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Chap 10 :Trigonom´etrie
I. Le cercle trigonom´etrique
1) D´efinition
On munit le plan d"un rep`ere orthonorm´e?
O;-→i ,-→j?
D´efinition 1 :On appellecercle trigonom´etriquele cercleCde centreOet de rayon 1, muni d"un sens de parcours (sens inverse des aiguilles d"une montre).Le sens de parcours est appel´e
sens trigonom´etrique.O-→i
-→j -AB C DC On peut associer `a tout r´eelxun point et un seuldeC: •Six?0 on imagine une corde de longueurx. On fixe une extr´emit´e enAet on enroule lacorde dans le sens trigonom´etrique. On appelleMl"autre extr´emit´e de la corde sur le cercle.
Exemple :Le cercle a pour p´erim`etre ..., donc six= 2π Mest en....Six= 4π,Mest en ...;
Six=π,Mest en ...;
Six=π
2,Mest en....
•Six?0 on r´ealise la mˆeme chose mais en enroulant la corde dans lesens n´egatif.Exemple :Six=-π
2,Mest en ...;
Six=-2π,Mest en ....
2) Cosinus et sinus d"un r´eelx
On se place dans le rep`ere orthonorm´e?
O;-→i ,-→j?
muni du cercle trigonom´etrique.A tout r´eelxon associe le pointMdu cercle.
D´efinition 2 :Lecosinus dex, not´e cos(x), est l"abscisse deM. Le sinus dex, not´e sin(x), est l"ordonn´ee deM. O AB M cos(x) sin(x)Page 1/5
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Remarque :D"apr`es le graphique pr´ec´edent on a pour toutxr´eel : cos(x) = cos(x+ 2π) et sin(x) = sin(x+ 2π). De mˆeme on tire la propri´et´e suivante : Propri´et´e 1 :Pour tout r´eelxon a :?cos(x)?2+?sin(x)?2= 1.II. Les radians
1) D´efinition
Les d´efinitions de cosinus et sinus que nous venons de voir sontcompatiblesavec les d´efinitions
de cosinus et sinus d"un angle vu au coll`ege.Il suffit pour cela de prendre une autre unit´e que le degr´e pour mesurer les angles :le radian.
On note alors les mesures en rad.
D´efinition 3 :A tout r´eelxde [0;2π[ on associe le pointMdu cercle trigonom´etrique.La mesure en radians de l"angle
?AOMestxrad.Exemple :SiMest enBon a?AOM=... rad;
SiMest enAon a?AOM=... rad;
SiMest enDon a?AOM=... rad.
Propri´et´e 2 :Il y a un lien entre la mesureden degr´es d"un angle et la mesureαde ce mˆeme
angle en radians:α=πd
180.La correspondance entre certaines mesures en degr´e et en radians est `a connaˆıtre : mesure en degr´es30°120°135° mesure en radiansπ 6 4 3
2) Correspondance des d´efinitions
On consid`ere le pointMdu cercle trigonom´etrique associ´e au nombre r´eelxcomme dans le dessin
ci-dessous : O AB MP•
Q•
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•Avec la d´efinition de seconde on a cos(x) =OP, •Avec la d´efinition du coll`ege on a, dans le triangleOPMrectangle enP, cos??AOM? =OP OM=OPcarOM= 1 puisque le cercle est de rayon 1.
On a donc bien cos(x) = cos??AOM?
•Avec la d´efinition de seconde on a sin(x) =OQ, •Avec la d´efinition du coll`ege on a, dans le triangleOMQrectangle enQ, sin??AOM? =OQ OM= OP.On a donc bien sin(x) = sin??AOM?
III. Les fonctions sinus et cosinus
1) La fonctionf:x?-→cos(x)
a) Ensemble de d´efinition La fonctionfest d´efinie pour toutxr´eel. Son ensemble de d´efinition est donc.... b) P´eriodicit´e Propri´et´e 3 :Pour tout r´eelx: cos(x) = cos(x+ 2π).On dit que la fonctionfest
2π-p´eriodiquesurR.
2) Parit´e
Propri´et´e 4 :La fonction cosinus est paire c"est-`a-dire que pour tout r´eelxon a : cos(-x) =...... a) Tableau de variationPuisque la fonctionfest 2π-p´eriodique, il suffit de d´eterminer ces variations sur [0;2π[.
x0π2π f(x) b) Courbe repr´esentative Grˆace aux renseignements pr´ec´edents on peut tracer la courbe repr´esentative def: Oπ 2π -11 Remarque :On voit bien sur la courbe la parit´e et la p´eriodicit´e de lafonction cosinus.Page 3/5
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3) La fonctionf:x?-→sin(x)
a) Ensemble de d´efinition La fonctionfest d´efinie pour toutxr´eel. Son ensemble de d´efinition est donc .... b) P´eriodicit´e Propri´et´e 5 :Pour tout r´eelx: sin(x) = sin(x+ 2π)La fonctionfest
2π-p´eriodiquesurR.
4) Parit´e
Propri´et´e 6 :La fonction sinus est impaire c"est-`a-dire que pour tout r´eelxon a : sin(-x) =...... a) Tableau de variationPuisque la fonctionfest 2π-p´eriodique, il suffit de d´eterminer ces variations sur [0;2π[.
x0π23π22π f(x) b) Courbe repr´esentative Grˆace aux renseignements pr´ec´edents on peut tracer la courbe repr´esentative def: Oπ 2π -11 Remarque :On voit bien sur la courbe la parit´e et la p´eriodicit´e de lafonction sinus.