I) Cosinus et sinus d'un nombre réel Valeurs remarquables du cosinus et du sinus d'un angle Tableau de variation de la fonction cosinus sur [0;π] : x 0 π
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Table trigonométrique (de cosinus) angles (◦ ) cosinus 0, 0◦ 1, 000000 0, 5◦ 0, 999962 1, 0◦ 0, 999848 1, 5◦ 0, 999657 2, 0◦ 0, 999391 2, 5◦
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TABLE TRIGONOMETRIQUE Degrés Cosinus Sinus Tangente 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
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Table du cosinus αo cos(αo) αo cos(αo) αo cos(αo) αo cos(αo) αo cos(αo) 1 0o 0,9998 1o 0,9993 2o 0,9986 3o 0,9975 4o 0,9961 5o 0,9945 6o 0,9925
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Table de rapports trigonométriques où les angles varient de 1° Annexe I 1 1 2 Pour trouver le cosinus de l'angle A (abréviation : cos∠A) la formule est :
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La table des sinus et des cosinus peut être interpolée linéairement dans toute son étendue Celles des tangentes et des sécantes peuvent l'être aussi de 0° à
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L'emploi de ces angles fait intervenir, dans les calculs, le cosinus, le sinus et la Il est bon de connaître parfaitement les valeurs de ce tableau à partir de la
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On définit ensuite le cosinus de l'angle en B que l'on note cos( ̂B) comme étant les angles, soit par lecture inverse de la table des cosinus, soit par utilisation
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OI JK A B 2 3 p -1 -2 -3 -p 1
Chapitre
Trigonométrie
I) Cosinus et sinus d"un nombre réel
1) mesure des angles en radians
Soit C un cercle de centre O. I est un point de ce cercle. On prend pour unité de longueur la longueur OA.
Soit J un autre point du cercle tel que le repère (O;¾¾®OI,
¾¾®OJ) soit orthonormé.
On oriente
le plan dans le sens direct. Soit d la droite tangente au cercle en A. On note K le point de coordonnées (1 ; 1).On munit d du repère (I ;
¾¾®IK).
Le nombre p est le quotient entre la circonférence d"un cercle et son diamètre. Dans l"unité de longueur choisie, c"est la longueur du demi-cercle C. "Enroulons" d sur le cercle.Les points de d viennent en coïncidence avec les points du cercle. C
Exemple :
Si A" est le point de d repéré par p, alors le point du cercle en coïncidence avec A" est A. Placer un point J" sur la droite d tel que J et J" coïncident.La longueur de IJ
est p2, donc IJ" = p
2.2) Définition : Soit M" un point de d repéré par x.
En "enroulant" d sur le cercle, on obtient un point M sur le cercle C tel queM et M" coïncident. Une mesure de l"angle
^IOM en radians est alors x rad.IOI = 0 rad
= 2 p rad IOJ = p2 rad
p 2 + 2p rad 5p 2 radIOA = p rad
= 3p rad IOB = 3p 2 rad 7p 2 rad On dit que chacun des réels x, x + 2p, x + 4p, ..., x - 2p, x - 4p; ... est une mesure de l"arc aIM et plusgénéralement les réels de la forme x + k´2p. En effet, la différence entre deux de ces mesures est un multiple
de 2p c"est-à-dire correspondant à la longueur d"un certain nombre de tours complets.Remarque :
Si on considère un cercle de centre O, de rayon r, et un angle AOM, A et M étant deux points du cercle. Désignons par l la longueur de l"arc de cercle AM.Une mesure en radians de l"angle
AOM est le réel a = l
r. Dans le cas où le cercle est de rayon 1, une mesure de l"angle en radians, coïncide avec la longueur de l"arc.3) Correspondance entre degrés et radians
Il y a proportionnalité entre la mesure des angles en degrés et mesure en radians ; il faut juste retenir que 180
degrés correspondent à p radians.Mesure en degrés 180 30 45 60 90 360
Mesure en radians
p p 6 p 4 p 3 p 2 2pII) Cosinus et sinus d"un nombre réel
Dans un repère orthonormé (O ;
¾¾®OI ,
¾¾®OJ), on note C le cercle de centre O et de rayon 1. On oriente le plan dans le sens direct . C est appelé le cercle trigonométrique.Définition :
Soit M un point de C tel que IOM = x rad (x Î 3). Le cosinus de x, noté cos x, est l"abscisse de M. Le sinus de M, noté sin x, est l"ordonnée de M.Exemples :
cos 0 = 1 et sin 0 = 0 ; cos p = -1 et sin p = 0 ; cos p 2 = 0 et sin p2 = 1.
Propriété 1 :
Pour tout x réel, -1 £ cos x £ 1 ;
-1 £ sin x £ 1 cos² x + sin² x = 1 (cette dernière propriété est due au théorème de Pythagore). Valeurs remarquables du cosinus et du sinus d"un angleMesure en radians
0 p 6 p 4 p 3 p 2Cosinus
1 3 2 2 2 1 2 0 Sinus 0 1 2 2 2 3 2 1III) Fonctions circulaires
1) Fonction cosinus
La fonction cosinus est définie sur
r et, pour tout réel x :cos(x + 2p) = cos(x) : la fonction cosinus est périodique, de période 2p, il suffit donc d"étudier la
fonction cosinus sur un intervalle de longueur 2p, soit [-p;p] par exemple.cos(-x) = cos(x) : la fonction cosinus est paire et il suffit alors d"étudier la fonction sur [0;p].
-1£ cos(x) £ 1 : la fonction cosinus admet un maximum égal à 1 en 0 et un minimum égal à -1 en p.
Tableau de variation de la fonction cosinus sur [0;p] : x 0 p cos(x) 1 -12) Fonction sinus La fonction sinus est définie sur
r et, pour tout réel x :sin(x + 2p) = sin(x) : la fonction sinus est périodique, de période 2p, il suffit donc d"étudier la
fonction sinus sur un intervalle de longueur 2p, soit [-p;p] par exemple.sin(-x) = -sin(x) : la fonction sinus est impaire et il suffit alors d"étudier la fonction sur [0;p].
-1 £ sin(x) £ 1 : la fonction sinus admet un maximum égal à 1 en p2 et un minimum égal à -1 en -p
2. Tableau de variation de la fonction sinus sur [0;p] :3) Représentation graphique
Pour tracer les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus, on utilise :La parité ( symétrie par rapport à l"origine pour la fonction sinus, symétrie par rapport à l"axe des
ordonnées pour la fonction cosinus ) La périodicité ( invariance de la courbe par les translations de vecteur k´2pi