Page 3 sur 13 Conventions relatives aux travaux topographiques formules 1- Triangle quelconque Relation des sinus a / sin A = b / sin B = c / sin C Relation
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Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 1 sur 13 FFoorrmmuullaaiirree dd''aaiiddee àà llaa rrééssoolluuttiioonn ddeess pprroobbllèèmmeess ddee ccaallccuull ttooppoommééttrriiqquuee Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe &
BEP Topographie
- Version 2013 - Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 2 sur 13Sommaire
1 - Triangle quelconque
2 - Triangles semblables
3 - Triangle rectangle
4 - Trapèze
5 - Polygone de n côtés
6 - Raccordements circulaires
7 - Secteur circulaire
8 - Transformations de coordonnées
9 - Intersection de deux droites
10- Intersection de deux cercles
11- Intersection droite - cercle
12 - Nivellement indirect
13- Corrections des distances
14- Correction de niveau apparent
15- Relèvement sur 3 points : méthode du barycentre
16- Relèvement sur 3 points : méthode de Delambre
17- Changement de base
Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 3 sur 13Conventions relatives aux travaux topographiques
Unités en vigueur :
- distance en mètre (m) - angle en grades (gon)Systèmes de coordonnées géographiques
Longitude, latitude, h
Systèmes de coordonnées planimétriques
- Coordonnées locales : x, y, Altitude (H) ou Hauteur (h) - Coordonnées Lambert 93 : e, n, Altitude(H) - Coordonnées RGF 93 CC (9 zones) : E, N, Altitude(H) Systèmes de coordonnées géocentriques X, Y, Z Systèmes de coordonnées altimétriques (altitude normale) - NGF-IGN 69 (NGF-IGN 78 pour la Corse)Rayon de la terre : 6370 km
Terminologie usitée :
- ht = hauteur des tourillons - hp = hauteur de prisme = hv (voyant) ou hr (réflecteur) Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 4 sur 13 A B C b a c h m n croquis - schémas formules1-Triangle quelconque
Relation des sinus
a / sin A = b / sin B = c / sin CRelation des cosinus
a2 = b2 + c2 - 2 b . c . cos A b2 = a2 + c2 - 2 a . c . cos B c2 = a2 + b2 - 2 a . b . cos CSuperficie
S = 1/ 2 (a . b . sin C)
S = 1/ 2 (a . c . sin B)
S = 1/ 2 (b . c . sin A)
S = (a2 . sin B . sin C) / 2 sin A
avec p = 1/2 périmètre n = (c2 +a2 - b2 )/ 2a h2 = c2 - n2 =b2 - m22-Triangles semblables
Théorème de Thalès
AAൌ AB
AൌB
S AMN = S ABC . k2
A B C N M Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 5 sur 13 A B C b a c croquis - schémas formules3-Triangle rectangle
sin B = côté opposé /hypoténuse = b/a cos B = côté adjacent/hypoténuse = c/a tan B = côté opposé /côté adjacent = b/cBA2 +AC2 = BC2
Superficie
S = 1/2 ( b . c)
4-Trapèze
S1 = superficie MJKQ
JK2 = MQ2- 2S1 (1/tan Q -1/tan M)
QK = 2S1 / (MQ + JK). sin Q
JM = 2S1 / (MQ + JK). sin M
5-Polygone de n cotés
Somme des angles intérieurs
ɇ = (n - 2) . 200
Somme des angles extérieurs
ɇ = (n + 2) . 200
Superficie
A B C D E F G M Q P N J K S1 Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 6 sur 13 croquis - schémas formules6-Raccordements circulaires
Périmètre du cercle= 2.ʋ. r
Superficie du cercle = ʋ.r2
Longueur de la corde T1T2 = 2.r.sin (ɴ/2)
Longueur de l'arc с T1T2 = 2.ʋ. r. ɴ /400 Longueur de la flèche MH = r - [r.cos (ɴ/2)]Longueur de la tangente
ST1 = ST2 = r . tan(ɴ/2)
7-Secteur circulaire
Triangle: S = ½ . r2. sin
Secteur: S ʋ. r2. ɴ/400
Segment: S Secteur - S triangle
0 M T1 T2 r S H 0 T1 T2 rTriangle
Segment
Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 7 sur 13 croquis - schémas formules8-Transformations de coordonnées xB - xA = DAB .sin GAB
yB - yA = DAB .cos GABGisement AB
