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Trigonométrie dans le cercle
Table des matières
1 Angles dans un cercle2
1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Lignes trigonométriques5
2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Relations entre deux angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente8
PAULMILAN1 SECONDES
1. ANGLES DANS UN CERCLE
1 Angles dans un cercle
1.1 Cercle trigonométrique
Définition 1 :On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal direct(O;-→ı;-→?), le cercle de centreOet de rayon 1. O 11 -1 -11.2 Le radian
Définition 2 :La radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrd 1 rd O 11 -1 -1La mesure en degré de 1 radian vaut
donc :1 rd=180
π?57°
Remarque :Le radian est une grande
unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.Avantage: Permet de connaître la lon-
gueur d"un arc. Unité du système inter- national Il est important de connaître les angles remarquables en radian:Degré30°45°60°90°
Radianπ
6 4 3 2PAULMILAN2 SECONDES
1. ANGLES DANS UN CERCLE
Exemple :Convertir en radian les angles en degré suivants :15° , 36° , 75° , 120° , 135° , 150°
Pour convertir un angle en radian, on utilise la conversion 180°=πrd, soit pourx degré on a :xπ180radian.
On obtient alors :
Radianπ
12 5 5π 12 2π 3 3π 4 5π 6 Exemple :Convertir en degré les angles en radian suivant :8,7π12,5π18,11π6
Pour convertir un angle en degré, on utilise la conversion 180°=πrd, soit poury radian on a : y180πdegré.
Radianπ
8 7π 12 5π 1811π
6Degré22,5°105°50°330°
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique
Définition 3 :La mesure d"un angleαrepéré par un pointMdans le cercle trigonométrique, est la valeur algébrique de la longueur de l"arcAMoùA(1;0) Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire. O 11 -1 -1M M"On a représenté deux anglesαetβdont
l"un est positifαet l"autre négatifβ.On remarquera que l"on a indiqué le
sens trigonométrique On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est impor- tant de visualiser l"emplacement des angles pour s"en faire une idée.PAULMILAN3 SECONDES
1. ANGLES DANS UN CERCLE
O?0 ?π6 π4 π3 π22π3
3π4
?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3? -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6 Propriété 1 :Un même angleαpeut avoir plusieurs mesures. Si un angleα, repéré par le pointMsur le cercle trigonométrique, a comme me- suresxety, alors on a la relation suivante : y=x+k2πou plus simplementy=x[2π]yégalxmodulo 2π Exemple :Soit deux mesures sur le cercle trigonométrique d"un même angle : O 11 -1 -1M xySur la figure ci-contre on a tracé deux
mesures d"un même angle repéré par un point M.Par exemplex=π
6ety=-11π6.
En effet :
6-? -11π6? =(1+11)π6=2π Définition 4 :On appellemesure principaled"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervalle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :17π4 et-31π 6PAULMILAN4 SECONDES
2. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
17π
4est un mesure trop grande, il faut donc lui enlever un nombrekde tours (2π)
pour obtenir la mesure principale :17π
4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2
31π
6est une mesure trop petite, il faut donc lui rajouter un nombrekde tours
(2π) pour obtenir la mesure principale :31π
6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3
2 Lignes trigonométriques
2.1 Définitions
Définition 5 :Soit un angleαrepéré
par un point M sur le cercle trigonomé- trique. On appelle :cosα=OH projectiondeMsurl"axe
des abscissessinα=OK projection de M sur l"axe
des ordonnéestanα=AM" intersection de (OM)
avec la tangente en A cosα sinαtanα O? A? M M" H? KRemarque :Pour tout réelx, on a :
-1?cosx?1 et-1?sinx?1 cos2x+sin2x=1 et 1+tan2=1
cos2x2.2 Tableau des angles remarquables
Comme déjà vu dans le chapitre sur les configurations, voici le tableau à très bien connaître :Angle0π
6 4 3 2 sin01 2 ⎷2 2 ⎷3 21cos1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tan0 ⎷3