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HKBL1/ 7symbole sigma
Utilisation du symbole?
Notation :Pour parler de la somme des termes successifs d"une suite, on peut ou bien utiliser les pointillés ou
bien utiliser le symbole " sigma » majuscule noté? Par exemple, la sommeSde tous les inverses des dix premiers entiers non nuls, peut s"écrire S=11+12+13+···+110ou bienS=10?
k=11k.On dit quekest l"indice de la somme; et on lit "Sest égale à la somme pourkvariant de1à10de1
k».En effet, si on prend l"expression
1 ket que l"on remplacekpar la valeur 1 alors on obtient11, si on remplacek par la valeur 2 alors on obtient 12, et ainsi de suite... si on remplacekpar la valeur 10 alors on obtient110qui
est le dernier terme de la somme. L"avantage du symbole?est qu"il est plus explicite que les pointillés+···+qui restent parfois flous. C"est aussi
une façon plus compacte d"écrire ces sommes. Cette écritureest, on le verra, très commode, voire indispensable
dans bien des domaines, notamment les probabilités et les statistiques (domaine où vous avez normalement déjà
dû croiser ce joli symbole pendant vos années de lycéen(ne)?!?). Autre exemple :T= 1×2 + 2×3 +···+ 105×106s"écrit plus simplementT=105? k=1k(k+ 1).On dit quekest l"indice de la somme; et on lit "Test égale à la somme pourkvariant de1à105dek(k+1)».
En effet, si on prend l"expressionk(k+ 1)et que l"on remplacekpar la valeur 1 alors on obtient1×2, si on
remplacekpar la valeur 2 alors on obtient2×3, et ainsi de suite... si on remplacekpar la valeur 105 alors on
obtient105×106, expression qui est le dernier terme de la somme. Exercice 1 :Traduire à l"aide du symbole?les sommes suivantes : S1= 12+ 22+ 32+···+ 132+ 142s"écrit aussiS1=?
S2= 32+ 42+ 52+···+ 1032+ 1042s"écrit aussiS2=?
S 3=12+23+34+···+101102+102103s"écrit aussiS3=?
S4= 12+ 32+ 52+···+ 132+ 152s"écrit aussiS4=?
S5= 1×3 + 2×4 + 3×5 + 4×6s"écrit aussiS5=?
S6= 1 + 8 + 27 + 64 + 125s"écrit aussiS6=?
Exercice 2 :Développer chacune des sommes écrites à l"aide du symbole?, en faisant disparaître ce symbole :
T 1=10? k=31 k2 T 2=10? k=11 2k+ 1 T 3=n? k=1(k+ 1)! kRappel: suites arithmétiques.
Une suite arithmétique(un)n?Nest une suite dont le terme général est de la formeun=an+boùaest la
raison de la suite.On sait (se démontre aisément par récurrence) que la somme des termes consécutifs d"une suite arithmétique
est donnée par la formule n k=0u k=Nombre de termes×premier terme+dernier terme 2Rappel: suites géométriques.
Une suite géométrique(vn)n?Nest une suite dont le terme général est de la formevn=α×qnoùqest la raison
de la suite.On sait (se démontre aisément par récurrence) que la somme des termes consécutifs d"une suite géométrique est
donnée par la formulen? k=0v k=premier terme×1-qnombre de termes 1-qHKBL2/ 7symbole sigma
Voici un exercice d"application :
Exercice 3 :Calculer chacune des sommes suivantes, ou en donner la meilleure expression possible :Somme des termes d"une suite arithmétique :
3 + 7 + 11 +···+ 43 + 47 =?
92k=10(3k+ 5) = n k=1k=n? k=0k=i? k=0k= n k=12 =n? k=i3 =i? k=07k=
Somme des termes d"une suite géométrique :
3 + 6 + 12 +···+ 768 =?92?
k=103k= n k=0xk=n? k=1xk=n? k=ixk= kPropriétés du symbole?:linéarité
•Si(un)n?Nest une suite, alors pour tout réelαon a :n? k=0(αuk) =αn? k=0u kpour tout entiern?N •Si(xn)n?Net(yn)n?Nsont deux suites, alors on an? k=0(xk+yk) =n? k=0x k+n? k=0y kpour tout entiern?N Ces deux propriétés sont équivalentes à cette seule propriété : ••Si(xn)n?Net(yn)n?Nsont deux suites et siαetβsont deux réels, on a n k=0(αxk+βyk) =αn? k=0x k+βn? k=0y kpour tout entiern?NExemple: Linéarité de la somme
Si on poseSn=n?
k=15k, alorsSn= 5n? k=1k= 5×n(n+ 1) 2.Si on poseTn=n?
k=13k+ 2, alorsTn= 3n? k=1k+n? k=12 = 5×n(n+ 1)2+ 2n.