tan G' с IѐxI /IѐyI on obtient G' aǀec son signe si ѐx ш0 et ѐyш0 GAB с G' si ѐx ш0 et ѐyч0 GAB = 200-G' si ѐx ч0 et ѐyч0 GAB с 200нG' si ѐx ч0 et ѐyш0 GAB = 400-G'9-Intersection de deux droites
1ère méthode :
GAB et DAB par (x,y)
résolution du triangle AMB angle A = GAB- GAM angle B = GBM - GBADAM et DBM
Calcul des (x,y) de M depuis A
Contrôle : (x,y) de M depuis B
2ème méthode : (formule de Delambre)
depuis A(xA - xB) - (yA - yB) . tan GBM yM - yA= ------------------------------ tan GBM - tan GAM
xM - xA = (yM - yA) . tan GAMContrôle: idem depuis B
x xB xA B A yA yB GAB y O B y O x A GAM M GBM Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 8 sur 13 croquis - schémas formules10-Intersection de deux cercles
calcul de GO1-O2 et DO1-02 par (x,y) résolution du triangle O1O2M calcul de GO1-M puis xM et yM par rapport à O1Contrôle :
calcul de GO2-M puis calcul de xM et yM par rapport à O211-Intersection droite - cercle
GAO et DAO par (x,y)
résolution du triangle AOM1OM1 = r = rayon
Calcul angle A, angle M1, angle O
Distance AM1
Calcul des (x,y) de M1 depuis A
Contrôle :
Calcul des (x,y) de M1 depuis O
idem pour le triangle AOM2 x y O O2 O1 M r1 r2 M y O x 0 A GAM M1 M2 r Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 9 sur 13 croquis - schémas formules12-Nivellement indirect
Dh = (Di² - ȴhiϸ)
DĠniǀelĠe instrumentale ȴhi
ȟhi = Di . cos V
ȟhi = Dh / tan V
Dh= Di . sin V
HP = HS + ht + ȴhi - hp
13- Corrections des distances
Pour obtenir une distance, il conviendra
d'apporter aux mesures de longueurs les corrections suivantes :1- constante de prisme (donnée
constructeur)2- correction atmosphérique - ca-
obtenue par lecture sur un abaque (saisie sur le terrain au moment des mesures)3- correction de pente - cp-
Dh= Di.sin V
4- correction de rĠduction ă l'ellipsoŢde -
co-5- correction de représentation plane
ou de projection - cr ou cl - cette correction varie en fonction de la situation géographique du chantier, elle est obtenue sur " CIRCE ».On fixe pour une zone de travail un module m
tenant compte de la hauteur moyenne au dessus de l'ellipsoŢde et de la position planimétrique d'un point central du canevas pour déterminer les coefficients k0 et kr.Coefficient de rĠduction ă l'ellipsoŢde
Coefficient d'altĠration linĠaire :
kr lu ă l'aide du logiciel CIRCEOn déduit un module m par lequel sont
multipliées toutes les distances "terrain" préalablement réduites à l'horizontale.Distance réduite à la projection
Drm = Dhm. mm/km
hp ht V Dh Di S P Dhi Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 10 sur 13 croquis - schémas formules14- Correction de niveau apparent
Pour des portées supérieures à 300m, il est nécessaire de prendre en compte deux erreurs systématiques ͗ l'erreur due ă la sphĠricitĠ de la terrestre et l'erreur due ă la réfraction atmosphérique. Ces erreurs de sphéricité et de réfraction sont généralement associées en une seule erreur nommée erreur de niveau apparent.La correction globale est appelée correction
de niveau apparent Cna. Cette correction est à ajouter à la dénivelée.On utilise gĠnĠralement l'edžpression
simplifiée suivante :Avec Cna en mètre, et Dh en km
Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 11 sur 13 croquis - schémas formules15-Relèvement sur 3 points:
méthode du barycentreS est inconnu et stationné
A, B et C sont trois points connus
ma = 1 / (cotan A - cotan ɲ) mb = 1 / (cotan B - cotan ɴ) ma. xA + mb. xB + mc. xC xS = ------------------------------------ ma + mb + mcma .yA + mb. yB + mc. yC yS = ----------------------------------- ma + mb + mc rappel : cotan A = 1/ tanA