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Calcul du centre de gravité d'une plaque Les coordonnées (xG Calculer les intégrales suivantes `a l'aide d'un changement de variable Intégrale de Gauss

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3 4 – Aire, volume, moyenne et centre de masse Subdivisions, somme de Riemann et intégrale de Riemann Exemple 2: calcul d'intégrales doubles

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II Définition de l'intégrale double d'une fonction continue et bornée Calcul de l' aire délimitée par l'ellipse 1 : 2 2 2 2 =+ Centre de gravité G tel que ∫∫=

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19 nov 2018 · à-d l'intégrale sur R de la fonction constante de valeur 1) 2) Calculer les coordonnées x∆ et y∆ du centre d'inertie I∆ de ∆ 3) Est-ce que I∆ coïncide avec le centre de gravité (isobarycentre) G des points O, A, B ?

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B Expression intégrale du volume d'un domaine cubable B-I C Méthodes de calcul des intégrales triples Où est le centre d'inertie de ce disque évidé ?

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(a) En utilisant une intégrale double, calculer l'aire de la région E (b) On appelle centre de gravité (ou centre de masse) d'une région R le point C dont les coor-

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Nous pouvons donc dire : le centre de gravité d'un corps est le point fixe où est appliquée la Le poids total du solide est par conséquent donné par l'intégrale :

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mizi c 2009-2010 R&T Saint-Malo 77 Page 10 Nous souhaitons déterminer de la même façon les coordonnées du centre de gravité d'un solide de l'espace, de  

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L2-PCP

Int´egralesmultiples.

1In troduction

Essayonsdecomprendrepour quoiil estimportantdesavoircalculerun eint´egraledoubleet` a quoicelape utservir.

Sifestunefonc tiondeRdansRalors

R b a limit´eparlesdroitesd'´ equati onsx=a,x=b,y=0e tpar lacour bed'´e quationy=f(x).

Simaint enantfestunefonc tiondeR

2 dansRetDundomain eduplanxOy,la questi on naturellequiseposeestquer epr´esent e I= ZZ D f(x,y)dxdy? Voiciuneliste nonexhaust ivedecequecelap eutrep r´esenter.

1.Calculd'aire.Lors quef(x,y)=1 pour tout (x,y)2D,I=

RR D dxdyrepr´esentel'aire deD.

2.Calculdemasse.Soitunepl aqueminced ontl'´epaisseure stn´egligeable,onpe utla

repr´esenterparundomaineDduplanxOy.Su pposonsquesamassesurfaci quesoit´egal e `aµ(x,y)alor slamassemdelapl aquevaut m= ZZ D

µ(x,y)dxdy.

3.Calculducentrede gravit ´ed'uneplaque.Lescoord onn´ees(x

G ,y G )ducentrede x G 1 m ZZ D xµ(x,y)dxdy,y G 1 m ZZ D yµ(x,y)dxdy.

4.Calculd'unmomentd 'inertie.Souslesmˆe meshypoth` esesquepr´ec´edem ment,le

momentd'inertied 'undomaineDparrappor t`aunaxeestd´efini par I= ZZ D d(m,) 2

µ(x,y)dxdy

o`ud(m,)es tladistan cedupoi ntM(x,y)deD`al'axe .

2Ca lculd'int´egra lesmultiples

Exercice1.Calculerlesint´egraless uivantes.O nrepr´esenteraledomained'in t´egration. I 1 ZZ 1 (1+x)dxdy,o`u 1 =[0,1]⇥[0,2] I 2 ZZ 2 dxdy,o`u 2 ={(x,y)telsque0y p 1x 2 }.Querepr´ esenteI 2 I 3 ZZ 3 x 2 ydxdy,o`u 3 =Tr iangledesommets(0,0),(0,1)et(1,0) Exercice2.Calculerlesint´egraless uivantes`a l'aided'unchangementdevariable. J 1 ZZ 1 4 x 2 y 2 x 2 dxdy,o`u 1 ={(x,y)telsquex6=0,10 J 4 ZZ 4 x 3

2ydxdy,o`u

4 ={(x,y)telsquex0,y0et x 2 a 2 y 2 b 2 <1},a,b>0

3Tr oisapplications

Exercice3.Application`alap hys ique

Soitunepl aqueminced ontl'´epaisseure stn´egligeable,onpe utlarepr ´esenterparundomaine DduplanxOy.Su pposonsquesamassesurfaci quesoit´egal e`aµ(x,y).

1.Mon trerquesilamassesu rfaciquees tconstan teµ(x,y)=ketsile domaineDest

sym´etriqueparrapport`al'axeOx(resp.Oy),l'ord onn´ee(resp.abscisse)ducentr ede gravit´eestnulle.

2.Cal culerlescoordonn`eesdu centredegr avit´edelasurfacequisetrouvedans ledem i-plan

y0et quiest limit´eep arlacourbe y 2

4x=0,l adr oitey=0e tla droitex=havec

h>0.Ic i,onsupposeraq uel amassesurfacique´egale1.

Exercice4.Int´egraledeGauss

Onnote D

M ={(x,y)2R 2 ,x 2 +y 2 M 2 },C M =[M,M] 2 ,I M RR D M e (x 2 +y 2 dxdy, Jquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7