Pondichéry 26 avril 2017 - APMEP PDF S-Pondichery-26-avril-2017.pdf

[Brevet des collèges Pondichéry 2 mai 2017 EXERCICE 1 5 POINTS Onconsidèrel’expression E =(x ?2)(2x +3)?3(x ?2) 1 Développer E 2 Factoriser E etvéri?er que E =2F oùF =x(x ?2) 3 Déterminer tous les nombres x tels que(x ?2)(2x +3)?3(x ?2) =0 EXERCICE 2 6 POINTS Un sac contient 20 boules ayant chacune la même

Pondichéry 2 mai 2017 - APMEP

Pondichéry 3 2 mai 2017 Title: Pondichéry 2 mai 2017 Author: APMEP Subject: Corrigé du brevet des collèges Created Date: 6/19/2017 10:15:45 PM

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?Baccalauréat S Pondichéry 26 avril 2017?

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Les partiesA,BetCpeuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l"exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. La chocolaterie "Choc"o» fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85%.

PartieA

À l"issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées,mal calibrées, etc. La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication : lachaîneA,lente,pourlaquelle laprobabilitéqu"une tablettedechocolatsoit commercialisable est égale à 0,98. la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu"une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95. À la fin d"une journée de fabrication, on prélève au hasard unetablette et on note : Al" évènement : "la tablette de chocolat provient de la chaînede fabrication A»; Cl"évènement : "la tablette de chocolat est commercialisable». On notexla probabilité qu"une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1.Montrer queP(C)=0,03x+0,95.

2.À l"issue de la production, on constate que 96% des tablettessont commer-

cialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu"une ta- blette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

PartieB

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d"une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variablealéatoireZsuivant une loi exponentielle de paramètreλ.

1.La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.Déterminer le paramètreλde la loi exponentielle.

2.CalculerP(Z>2).

3.Sachant que la machine de l"atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle

est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans?

PartieC

On noteXla variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcen- tage, d"une tablette de 100 g de chocolat commercialisable.On admet que X suit la loi normale d"espéranceμ=85 et d"écart typeσ=2.

1.CalculerP(83 Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2% du pourcentage annoncé sur l"emballage?
Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Déterminer une valeur approchée au centième du réelatel que :

P(85-a Interpréter le résultat dans le contexte de l"exercice.
3.La chocolaterie vend un lot de 10000 tablettes de chocolat à une enseigne de
la grande distribution. Elle affirme au responsable achat del"enseigne que, dans ce lot, 90% des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l"intervalle [81,7; 88,3]. fait prélever 550 tablettes auhasarddanslelot etconstateque,sur cetéchan- tillon, 80 ne répondent pas au critère. Au vu del"échantillon prélevé, que peut-on conclure quant àl"affirmation de la chocolaterie?
EXERCICE23 points

Commun à tous les candidats
On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct?
O,-→u,-→v?

1.On considère l"équation
(E):z2-6z+c=0 oùcest un réel strictement supérieur à 9. a.Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. b.Justifier que les solutions de (E) sontzA=3+i? c-9 etzB=3-i?c-9.
2.On note A et B les points d"affixes respectiveszAetzB.
Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.
3.Démontrer qu"il existe une valeur du réelcpour laquelle le triangle OAB est
rectangle et déterminer cette valeur.
EXERCICE34 points

Commun à tous les candidats
Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne. Après étude géologique, l"entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d"unité 2 m, la zone decreusement est la surface délimitée par l"axe des abscisses et la courbeC.
Pondichéry226 avril 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.
montagne zone de creusement C O -→u-→ v On admet queCest la courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [-2,5 ; 2,5] par : f(x)=ln?-2x2+13,5?. L"objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètrecarré près, de l"aire de la zone de creusement.
PartieA : Étude de la fonctionf

1.Calculerf?(x) pourx?[-2,5 ; 2,5].

2.Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonctionfsur [-2,5 ; 2,5].

En déduire le signe defsur [-2,5 ; 2,5].

PartieB : Aire de la zonede creusement
On admet que la courbeCest symétrique par rapport à l"axe des ordonnées du re- père.
1.La courbeCest-elle un arc de cercle de centre O? Justifier la réponse.

2.Justifier que l"aire, en mètre carré, de la zone de creusementest
A=8? 2,5 0 f(x)dx.
3.L"algorithme, donnéen annexe,permet decalculer unevaleur approchée par
défaut deI=? 2,5 0 f(x)dx, notéea.
On admet que :a?I?a+f(0)-f(2,5)
n×2,5. a.Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pourR etSlors de l"exécution de l"algorithme pourn=50. Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes. b.En déduire une valeur approchée, au mètre carréprès, de l"aire de la zone de creusement.
EXERCICE45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité
On considère deux suites
(un)et(vn):
Pondichéry326 avril 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.
la suite(un)définie paru0=1 et pour tout entier naturel n:un+1=2un-n+3; la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=2n.
PartieA : Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l"aide d"un tableur.
Une copie d"écran est donnée ci-dessous.
ABC
1rangntermeuntermevn
2011
3152
42124
53258

645016

1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par
copie vers le bas les termes des deux suites?
2.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

121030801024

131161532048

1412122984096

15l3245878192

Conjecturer les limites des suites(un)et?unvn?

PartieB : Étude de la suite
(un)
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a
u n=3×2n+n-2.
2.Déterminer la limite de la suite(un).