Si on poseZn=n?
k=1k(k+ 1), alors on peut écrire :Zn=n? k=1k(k+ 1) =n? k=1(k2+k) =n? k=1k 2+n? k=1k mais on connaît (presque) par coeur que n? k=1k=n(n+ 1) 2etn? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6. Donc Z n=n? k=1k2+n? k=1k=n(n+ 1)(2n+ 1)6+n(n+ 1)2.
Exemple: Linéarité de la somme
Si on poseSnla somme des entiers pairs consécutifs de2à2nalorsSn= 2 + 4 +···+ 2n=n? k=12k.Et on a par linéaritéSn= 2n?
k=1k= 2×n(n+ 1)2=n(n+ 1).
Si on poseTnla somme des entiers impairs consécutifs de1à2n-1alorsTn= 1+3+···+2n-1 =n?
k=12k-1.On remarque queSn+Tn=2n?
k=1kc"est à dire la somme de tous les entiers consécutifs de1à2n. Donc S n+Tn=2n(2n+ 1)2=n(2n+ 1). De telle sorte queTn=n(2n+ 1)-Sn=n(2n+ 1)-n(n+ 1) =n2.
Autre méthode pour calculerTn:
T n= 1 + 3 +···+ 2n-1 =n? k=12k-1 = 2n? k=1k-n? k=11 = 2×n(n+ 1)2-n=n(n+ 1)-n=n2.
HKBL3/ 7symbole sigma
Propriétés du symbole?:ré-indexation d"une sommeCe que l"on désigne par ce terme barbare de " ré-indexation »,c"est effectuer un changement de variable (ou
plutôt d"indice) pour simplifier, calculer ou comparer deuxsommes. Il n"y a pas de définition formelle à retenir,
juste une méthode de calcul assez élémentaire... regardez ces quelques exemples :Exemple: Si on veut écrire la sommeSdes entiers impairs consécutifs de1à11on peut écrireS=6?
k=12k-1, mais on pourrait aussi écrireS=5? j=02j+ 1.Pour passer de la première écriture à la seconde, il suffit de poserj=k-1, ce qui équivaut à
k=j+ 1et donc pourkvariant de1à6, l"indicej, égal àk-1, varie de0à5. Et la formule2 k-1est remplacée par 2( j+ 1)-1 = 2j+ 1.Exemple: SiTn=n?
k=2(k-1)2, pour un entiern≥2, alors on peut poser le changement d"indice :i=k-1. On a alorsivarie de 1 à(n-1), etTn=n-1? i=1i2, somme que l"on sait calculer :Tn=(n-1)((n-1) + 1)(2(n-1) + 1)
6= (n-1)(n)(2n-1) 6Exercice 4 :À l"aide d"une ré-indexation, montrer la règle sur les sommes télescopiques :
S n=n? k=0(uk+1-uk) =un+1-u0 indication : dans la somme n? k=0u k+1, poser le changement de variablei=k+ 1.Exercice 5 :
À l"aide d"une ré-indexation, justifier que :n? k=0a k=n? i=0a n-iDe même, compléter :
n k=1a n-k=...? i=...a in-1? k=0a n-k=...? i=...a in k=1a n+k=...? i=...a iBinôme de Newton et symbole?
Théorème :
Pour tous réelsxety, on a :
(x+y)n=n? k=0? n k? x n-kyk=n? i=0? n i? x iyn-icette règle généralise les identités remarquables(x+y)2et(x+y)3, elle s"appelle le binôme de Newton.
Exercice 6 :
En utilisant le binôme de Newton, déduisez la valeur deS=n? k=0? n k?et celle deT=n? k=0? n k?(-1)k. Écrire de deux façons différentesS+T. En déduire la valeur d"une somme. Exemple: Montrer que le binôme de Newton s"écrit :(x+y)n=n? k=0? n k? x n-kyk=n? i=0? n i? x iyn-i.En effet, en posant le changement d"indice
:i=n-kdans la sommeSn=n? k=0? n k?xn-kyk, on a alorsivarie de nà0(mais on écrit dans le sens de0àn); et on a :Sn=n? i=0? n n-i?xiyn-i. Et on conclue en se servant de la propriété des coefficients du binôme : ?n n-i?=?n i?.HKBL4/ 7symbole sigma
Sommes doubles
Il arrive qu"on ait à effectuer une somme double, c"est à dire une somme qui porte sur deux indices :n?
i=0p j=0a i,jLe sens qu"il faut donner à cette somme double est que l"on fait pour toutiune somme surjnotéeSi=p?
j=0a i,j, puis la somme de tous lesSi:n? i=0n j=0a i,j=n? i=0S i Si l"on fait un dessin (cf ci-dessous), chaqueSireprésente la somme par colonnes (lesjbougent). Mais on pourrait considérer que l"on veut faire la somme par lignes,Tj=n? i=0a i,jet on aurait la même somme en calculant p? j=0T j; on écrit donc :n? i=0p j=0a i,j=p? j=0n i=0a i,j chaque point représente un termeai,jde la somme doublen? i=0p j=0a i,j ij 0 1 2