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?Corrigédu baccalauréat S Amérique du Sud?
24 novembre 2015
EXERCICE1 Commun à tousles candidats 6 points
PartieA
Dans le plan muni d"un repère orthonormé?
O,-→ı,-→??
, on désigne parCula courbe représentative de la fonctionudéfinie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par :u(x)=a+b x+cx2oùa,betcsont des réels fixés.1.La courbeCupasse par le point A(1; 0) doncu(1)=0.
La courbeCupasse par le point B(4; 0) doncu(4)=0.
2.La droiteDd"équationy=1 est asymptote à la courbeCuen+∞donc limx→+∞u(x)=1.
lim x→+∞b x=0 lim x→+∞c x2=0??????? =?limx→+∞? a+b x+cx2? =a??limx→+∞u(x)=a lim x→+∞u(x)=1 lim x→+∞u(x)=a? =?a=1 doncu(x)=1+b x+cx23.D"après la première questionu(1)=0 ce qui équivaut à 1+b
1+c12=0??b+c=-1.
De mêmeu(4)=0 équivaut à 1+b
4+c42=0??1+b4+c16=0??4b+c=-16.
On résout le système
?b+c= -14b+c= -16???c= -1-b
4b-1-b= -16???c=4
b= -5Donc pour toutxde]0;+∞[,u(x)=1-5
x+4x2=x2-5x+4x2PartieB
Soitfla fonction définie sur l"intervalle]0 ;+∞[par :f(x)=x-5lnx-4 x.1.f(x)=x-5lnx-4
x=x2-5xlnx-4x limx→0x2=0 lim x→0 x>0xlnx=0??? =?limx→0 x>0? x2-5xlnx-4?=-4 lim x→0x=0 =?limx→0 x>0x2-5xlnx-4
x=-∞ donc lim x→0 x>0f(x)=-∞2.f(x)=x-5lnx-4
x=x?1-5lnxx?
-4x lim x→+∞lnx x=0=?limx→+∞?1-5lnxx?
=1=?limx→+∞x?1-5lnxx?
lim x→+∞4 x=0????? =?limx→+∞x?1-5lnx
x? -4x=+∞donc limx→+∞f(x)=+∞Baccalauréat SA. P. M. E. P.
3.La fonctionfest dérivable sur]0;+∞[comme somme de fonctions dérivables et :
f ?(x)=1-5×1 x-4×? -1x2? =1-5x+4x2=u(x) u(x)=x2-5x+4 x2=(x-1)(x-4)x2; on peut donc déterminer le signe deu(x) sur]0;+∞[et donc le signe def?(x). u(x) s"annule pourx=1 etx=4;f(1)=-3 etf(4)=3-5ln4≈-3,93 On dresse le tableau de variations de la fonctionf: x0 1 4+∞ f?(x)=u(x)+++0---0+++ -3+∞ f(x) -∞3-5ln4PartieC
M(x;y) tels que 1?x?4 etu(x)?y?0.
Pour toutxde[1; 4],u(x)?0 doncA=-?
4 1 u(x)dx f ?(x)=u(x) donc la fonctionfest une primitive de la fonctionuet donc? 4 1 u(x)dx=f(4)-f(1). On en déduit queA=f(1)-f(4)=-3-(3-5ln4)=5ln4-6 unité d"aire.2.Pour tout réelλsupérieur ou égal à 4, on noteAλl"aire, exprimée en unité d"aire, du domaine formé
par les pointsMde coordonnées (x;y) telles que 4?x?λet 0?y?u(x). Sur[4;+∞[,u(x)?0 et donc l"aireAλest égale, en unité d"aire, à? 4 u(x)dx. Or 4 u(x)dx=f(λ)-f(4); on cherche doncλtel que? 4 u(x)dx=Ace qui équivaut à On complète le tableau de variations de la fonctionf: x0 1 4+∞ -3+∞ f(x) -∞3-5ln4≈-3,93 -3λ On peut conclure qu"il existe une unique valeurλtelle queAλ=A. Remarque :f(7)≈-3,30 etf(8)≈-2,90 doncλ?[7; 8] f(7,7)≈-3,03 etf(7,8)≈-2,98 doncλ?[7,7; 7,8]Amérique du Sud224 novembre2015
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
A BO-→ı-→
Cu D ≈7,8EXERCICE2 Commun à tousles candidats 4 points
L"espace est muni d"un repère orthonormé
O,-→ı,-→?,-→k?
Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées : A(3 ;-1 ; 4), B(-1 ; 2 ;-3), C(4 ;-1 ; 2).
Le planPa pour équation cartésienne : 2x-3y+2z-7=0. La droiteΔa pour représentation paramétrique???x= -1+4t y=4-t z= -8+2t,t?R. Affirmation1:Les droitesΔet (AC) sont orthogonales.En détaillant son écriture paramétrique, on peut dire que ladroiteΔa pour vecteur directeur-→v(4;-1; 2).
La droite (AC) a pour vecteur directeur--→AC (1; 0;-2).-→v.--→AC=4×1+(-1)×0+2×(-2)=0 donc les vecteurs-→vet--→AC sont orthogonaux; on peut en déduire que
les droitesΔet (AC) sont orthogonales.Affirmation1vraie
Affirmation2:Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne
2x+5y+z-5=0.
• Les points A, B et C déterminent un plan si et seulement s"ilsne sont pas alignés.--→AB a pour coordonnées (-4; 3;-7) et--→AC a pour coordonnées (1; 0;-2).
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, Bet C ne sont pas alignes; ils déterminent
donc le plan (ABC).• Le plan (ABC) a pour équation 2x+5y+z-5=0 si les coordonnées des trois points A, B et C vérifient
cette équation.Les coordonnées des trois points vérifient l"équation du plan donc ces points appartiennent au plan.
Le plan (ABC) a pour équation 2x+5y+z-5=0.
Affirmation2vraie
Affirmation3:Tous les points dont les coordonnées (x;y;z) sont données parAmérique du Sud324 novembre2015
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
?x=1+s-2s? y=1-2s+s? z=1-4s+2s?,s?R,s??Rappartiennent au planP. Soientsets?deux réels et M le point de coordonnées (1+s-2s?; 1-2s+s?; 1-4s+2s?).Le planPa pour équation 2x-3y+2z-7=0.
=2+2s-4s?-3+6s-3s?+2-8s+4s?-7=-6-3s? n"est pas égal à 0 pour touts?.Affirmation3fausse
Affirmation4:Il existe un plan parallèle au planPqui contient la droiteΔ.Ilexiste unplan parallèle auplanPqui contient ladroiteΔsiet seulement si ladroiteΔestparallèle auplan
P.La droiteΔa pour vecteur directeur-→v(4;-1; 2). Le planPa pour vecteur normal-→n(2;-3; 2).
La droiteΔest parallèle au planPsi et seulement si les vecteurs-→vet-→nsont orthogonaux.-→v.-→n=4×2+(-1)×(-3)+2×2=15?=0 donc les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux ce qui prouveque
la droiteΔn"est pas parallèle au planP.Affirmation4fausse
EXERCICE3 Commun à tousles candidats 5 points
PartieA
Le chikungunya est une maladie virale transmise d"un être humain à l"autre par les piqûres de moustiques
femelles infectées.Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caracté-
ristiques suivantes : la probabilité qu"une personne atteinte par le virus ait untest positif est de 0,98; la probabilité qu"une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de 0,01.On procède à un test de dépistage systématique dans une population "cible ». Un individu est choisi au
hasard dans cette population. On appelle : Ml"évènement : "L"individu choisi est atteint du chikungunya» Tl"évènement : "Le test de l"individu choisi est positif»