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Fiche 028 - distance d"un point à un plan
Soit (P) le plan d"équation x - 2y + 3z - 1 = 0 et A(2;-1;3). Calculer la distance de A à (P) On appelle distance d"un point A à un plan , la distance minimale entre A et un point du plan. C"est la distance entre A et le projeté orthogonal de A sur le plan . Soit H(x;y;z) le projeté orthogonal de A sur (P) : ®AH est un vecteur normal de (P) , donc colinéaire à®n (1;-2;3) , donc ®AH = t ®n , donc
x - 2 = t y + 1 = - 2t z - 3 = 3t , donc x = 2 + t y = - 1 - 2t z = 3 + 3t H appartient au plan donc x - 2y + 3z - 1 = 0 , donc 2 + t - 2(-1 - 2t) + 3(3 + 3t) - 1 = 0 donc 12 + 14t = 0 et t = - 6 7 donc®AH (- 6
7 ; 127 ; - 18
7 ) , donc AH² = 6² + 12² + 18²
7² = 504
49donc d(A,(P)) = 6 14 7 d(A,(P)) = |¾¾¾¾®®®®AB .®®®®n | ®®®®n || avec ®®®®n vecteur normal de (P) et B un point quelconque (P) B(1;0;0) appartient au plan (P) car ses coordonnées vérifient l"équation de (P) ®AB(-1;1;-3) , ®n (1;-2;3) donc ®AB.®n = - 1 - 2 - 9 = - 12 donc d(A,(P)) = 12