m-1)...1(n+ 1)(n+ 2)...(n+m)(α-β)m+n+1m+n+ 1. En particulier, l"intégrale recherché vautIn,n, c"est-à-dire I n,n= (-1)n+1n!(n+ 1)...(2n)(α-β)2n+12n+ 1= (-1)n+1(α-β)2n+1(2n+ 1)?2n n?

Fractions rationnelles

Exercice 8- Fractions rationelles - Niveau 1-L1/Math Sup-?http://www.bibmath.net5

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigé1. On commence par faire apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur.

3x+ 2x

2+x+ 1=32

×2x+ 1x

2+x+ 1+12

×1x

2+x+ 1.

On intègre alors. Pour la première partie, c"est facile, car : ?2x+ 1x

2+x+ 1= ln|x2+x+ 1|.

Pour la seconde, on se ramène à écrire le dénominateur sous la formeX2+ω2, ce qui nécessite en plus un changement de variables. Ici, on ax2+x+ 1 =? x+12 2+34 soit, avec le changement de variablesu=x+ 1/2, ?dxx

2+x+ 1=?duu

2+? ⎷3 2

2=2⎷3

arctan?2u⎷3 =2⎷3 arctan?2x+ 1⎷3 Finalement, une primitive de la fonction recherchée est x?→32 ln|x2+x+ 1|+1⎷3 arctan?2x+ 1⎷3

2. C"est plus facile, car le numérateur est une constante. On écrit simplement quex2+4x+5 =

(x+ 2)2+ 1et la méthode précédente donne ?dxx

2+ 4x+ 5= arctan(x+ 2).

3. On commence par effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.

On trouve que

x

3+ 2x= (x-1)(x2+x+ 1) + 2x+ 1

d"oùx3+ 2xx

2+x+ 1=x-1 +2x+ 1x

2+x+ 1.

Une primitive est donc la fonction

x?→x22 -x+ ln|x2+x+ 1|.

4. On sait que la fraction rationnelle peut s"écrire

2x-1(x+ 1)2=ax+ 1+b(x+ 1)2.

Par identification (par exemple...), on trouve quea= 2etb=-3. Une primitive de la fonction est donc x?→2ln|x+ 1|+3x+ 1. Exercice 9- Fractions rationelles - Niveau 2-L1/Math Sup-?http://www.bibmath.net6

Exercices - Calcul d"intégrales: corrigé1. Le dénominateur se factorise en(x-1)(x2+x+ 1). On cherche alors à écrire

1x

3-1=ax-1+bx+cx

2+x+ 1.

Par identification (par exemple...) on trouvea= 1/3,b=-1/3etc=-2/3, soit 1x

3-1=13

×1x-1-13

×x+ 2x

2+x+ 1.

On cherche alors à faire apparaître la dérivée dex2+x+ 1pour faciliter l"intégration, et

on trouve1x

3-1=13

×1x-1-16

×2x+ 1x

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