3.Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

PartieC : Étude de la suite
?un vn?
1.Démontrer que la suite?un
vn? est décroissante à partir du rang 3.
2.On admet que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 4, on a : 0
2n?1n.

Déterminer la limite de la suite
?un vn?
EXERCICE45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité
On définit les suites
(un)et(vn)par : u
0=v0=1et, pour tout entier natureln,un+1=2un+3vnetvn+1=2un+vn.
On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.
PartieA : Conjectures
Flore a calculé les premiers termes des suites à l"aide d"un tableur.
Une copie d"écran est donnée ci-dessous.

Pondichéry426 avril 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.
ABC
1rangntermeuntermevn
2011
3153

421913

537751

64307205

1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par
copie vers le bas les termes des suites?
2.Soitnun entier naturel.

Conjecturer la valeur de PGCD
(un;vn). Aucune justification n"est deman- dée.
3.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

12101258291838861

13Il50331653355443

14122013265913421773

15138053063753687091

Elle émet la conjecture : "la suite?unvn?
converge».
Qu"en penser?

PartieB : Étude arithmétique

1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :

2un-3vn=(-1)n+1.

2.Soitnun entier naturel.
Déduire de la question précédente la valeur de PGCD (un;vn).
PartieC : Étude matricielle

Pour tout entier natureln, on définit :

la matrice colonneXn=?un
v n?
les matrices carréesP=?1 3
-1 2? etQn=?(-1)n3×22n (-1)n+122n+1?
1. a.Montrer que la matrice1
5? 2-3 1 1? est l"inverse deP. b.On admet que, pour tout entier natureln, on aXn=QnP-1X0. Démontrer que, pour tout entier natureln, on a???????u n=(-1)n+1+3×22n+1 5 v n=(-1)n+22n+2 5
2. a.Vérifier que, pour tout entier natureln, on aun
vn=(-1)n+1
22n+1+3
(-1)n
22n+1+2.
b.En déduire la limite de la suite?un vn?
Pondichéry526 avril 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE53 points

Commun à tous les candidats
On considère un cube ABCDEFGH fourni en annexe.
L"espace est rapporté au repère?

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

On notePle plan d"équationx+1

2y+13z-1=0.
Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le planP. La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.
Pondichéry626 avril 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.
ANNEXE à compléter et à remettreavecla copie
EXERCICE 3

Variables

RetSsont des réels
netksont des entiers
Traitement

Sprend la valeur 0

Demander la valeur den

Pourkvariant de 1 ànfaire

Rprend la valeur2,5n×f?2,5n×k?

Sprend la valeurS+R

Fin Pour

AfficherS
Le tableau ci-dessous donne les valeurs deRet deS,arrondies à10-6, obtenues lorsquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

PartieA

1.Montrer queP(C)=0,03x+0,95.

2.À l"issue de la production, on constate que 96% des tablettessont commer-

PartieB

1.La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.Déterminer le paramètreλde la loi exponentielle.

2.CalculerP(Z>2).

3.Sachant que la machine de l"atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle

PartieC

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Déterminer une valeur approchée au centième du réelatel que :

3.La chocolaterie vend un lot de 10000 tablettes de chocolat à une enseigne de

EXERCICE23 points

Commun à tous les candidats

O,-→u,-→v?

1.On considère l"équation

2.On note A et B les points d"affixes respectiveszAetzB.

3.Démontrer qu"il existe une valeur du réelcpour laquelle le triangle OAB est

EXERCICE34 points

Commun à tous les candidats

Pondichéry226 avril 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieA : Étude de la fonctionf

1.Calculerf?(x) pourx?[-2,5 ; 2,5].

2.Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonctionfsur [-2,5 ; 2,5].

En déduire le signe defsur [-2,5 ; 2,5].

PartieB : Aire de la zonede creusement

1.La courbeCest-elle un arc de cercle de centre O? Justifier la réponse.

2.Justifier que l"aire, en mètre carré, de la zone de creusementest

3.L"algorithme, donnéen annexe,permet decalculer unevaleur approchée par

On admet que :a?I?a+f(0)-f(2,5)

EXERCICE45 points

On considère deux suites

Pondichéry326 avril 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieA : Conjectures

Une copie d"écran est donnée ci-dessous.

1rangntermeuntermevn

645016

1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par

2.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

121030801024

131161532048

1412122984096

15l3245878192

Conjecturer les limites des suites(un)et?unvn?

PartieB : Étude de la suite

1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a

2.Déterminer la limite de la suite(un).

3.Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

PartieC : Étude de la suite

1.Démontrer que la suite?un

2n?1n.

Déterminer la limite de la suite

EXERCICE45 points

On définit les suites

0=v0=1et, pour tout entier natureln,un+1=2un+3vnetvn+1=2un+vn.

PartieA : Conjectures

Une copie d"écran est donnée ci-dessous.

Pondichéry426 avril 2017

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1rangntermeuntermevn

421913

537751

64307205

1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par

2.Soitnun entier naturel.

Conjecturer la valeur de PGCD

3.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

12101258291838861

13Il50331653355443

14122013265913421773

15138053063753687091

Elle émet la conjecture : "la suite?unvn?

Qu"en penser?

PartieB : Étude arithmétique

1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :

2un-3vn=(-1)n+1.

la matrice colonneXn=?un

les matrices carréesP=?1 3